人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数第1课时学案设计

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3.1.3　组合与组合数第1课时　组合与组合数、组合数的性质(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，理解组合的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式.教学重点：理解组合的概念、组合数公式及组合数的性质.教学难点：利用公式及性质解决一些简单的实际问题. 　 　 　 　　　　　 　 　　　　 　 　　知识点一　　　组合的定义一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.知识点二　　　组合与组合数公式 组合数定义从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数表示法C组合数乘积式C＝公式阶乘式性质1.C＝C；2.C＋C＝C备注①n和m都是自然数，且m≤n；②规定：C＝1，C＝n，C＝1  组合的定义包含两个基本内容：一是“取出对象”；二是“合成一组”，表示与对象的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同对象中任取m个对象，不同点是组合是“不管对象的顺序合成一组”，而排列是要求对象按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的对象有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m>时，通常不直接计算C而改为C，对于性质2，C＋C＝C要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的对象中任取两个对象的一个组合是C.(　　)(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积．(　　)(3)若组合C＝C，则x＝m成立．(　　)(4)C＝5×4×3＝60.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________．(2)C＝________.(3)C＋C＝________.答案　(1)20　(2)190　(3)161700  题型一  组合的有关概念例1　给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解]　(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的对象，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 教材判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个对象的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题． 　判断下列问题是排列问题，还是组合问题：(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解　(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的对象有关，与对象的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与对象的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．(4)四人互发电子邮件，由于发件人与收件人是有区别的，与顺序有关，是排列问题. 题型二  组合数以及组合数性质的应用例2　(1)计算：C－CA；(2)已知－＝，求C；(3)求C＋C的值；(4)证明：mC＝nC.[解]　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为＝，即＝，即，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21(不符合题意，舍去)．∴C＝C＝28. 即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21(不符合题意，舍去)．∴C＝C＝28.(3)∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N，∴n＝10，∴C＋C＝C＋C＝＋＝466.(4)证明：mC＝m·＝n·＝nC. 点睛(1)像排列数公式一样，公式C＝一般用于计算；而公式C＝及C＝一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式A mn＝CA的逆向运用，如本例(1)中可利用“CA＝A”简化计算过程．(4)本例(4)所推导的结论“mC＝nC”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握． 　(1)①求值：C＋C；②求证：C＝C.(2)计算：①C＋CC；②C＋C＋C＋C＋C＋C；③CC.解　(1)①解得4≤n≤5.又n∈N，所以n＝4或n＝5.当n＝4时，原式＝C＋C＝5，当n＝5时，原式＝C＋C＝16.②证明：因为C＝，C＝＝，所以C＝C. (2)①原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)＝2×＝32.③原式＝CC＝(n＋1)n＝n2＋n.  题型三  简单的组合问题例3　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同对象中取出2个对象的组合数，即有C＝＝45种不同的选法．(2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C种方法；第2类，选出2名女教师，有C种方法，即共有C＋C＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有CC＝×＝90种不同的选法． 点睛解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的对象之间的顺序有关，而组合问题与取出对象的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏． 　在50件产品中，有4件次品，现从中任意抽取3件．(1)“全部是合格品”的不同抽取方法共有多少种？(2)“恰有2件次品”的不同抽取方法共有多少种？(3)“最多有1件次品”的不同抽取方法共有多少种？解　在50件产品中，有4件次品，即有46件合格品．(1)抽取的3件产品“全部是合格品”，即在46件合格品中任取3件即可，有C＝15180种取法．(2)在46件合格品中任取1件，在4件次品中任取2件，根据分步乘法计数原理，共有CC＝276种取法．(3)分两类：第1类，抽取的3件产品中有1件次品，2件合格品，有CC种取法；第2类，抽取的3件产品全为合格品，有C种取法，故共有CC＋C＝19320种取法． 
1．下列问题不是组合问题的是  (　　)A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案　D解析　组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选D.2．若C－C＝C，则n等于(　　)A．12  B．13  C．14  D．15答案　C解析　∵C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，∴n＝14，故选C.3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有  (　　)A．A种  B．C种C．CA种  D．30种答案　B解析　三张票没区别，从10人中选3人即可，即C，故选B.4．若C>C，则n的集合是________．答案　{6,7,8,9}解析　∵C>C，∴⇒⇒⇒∵n∈N，∴n＝6,7,8,9.∴n的集合为{6,7,8,9}．5．现有6名内科医生和4名外科医生，要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生；(2)既有内科医生，又有外科医生．解　(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生选1人，2人，3人，4人，相应地，外科医生选4人，3人，2人，1人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C－C＝246种选派方法． 　 　 　 　　　　　 　 　　　　 　 　　 A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知组合数C＝6，则在平面直角坐标系内以点(x，y)为顶点的图形是  (　　)A．三角形  B．平行四边形C．梯形  D．矩形答案　A解析　当x＝6，y＝1；x＝6，y＝5；x＝4，y＝2时，C＝6，所以满足题意的点有(6,1)，(6,5)，(4,2)，共3个，可构成三角形．故选A.2．从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为   (　　)A．35  B．42  C．105  D．210答案　A解析　由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C＝＝35.3．从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法种数为(　　)A．168  B．45  C．60  D．111答案　D解析　选出的代表中女生有1,2,3名时，男生相应有3,2,1名，则不同的选法种数为CC＋CC＋CC＝111.4．C＋C＋C＋C＋…＋C＝(　　)A．C  B．C  C．C  D．C答案　D解析　原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C.故选D.5．(多选)以下四个式子正确的是(　　)A．C＝  B．A＝nAC．C÷C＝  D．C＝C答案　ABCD解析　对于A，显然成立；对于B，A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)，A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝nA，故B成立；对于C，C÷C＝＝＝，故C成立；对于D，C＝＝＝C，故D成立．故选ABCD.二、填空题6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的含有3个元素的子集共有________个．答案　10解析　从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C＝10个子集．7．若A＝6C，则m的值为________．答案　7解析　由A＝6C，得＝6·，即＝，解得m＝7.8．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．答案　140解析　第一步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C种不同的选法；第二步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有CC＝140种不同的安排方案．三、解答题9．有两组平行线，第一组平行线有5条，第二组平行线有6条，第一组平行线与第二组平行线相交，问这两组平行线能构成多少个平行四边形？解　每一个平行四边形有两组对边平行，即两组对边平行的一个组合对应于一个平行四边形．而两组对边平行的组合数为CC＝150.因此能构成150个平行四边形．10．(1)解方程：3C＝5A；(2)解不等式：2C<3C；(3)计算C＋C＋C＋…＋C.解　(1)由排列数和组合数公式，原方程可化为即(x－3)(x－6)＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．∴方程的根为x＝11.(2)∵2C<3C，∴2C<3C，∴<，∴x<，∵∴x≥2，∴2≤x<，又x∈N*，∴x＝2,3,4,5.∴不等式的解集为{2,3,4,5}．(3)由题意，得解得≤n≤，又n∈N*，故n＝6.∴原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝19＋18＋17＋…＋12＝124.B级：“四能”提升训练1．(1)设x∈N*，求C＋C的值；(2)解不等式：C＜C＜C.解　(1)由题意可得解得2≤x≤4，∵x∈N*，∴x＝2或x＝3或x＝4，当x＝2时，原式值为4；当x＝3时，原式值为7；当x＝4时，原式值为11.∴所求式的值为4或7或11.(2)原不等式可化为又x∈N*且x≥4，∴x＝4,5,6,7,8,9,10.∴原不等式的解集是{4,5,6,7,8,9,10}．2．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？解　(1)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有CC＝2100种．所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种．(2)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2555种．所以至少有2种假货在内的不同取法有2555种．(3)选取3种商品的种数为C，选取3种假货的种数为C，所以至多有2种假货在内的不同取法有C－C＝6090种．