宁夏银川市第二中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

银川二中2021-2022学年第二学期高一年级期末考试

数学试题

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 下列各式中值为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对于A，根据正弦的二倍角公式，可得答案；对于B，根据正弦的差角公式，可得答案；

对于C，根据余弦的差角公式，可得答案；对于D，根据正切的差角公式，可得答案.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D错误.

故选：C.

2. 角的终边经过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦值的定义可得，再根据诱导公式与二倍角公式求解即可

【详解】由题意可得，所以

故选：C

3. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ）倍.

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解.

【详解】解：由题意可得，，

所以，

即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.

故选：A.

4. 已知，则的大小关系是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由诱导公式可知，根据特殊角的三角函数值比较大小即可.

【详解】根据诱导公式，化简可得 ，

所以，故选A.

【点睛】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，属于中档题.

5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦、余弦函数、正切函数的周期公式求出周期可排除选项A、D，利用单调性可排除选项C，进而可得正确选项.

【详解】对于选项A：由于的周期为，故选项A不正确；

对于选项B：由于以为最小正周期，且在区间上为减函数，故选项B正确；

对于选项C：故由于的周期为，故选项C不正确；

对于选项D：由于在区间上为增函数，故选项D不正确.

故选：B.

6. 设函数满足，则的图像可能是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．

由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．

7. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得出，解此不等式即可得出所求函数的定义域.

【详解】对于函数，，可得，解得，

因此，函数的定义域是.

故选：A.

【点睛】本题考查余弦型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

8. 函数的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】先利用二倍角公式、诱导公式将函数化简，转化为二次函数利用配方法即可求解最小值.

详解】根据题意，可得

所以，当时，取最小值为：.

故选：B.

【点睛】本题主要考查根据二倍角公式、诱导公式以及二次函数的性质求三角函数的最值.

9. 已知函数（A＞0，，）的部分自变量、函数值如下表所示，则函数f(x)的解析式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据表格分别求，再得周期，从而得，再根据特殊点求即可.

【详解】由表格可知，，函数最大值是，所以,得，

当时，函数最得最小值，最小值和相邻的零点间的距离是，

所以，

当时，，解得，

因为，所以，所以.

故选：D

10. 为得到的图象，可将图象上所有点（    ）

A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象的变换规律进行判断即可得到结果.

【详解】依题意，，则将图像上所有点向右平移个单位长度可得，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变可得，即A正确.

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数的图象变换，要求熟练掌握图象的平移伸缩变换规律，属基础题.

11. 函数是

A. 最大值是的奇函数 B. 最大值是的偶函数

C. 最大值是的奇函数 D. 最大值是的偶函数

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据降幂公式以及两角和与差余弦公式化简，再根据余弦定理性质求最值与奇偶性.

【详解】

因为为最大值是的偶函数，所以B正确；

故选：B

【点睛】本题考查降幂公式、两角和与差余弦公式以及余弦定理性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

12. 定义一种新运算；，设函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的图象关于点成中心对称

B. 的图象关于直线成轴对称

C. 的最小正周期是

D. 任取，均有恒成立

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知及辅助角公式，再利用对称轴对称中心对应的函数值的特征进行分析，结合三角函数的周期公式、函数单调性性的定义及三角函数的单调性即可求解.

详解】由题意可知，.

对于A,因为，所以点不是的图象的一个对称中心，故A不正确；

对于B，因为，所以直线是的图象的一条对称轴，故B正确；

对于C, 由，故C不正确；

对于D，当时，，所以在上单调递增；

即，即

所以，

所以任取，均有恒成立，故D不正确.

故选：B.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分， 共16分.）

13. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，已知D为OA的中点，，，则此扇面（扇环ABCD）部分的面积是______．

【答案】##

【解析】

【分析】利用扇形面积公式去求扇环（ABCD）部分的面积即可.

【详解】

故答案为：

14. 化简为__________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系式对所求表达式进行化简，由此求得表达式的值.

【详解】解：依题意

．

故答案为：1．

15. 若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________.

【答案】

【解析】

【分析】求得的值，由此求得.

【详解】，

∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]

＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)

，

所以.

故答案为：

16. 已知函数，则有：

①对任意正奇数，为奇函数

②对任意正整数，的图象都关于直线对称

③当时，在上的最小值为

④当时，的单调递增区间是

其中所有正确命题的序号为________．

【答案】②③④

【解析】

【分析】通过判断的值，判断①的正误；判断，判断②的正误；利用辅助角公式及正弦函数的性质，判断③的正误；求出函数的单调增区间判断④的正误．

【详解】解：取，则，从而，此时不是奇函数，则①错误；

因为，

所以的图象关于直线对称，则②正确；

当时，，由，则，

所以，所以，即，故③正确；

当时，

，

令，解得

则递增区间为，则④正确．

故答案为：②③④．

三、解答题 （本大题共6小题，共56分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （1）已知，求的值；

（2）已知，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先求出，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出，，得到，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.

【详解】（1）由知

  原式=

（2）   

又        

原式===

18. 已知的部分图象如图所示，是函数图象上的一个最低点，是函数图象与x轴的一个交点.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由图可得，从而利用周期公式可求出，再将坐标代入函数中可求出的值，从而可得函数的解析式；

（2）由，得，然后根据正弦函数的性质可求得函数的值域

【小问1详解】

设的最小正周期为T，

则由图知：，解得，

所以，可得，

因为是函数图象上的一个最低点，

所以，且

所以，当时，，所以.

【小问2详解】

因为，所以

所以，

所以函数在区间上的值域.

19. 已知函

（1）求函数的最小正周期；

（2）将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换将化为只含有一个三角函数形式，根据三角函数周期公式，即可求得答案；

（2）根据正弦函数图象的伸缩变换规律可得解析式，利用正弦函数的单调性即可求得答案.

【小问1详解】

,的最小正周期为.

【小问2详解】

由题意知函数的解析式为，

由， ，

函数的单调递减区间为.

20. （1）已知，且，求；

（2）化简：.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）判断角的范围，利用同角的三角函数关系求得 ，,将化为,即可利用两角差的正弦公式求得答案;

（2）利用诱导公式以及三角恒等变换公式，即可化简求值.

【详解】（1），,

又 ， ,

，,

;

（2）

.

21. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．

（1）确定的解析式；

（2）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围．

条件①：的最小值为；

条件②：图象的一个对称中心为；

条件③；的图象经过点．

【答案】选择见解析：（1）；（2）．

【解析】

【分析】求出函数的最小正周期，可求得的值.

（1）选择①②，求出的值，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；

选择①③，求出的值，由已知条件可得出，求出的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；

选择②③，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式；

（2）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，

所以的最小正周期，．此时．

（1）选条件①②；因为，所以．

因为图象的一个对称中心为，所以，

因为，所以，此时，所以；

选条件①③：因为，所以．

因为函数的图象过点，则，即，，

因为，即，，所以，，解得.

所以；

选条件②③：因为函数的一个对称中心为，

所以，所以．

因为，所以，此时，所以．

因为函数的图象过点，所以，即，，即，所以．

所以；

（2）因为，所以，

因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得，

所以的取值范围为．

【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：

（1）将函数解析式变形为或的形式；

（2）将看成一个整体；

（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.

22. 已知函数，设.

（1）若 ，求的值；

（2）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，即可得表达式，由可得，利用两角差的正弦公式即可求得答案;

（2）由题意可得解析式，根据正弦函数的单调区间可求得的单调区间，结合在区间上是单调递增函数，可列出相应的不等式组，求得参数的范围.

【小问1详解】

由题知

,

,

, ,

,

;

【小问2详解】

由题意知 ，

由 ，

得 ，

函数在区间上单调递增函数，

存在，使得 ，

有 ，即，

，，

又 ，即，，则 ，即，

,， ， ,

所以正数的取值范围是.