2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．两直线和之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把两个方程中对应项系数化为相同，然后由平行间距离公式计算．

【详解】方程化为，

所求距离为．

故选：A．

2．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（    ）

A．点P在圆上 B．点P在圆外

C．点P在圆内 D．以上都有可能

【答案】B

【分析】由题意可得圆心到直线的距离小于半径1，从而可得，进而可得结论

【详解】因为直线与圆有两个公共点，

所以圆心到直线的距离小于半径1，即

，

所以，所以，

所以点与圆外，

故选：B

3．随机变量的分布列是.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用分布列的概率之和为1，利用期望的性质和方差公式求解.

【详解】由题意可知，，解得，

所以.

故选：B.

4．设是椭圆：上一点，，分别是的左、右焦点，则（    ）

A．5 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】根据题意得到椭圆的焦点的位置，，，再利用椭圆的定义求解.

【详解】依题意得椭圆：焦点在轴，且，，

因为，

所以，即，

又，，

所以，

故选：A．

5．流感是流行性感冒的简称，是由流感病毒引起的一种呼吸道传染病.接种疫苗是预防流感的主要措施.某医疗研究所为了检验某流感疫苗预防感冒的作用，把500名使用疫苗的人与另外500名末使用疫苗的人一年中的感冒记录作比较，提出假设“注射此种疫苗对预防流感无关”，利用列联表计算得，经查临界值表知.则下列结论正确的是（    ）

A．若某人未使用该疫苗，那么他在一年中有的可能性得感冒

B．在犯错误的概率不超过的前提下认为“注射此种疫苗对预防流感有关”

C．这种疫苗预防感冒的有效率为

D．这种疫苗预防感冒的有效率为1%

【答案】B

【分析】根据独立性检验的性质判断即可

【详解】根据独立性检验，可以得到B正确，其余的理解均不正确.

故选：B

6．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（    ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】C

【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到队伍检测，②2人到队伍检测，③1人到队伍检测，④0人到队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.

【详解】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案；

②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；

③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；

④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；

所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.

故选：C

7．已知，、分别在轴和轴上运动，为原点，，则点的轨迹方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设点、、，利用平面向量的坐标运算可得出，再利用化简可得出点的轨迹方程.

【详解】设点、、，由可得，

所以，，解得，

所以，，化简可得.

因此，点的轨迹方程为.

故选：A.

8．平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过A，B，C三点，则圆的半径最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】先判断出C点需在第一象限内.可设.设圆心，半径为r，由，得到，利用基本不等式求出，圆M的面积最小.

【详解】为使圆M的面积尽可能小，则C点需在第一象限内.

可设.

因为，，所以线段AB的垂直平分线方程为.

所以圆心在直线上.

设圆心，半径为r，则，

所以，

所以，

所以（当且仅当，即时等号成立）.

所以.

此时，圆M的面积最小.

故选：A

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（    ）

A．直线在轴上的截距为3

B．直线的一个方向向量为

C．，，三点共线

D．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为

【答案】BC

【分析】结合直线截距的意义、直线方向向量的定义以及平面共线向量的运算依次判断选项即可.

【详解】A：直线在y轴上的截距为-3，故A错误；

B：由题意，点在直线上，故直线的一个方向向量为

，故B正确；

C：由可得，

所以，A、B、C三点共线，故C正确；

D：斜率为，以及过原点的直线在在x、y轴截距都相等，故过点且在x、y轴截距相等的直线方程为或，故D错误.

故选：BC

10．已知，则（    ）

A．的值为2 B．的值为16

C．的值为﹣5 D．的值为120

【答案】ABC

【分析】利用赋值法判断A、C、D；利用通项公式判断B.

【详解】令x＝0，得，故A正确；

，故，B正确；

令x＝1，得①，

又，∴，故C正确；

令x＝﹣1，得②，由①②得：，D错误．

故选：ABC

【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，以及赋值法的应用，属于基础题,

11．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表：

在该市场中任意买一部智能手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌､其他品牌，B表示买到的是优质品，则（    ）A．              B．              C．              D．

【答案】ACD

【分析】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断即可.

【详解】因为乙品牌市场占有率为30%，所以，因此选项A正确；

因为，所以选项B不正确；

因为，所以选项C正确；因为

所以选项D正确，

故选：ACD

12．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（    ）

A．存在点，使得

B．的面积最大值为

C．点到直线距离的最大值为

D．的最大值为7

【答案】BCD

【分析】利用椭圆的定义及几何性质可判断ABD，利用三角函数可判断C.

【详解】对于A，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，

此时，即为锐角，

所以不存在点P使得，故A错误；

对于B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：

，故B正确；

对于C，由椭圆，令 ，

则在椭圆上，则到直线的距离为

，

当时，，故C正确；

对于D，由椭圆，所以，又，

所以，

所以，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．若随机变量服从正态分布，且，则_________.

【答案】##

【分析】由已知可得：，从而计算出，再利用对称性，即可计算出.

【详解】由随机变量服从正态分布，且，

可得：，且，

又，所以.

故答案为：0.35

14．设随机变量ξ~B (2，p)，若P(ξ≥1)=，则D(ξ)的值为_________.

【答案】

【分析】由二项分布的特征，先求出，套公式即可求出D(ξ).

【详解】因为随机变量ξ~B (2，p)，且P(ξ≥1)=，

所以P(ξ≥1)== =.

解得：.

所以D(ξ).

故答案为：

15．已知直线，若直线与圆在第一象限内的部分有公共点，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据题意画出图像，观察图像得到直线与圆在第一象限内的部分有公共点时，其临界直线分别为直线，求出对应的斜率可写出的取值范围.

【详解】如图所示，

由直线得直线过点，

由题意得圆，圆心为，半径为，

令得或，所以圆与轴的交点为，

所以直线的斜率为，

当直线与圆相切时，有，整理得，解得，

其中切线的斜率为，

若直线与圆在第一象限内的部分有公共点，则直线斜率的取值范围为.

故答案为：.

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.

【答案】

【分析】由线段与y轴交于点Q，得点横坐标，代入椭圆方程得点纵坐标，由为等腰三角形，得，用表示此等式转化为离心率的方程，解之可得．

【详解】，线段与y轴交于点Q，，在右侧，则，，，

为等腰三角形，则，

所以，，整理得，

，，

故答案为：．

四、解答题

17．已知圆及其上一点.

(1)设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；

(2)设圆与圆外切于点，且经过点，求圆的方程.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由题意可设直线的方程为，再由根据弦长结合点到直线的距离与勾股定理求解即可；

（2）由题意可知圆心在直线上也在在的中垂线上，先求出这两条直线，再联立可得圆心坐标，进而可得半径，即可求解

【详解】（1）因为直线，

所以直线的斜率为.

设直线的方程为，

则圆心到直线的距离.

则，

又，

所以，

解得或，

即直线的方程为：或.

（2）因为圆与圆外切于点，

所以圆心在直线上

由两点式得直线方程为

又因为圆经过点和，

所以圆心在的中垂线上，中点为

所以中垂线方程为，即

由解得圆心坐标为，半径

所以圆的方程为

18．2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：

参考数据：．

(1)已知观看人次与销售量线性相关，且计算得相关系数，求回归直线方程；

(2)规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主㨨中随机抽取3名，若用表示这3名主播赋分的和，求随机变量的分布列和数学期望．

（附：，相关系数）

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由相关系数求出，进而可得，即可求出回归直线方程；

（2）的可能取值为3，4，5，求出对应的概率，得到分布列，然后求出期望即可．

【详解】（1）因为，所以

所以，所以，

，

，

所以回归直线方程为．

（2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，

则随机变量的可能取值为3，4，5，

，，，

所以的分布列为：

所以．

19．已知平面上动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两个不同的点.

(1)若直线的方程为，求的面积；

(2)若的面积为，证明：和均为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题知曲线的方程为，进而直线的方程与椭圆方程联立结合弦长公式得，原点到直线的距离为，再计算面积即可；

（2）先考虑直线斜率存在时的情况，设其方程为，进而与椭圆方程联立，结合弦长公式得，再计算，即可证明.

【详解】（1）解：动点与定点的距离为，

到定直线的距离为，

所以，化简得，

所以，曲线的方程为；

所以，联立方程得，

所以，，

所以，原点到直线的距离为，

，

所以，的面积

所以，的面积为

（2）解：由（1）曲线的方程为，

因为直线的斜率存在，设其方程为，

与椭圆方程联立得，

， ，

原点到直线的距离为，

，

所以的面积为，

化简得，即，

，

，

所以为定值.

所以，

所以，为定值.

当斜率不存在时，设其方程为，

与椭圆方程联立得，

所以，

所以，，

所以，的面积为，解得，

所以，，

综上，为定值，为定值.