2021-2022学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

  青铜峡市宁朔中学

吴忠中学青铜峡分校

2021-2022学年第二学期

高二年级数学(文)期中试卷

一、选择题(本大题共12道小题，每小题5分，共60分）

1. 设，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集和补集的定义进行求解即可.

【详解】因为

所以，

又因为，

所以，

故选：B

2. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】先利用复数的除法化简复数，再利用复数的模公式求解.

【详解】解：因为复数z满足，

所以，

则，

故选：C

3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.

【详解】对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；

对：容易知是偶函数，当时，，

其在单调递增，在单调递减，故错误；

对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；

对：容易知是奇函数，故错误；

故选：C.

4. 已知函数，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据自变量所在的范围代入解析式求解即可.

【详解】，，

则，

故选：B

【点睛】本题考查分段函数求值问题，考查指数和对数运算，属于简单题.

5. 若，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用对数函数和指数函数的单调性的性质求解．

【详解】解：，，

即，，

所以

故选：A

【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.

6. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可

【详解】由，得，解得，

由，得，得，

因为当时，一定成立，

而当时，不一定成立，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

7. 已知，是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：

其回归直线过点的一个充要条件是（    ）

A.  B.

C  D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】求出数据的样本中心点，根据回归直线过样本中心点，结合已知即可确定题设的充要条件.

【详解】由题设，，，又、都在回归直线上，

所以，必有，故，

故回归直线过点的一个充要条件是.

故选：C

8. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ）

A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减

C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论．

【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；

根据函数的导数图象，函数在时，，

故函数在区间上单调递减，故正确；

由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；

根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，

故函数在处取得极小值，故正确，

故选：

9. 已知函数为定义在R上的奇函数，且，当时，，则（    ）

A. 2021 B. 1 C.  D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】由已知条件可得函数的周期为4，然后利用周期化简结合奇函数的性质和已知的解析式可求得结果

【详解】因为，所以函数的周期为4，

所以，

因为函数为定义在R上的奇函数，且当时，，

所以，

所以1，

故选：B

10. 已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由偶函数的性质，得出在上是增函数，且，画出函数的草图，再根据图象得出，解不等式即可得出结果．

【详解】解：由于是定义在上的偶函数，

且在上是减函数，，

可知在上是增函数，且，

由题意，画出函数的草图如下：

，

则由图可知，，

∴，

所以不等式的解集为.

故选：C.

【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查利用函数单调性解不等式，属于基础题．

11. 已知是R上的单调增函数，则b的取值范围是（      ）

A. 或 B. 或

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．

详解】∵，∴，

∵函数是上的单调增函数，∴在上恒成立，

∴，即.∴

故选：D.

【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解.

12. 是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用

导数与单调性的关系得出函数的单调性进而可以即可求解.

【详解】设函数，则，

由题知，当时，，

∴在上单调递减，

∵函数是定义在上的奇函数，

∴，

∴函数是定义在上的偶函数，

∴的单调递增区间为，

∵，∴，

∴当或时，，

当或时，，

∴的解集为.

故选：C.

【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，

根据函数的性质即可求解不等式的解集.

二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）

13. 已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】点坐标代入幂函数解析式，求得，然后计算函数值．

【详解】点A（4，2）代入幂函数解得，，

故答案为：．

14. 函数的定义域为_______

【答案】

【解析】

【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：，

故答案为：.

15. 复数的共轭复数为 ________

【答案】2-i##

【解析】

【分析】根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以复数的共轭复数为，

故答案为：

16. 给出如下四个命题：

①若“p且q”为假命题，则均为假命题；

②一个命题否命题为真，则它的逆命题一定为真；

③命题“若，则”的否命题为“若，则”；

④“，”的否定是“，”；

其中正确的命题是_______

【答案】②④

【解析】

【分析】结合命题相关知识，对选项逐个分析即可得到答案．

【详解】对于①，可能为一真一假也可能两个都为假，故①错误；

对于②，否命题与逆命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，故②正确；

对于③，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故③错误；

对于④，“，”的否定是“，”，故④正确．

故答案为：②④.

三、解答题

17. 已知函数是上的偶函数，当时，

（1）当时，求解析式；

（2）画出函数的图象，并写出的值域.

【答案】（1）   

（2）图象见解析，值域

【解析】

【分析】（1）当时，可得，由奇偶性得，由此可得结果；

（2）由（1）可得解析式，结合二次函数的最值和性质可作出图象和值域.

【小问1详解】

当时，，则，

为上的偶函数，，

即当时，.

【小问2详解】

由（1）得：，

当时，；当时，；

结合二次函数性质可得图象如下图所示，

的值域为.

18. 设函数．

（1）求在处的切线方程；

（2）求的极大值点与极小值点；

（3）求在区间上的最大值与最小值．

【答案】（1）；   

（2）极小值点为，极大值点为；   

（3），.

【解析】

【分析】（1）求导后，利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程；

（2）根据导数的正负可确定单调性，结合单调性可确定所求极值点；

（3）由（2）可得在上的单调性，由单调性可求得最值.

【小问1详解】

由题意得：，则，

又，

在处的切线方程为，即；

【小问2详解】

令，解得：或，

则变化情况如下表：

的极小值点为，极大值点为；

【小问3详解】

由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；

又，，，

，

19. 近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为我市的一大支柱产业.据统计，我市一家新能源企业近5个月的产值如下表：

（1）根据上表数据，计算与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱；(，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性不强)

（2）求出关于的线性回归方程，并预测10月该企业的产值.

参考公式：；

参考数据：.

【答案】（1）；相关系数较强；   

（2）；10月该企业的产值约为亿元

【解析】

【分析】（1）利用表中数据求出 ，再由相关系数的求解公式即可求解.

（2）利用最小二乘法即可求解.

【小问1详解】

，，

，

因为，所以与线性相关性较强.

【小问2详解】

设线性回归方程为：；

，

，

即，

10月份对应的代码为，

，

10月该企业的产值约为亿元.

20. 总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.为了解高一学生的肥胖是否与不喜欢步行有关，现对30名高一学生进行了问卷调查得到如下列联表：

已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.5％的把握认为肥胖与不喜欢步行有关？说明你的理由；

参考数据：

（参考公式：，其中）

【答案】（1）列联表见解析   

（2）有99.5%的把握认为肥胖与不喜欢步行有关，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由已知数据计算可得列联表；

（2）由列联表数据计算可得结论．

【小问1详解】

【小问2详解】由已知数据可求得：≈8.522＞7.879

因此有99.5%的把握认为肥胖与不喜欢步行有关．

21. 已知函数（为常数）

1）讨论函数的单调性；

2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.

【解析】

【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；

（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值，得出结论．

【详解】（1）函数定义域是，

，

时，恒成立，在上是增函数；

时，时，，递减，时，，递增．

（2）即在上恒成立，则，

设，则，时，，递增，时，，递减，，所以．

22. 已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断的单调性，并证明；

（3）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）增函数，证明见解析   

（3）或

【解析】

【分析】（1）由求出，再验证此时的为奇函数即可；

（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立；

（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.

【小问1详解】

因为是上的奇函数，所以，即，

此时，，所以为奇函数，

故.

【小问2详解】

由（1）知，为上的增函数，

证明：任取，且，

则，

因为，所以，即，又，

所以，即，

根据增函数的定义可得为上的增函数.

【小问3详解】

由得，

因为为奇函数，所以，

因为为增函数，所以，即，

所以或.