黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

哈尔滨市第六中学2021级高二下学期期末考试

数学试题

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数中，值域为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 函数的大致图象为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ）

A. －4 B. －2 C. 2 D. 4

5. 已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则对任意实数a，b，“”是“”的（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（    ）

A. 函数为增函数  B. 函数的值域为

C. 函数为奇函数  D. 若，则

10. 下列命题正确的有（    ）

A. 已知是可导函数，则“”是“是的极值点”的充分不必要条件

B. “，都有”是“2是的一个周期”的充分不必要条件

C. 函数与函数的图象关于y轴对称

D. 已知，，，则

11. 设e为自然对数的底数，函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 当时，无极值点 B. 当时，有两个零点

C. 当时，有1个零点 D. 当时，无零点

12. 已知函数，若存在零点，且满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）

13. 已知函数，且，则实数a的值等于______.

14. 直线l与两条曲线和均相切，则l的斜率为______.

15. 定义在上的函数满足且为奇函数，则______.

16. 若对任意的，，且，都有成立，则实数m的最大值是______.

四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答时要求写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，且满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前2n项的和.

18.（12分）已知函数.

（1）当时，求函数的最值和相应的x值；

（2）若（其中），求的最小值；

（3）设，且，求m的取值范围.

19.（12分）已知数列的前n项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，若对任意恒成立，求m的最小整数值.

20.（12分）已知函数.

（1）求在上的最大值和最小值；

（2）判断函数的零点个数，并给出证明；

（2）求证：曲线在抛物线的上方.

21.（12分）已知函数（，且），当的定义域是时，值域也是.

（1）求a，b的值；

（2）若，证明为奇函数，并求不等式的解集.

22.（12分）已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记的零点为，的极小值点为，判断与的大小关系，并说明理由.

哈尔滨市第六中学2021级高二下学期期末考试

数学试题答案

一、单选题：

ABDA   DCCB

二、多选题：

9. ABC   10. BD   11. AD   12. BCD

三、填空题：

13.     14. 1    15. 2023    16.

四、解答题：

17.（10分）【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

因为，，

所以得，解得或，

因为数列为正项数列，为正项递增数列，所以解得，，

所以，.

（2）由（1）得，

所以数列的前2项和为

.

18.（12分）【详解】（1）由已知，

令，则，

∴当即时，函数取最小值，最小值为－4，

当，即时，函数取最大值，最大值为0.

（2）∵，∴，∴，

即，，，

则，当且仅当时等号成立.

所以当，时，取最大值16.

（3）令，，则，是方程的两根，

，，

由得，∴，

∴，即，解得.

19.（12分）【详解】（1）当时，，

当时，，，作差得，

故.

（2）当时，，

当时，，

所以当时，

，

又，要使对任意恒成立，则，故m的最小整数值为3．

20.（12分）【详解】（1），令，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，，，

所以函数的最大值为；最小值为，

，，所以函数有2个零点．

（2）证明：（法一）由题意只要证，即证，

令，则，

令，则，

则单调递增，，，

所以在内有唯一解，设为，即，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

故，，

根据二次函数的性质可知，对称轴，所以二次函数在单调递减，

，故曲线在抛物线的上方．

（法二）设，即证，略

21.（12分）【详解】（1）当时，函数单调递减，且.

又在上单调递增，由复合函数的单调性知，函数在上单调递减，

所以，解得；

当时，函数单调递增，且.又在上单调递增，

根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，

所以，解得.综上，，或，.

（2）因为，所以，，

则，定义域为，且函数在上单调递增.

因为，

所以为奇函数.则不等式，可化为.

又函数在上单调递增，则，即，

所以不等式的解集为.

22.（12分）【详解】（1）因为，则

，

当时，则，故在上单调递增，

当时，令，解得或（舍去），

当时，；当时，；

故在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知时，在上单调递增，

又，，所以存在唯一的，使，

因为，则，

令，则，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

又，，所以存在，使，

则当时，；当时，；

所以在单调递减，在上单调递增，所以m为的极小值点，故，

由可得，故，

所以，

又，所以，

又因为，且在上单调递增，所以.