2022-2023学年湖南省娄底市新化县第一中学高一上学期期末线上测试数学试题含解析

2022-2023学年湖南省娄底市新化县第一中学高一上学期期末线上测试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求得集合，结合图象求得正确结论.

【详解】，所以，

图象表示集合为，

，.

故选：B

2．已知条件，条件，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【详解】由，得，即，

由，得，即．

推不出，但能推出，

∴p是q的必要不充分条件.

故选：B

3．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】A. 根据函数的解析式判断；B.根据函数的解析式判断；C.根据函数的图象判断；D.根据函数的图象判断.

【详解】A. 的最小正周期为，是非奇非偶函数，故错误；

B. 的最小正周期为，是奇函数，故错误；

C.如图所示： ，不周期函数，为偶函数，故错误；

D. 如图所示：，的最小正周期为，是偶函数，故正确；

故选：D

4．若对x，都有成立，则实数a的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得，构造不等式，

进而得，根据题意和不等式恒成立可得，即可得出结果.

【详解】由，得，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，

，

，

由，得，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为；

由题意知，恒成立，所以，

故a的最小值为.

故选：B.

5．已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据的相邻的两个对称中心，得到周期，从而得到，结合在区间内单调递减，得到，根据对称中心得到，再对得到的根据在区间内单调递减，进行判断，从而得到答案.

【详解】点和是函数图像的相邻的两个对称中心

且正切函数图像相邻两个对称中心的距离，

函数的最小正周期，

即，解得.

又在区间内单调递减，

，

.

由，，

得，.

，

当时，；

当时，.

①当时，，

由，，

得，，

即函数的单调递减区间为，.

当时，函数的单调递减区间为，满足条件.

②当时，.

由，，

得，，

即函数的单调递减区间为，，

当，时，函数单调递减区间分别为，，

不符合题意，故舍去.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】本题考查根据根据正切型函数的性质求解析式，根据正切型函数的单调性和周期性求参数的值，属于中档题.

6．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】先设出高度h与时间t的函数解析式为，利用三角函数的性质及特殊点求出解析式，通过解三角函数不等式得到答案..

【详解】设点P距离地面高度h与时间t的函数

解析式为，

由题意，得，，，

所以，

又因为，所以，

所以，

令，即，

故，即在摩天轮转动的一圈内，

有分钟会有这种最佳视觉效果.

故选：C.

7．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合两个函数过定点，以及单调性相异判断即可.

【详解】函数与的图象过定点，

所以C，D错误；

又因为与单调性相异.

故选：A

8．定义在上的偶函数f（x）满足f（－x）＋f（x－2）＝0，当时，（已知），则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据条件，推出函数 的对称性，周期性和单调性，将自变量 转到区间 内，再根据单调性即可比较大小.

【详解】∵，，∴ ，

∴的图像关于直线和点对称，∴的周期为4，

当 时，，在递增，

由对称性知在 ，递减

∴， ，

，

又 ， ，

由条件知 ，，

∴；

故选：A.

二、多选题

9．下列命题：其中真命题的序号为（    ）

A．“若，则”的否命题；

B．“若，则的解集为”的逆否命题；

C．“周长相等的圆面积相等”的逆命题；

D．“若为有理数，则为无理数”的逆否命题.

【答案】ABC

【分析】A中写出否命题，判断真假，B和D直接判断原命题的真假得逆否命题的真假，C写出逆命题再判断真假．

【详解】“若，则”的否命题是：若，则，是真命题；

命题“若，则的解集为”，时，．恒成立，是真命题，因此其逆否命题是真命题；

“周长相等的圆面积相等”的逆命题是：面积相等的圆的周长相等，圆面积相等，则半径相等，周长必相等，是真命题．

“若为有理数，则为无理数”，时，是有理数，但也是有理数，原命题是假命题，其逆否命题是假命题．

故选：ABC．

10．已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A．函数为奇函数 B．函数在定义域上为减函数

C．函数的值域为 D．当时，

【答案】AD

【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可.

【详解】设幂函数为

将代入解析式得，故，所以，

定义域为，

因为，故函数为奇函数，故A正确；

函数在上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；

显然的值域为，故C错误；

当时，，

即满足，故D正确

故选：AD

11．若函数的最小正周期为，则（    ）

A． B．在上单调递增

C．在内有5个零点 D．在上的值域为

【答案】BC

【分析】根据二倍角公式化简，由周期可得，代入即可判断A,根据整体法即可判断BD，令，根据即可求解满足条件的零点，即可判断C.

【详解】.

由最小正周期为，可得，故，

对于A,,故A错误；

对于B,当时，，此时单调递增，故B正确；

对于C，令，

所以或，

当时，满足要求的有 故有5个零点，故C正确；

对于D,  当时，，则故，所以D错误.

故选：BC.

12．已知函数，其中表示不大于的最大整数，如：，，则（    ）

A．是增函数 B．是周期函数

C．的值域为 D．是偶函数

【答案】BC

【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用题中的定义求出函数的值域，可判断C选项.

【详解】对于A选项，因为，，所以，函数不是增函数，A错；

对于B选项，对任意的，存在，使得，则，

所以，，则，

所以，，

故函数为周期函数，且周期为，B对；

对于C选项，对任意的，存在，使得，则，

所以，，C对；

对于D选项，令，该函数的定义域为，

因为，

，

所以，，故函数不是偶函数，D错.

故选：BC.

三、填空题

13．已知集合，且，则实数的值为___________.

【答案】3

【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值.

【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；

若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，

所以.

故答案为：3.

【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.

14．函数是定义在上的奇函数，并且当时，，那么______．

【答案】

【分析】由题意判断，所以利用奇函数性质将其转化为求的值，直接利用题中解析式即可.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以.

故答案为:

15．若，则的值为________.

【答案】/

【分析】根据二倍角的正切公式，两角和的正切公式化简条件等式可求，再结合二倍角的正弦公式和同角关系求.

【详解】∵  ，

∴  ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 或，

又，

∴  当时，，

当时，，

∴  的值为，

故答案为：.

16．生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的，试推算马王堆古墓的年代约为___________年前．（若每克组织中的碳14含量为1，1年后残留量为，碳14含量与死亡年份对应关系为

前后误差不超过10年，，）

【答案】2193

【分析】设生物死亡年数为，则“半衰期”个数为，列方程求解未知数即可得解.

【详解】设生物死亡年数为，则“半衰期”个数为，

若死亡时碳14的含量为1，经过个“半衰期”后，

残留量为，

.

故答案为：2193

四、解答题

17．已知集合，.

（1）分别求，；

（2）已知，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）A∩B={x|4<x<6}，；（2）{a|4≤a≤8}.

【分析】（1）解一元二次不等式得集合，然后由交并集定义计算；

（2）根据集合的包含关系求解．

【详解】（1）由题意，集合A={x|3≤x<6}，B={x|4<x<9}.

所以A∩B={x|4<x<6}，.

（2），.

∵C⊆B，

，

解得：4≤a≤8.

故得实数的取值的集合为{a|4≤a≤8}.

18．已知

(1)求 ；

(2)求 的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；

（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】（1）由，

所以；

（2）

19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小

(2)．

【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；

（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．

【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，

当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

（2）由已知得x+2y＝30，

又∵（）•（x+2y）＝55+29，

∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．

∴的最小值是．

20．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式．

【答案】（1）或；（2）．

【分析】（1）根据是幂函数，得到，再由是偶函数和在上单调递增，由，且为偶函数求解.

（2）根据（1）偶函数在上递增，转化为求解.

【详解】（1）因为是幂函数，

则，解得或，

又是偶函数，所以是偶数，

又在上单调递增，

所以，

解得，

所以、、或．

所以或；

（2）由（1）偶函数在上递增，

，可化为，

即，

所以或．

所以的范围是．

21．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.

（1）求的解析式，并求其在上的增区间；

（2）若在上有两解，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）根据平移变换得到图像，再结合函数的性质可得的解析式，令，可得结果

（2）令，问题等价于在上有两解，数形结合得到结果.

【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，

函数的图像关于原点对称，，所以

（1）由， 得，

令得，得

在增区间是；

令，则所以

若有两解，即在上有两解，

由的图象可得，，即

的取值范围是

22．已知函数是偶函数，.

（1）若，求a的值；

（2）设函数.

①若函数有两个零点，且，求m的取值范围；

②若函数在区间上的最小值为，求m的值.

【答案】（1）；（2）①；②或.

【分析】（1）由是偶函数求出的取值，代入，由解出的取值；（2）①化简，令，可将转化为，由范围确定的范围，利用二次函数的根的分布求出的范围；②，由二次函数对称轴与单调区间的关系，讨论的范围，确定最小值，求出对应的的取值，检验是否成立，得出结果.

【详解】（1）因为是偶函数，所以对于恒成立，

化简后得，故，即.

所以，

由得，，即，

注意到，所以，

所以.

（2）①由（1）得，

所以

令，

所以，

因为在实数集R上递增，

所以当时，相应的，当时，相应的，

因为函数有两个零点，且，

所以函数有两个零点，且，

所以

所以

所以

②，

因为，所以

1.当时，即时，在上递增，

所以，

所以或（舍去）；

2.当时，即时，

在上递减，在上递增，

所以，

所以；

3.时，即时，在上递减，

所以

所以（舍去）.

综上所述：或.