选择性必修 第二册第二章 导数及其应用2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念课堂检测

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1．某汽车的紧急刹车装置需在遇到紧急情况2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝ eq \f(1,3)t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )
A．汽车刹车后1 s内的位移
B.汽车刹车后1 s内的平均速度
C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D.汽车刹车后1 s时的位移
2．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝( )
A. eq \f(1,2) B．3
C.4 D．5
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A.4 B．－4
C.－2 D．2
4．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为( )
A.1 B．－1
C.±1 D．3 eq \r(3)
5．已知函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A.5 B．4
C.3 D．2
6．(多选题)以下论断错误的是( )
A.若直线l与曲线C：y＝f(x)有且只有一个公共点，则直线l一定是曲线y＝f(x)的切线
B.若直线l与曲线C：y＝f(x)相切于点P(x0，y0)，且直线l与曲线C：y＝f(x)除点P外再没有其他的公共点，则在点P附近，直线l不可能穿过曲线y＝f(x)
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________．
8．函数y＝x＋ eq \f(1,x)在x＝1处的导数是________．
9．江轮航行过程中耗油量y(单位：L)关于船相对于水的速度x km/h的函数关系式为y＝f(x).若函数y＝f(x)在x＝36处的导数f′(36)＝2.8，试解释它的实际意义．
10．已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．
[提能力]
11．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A.a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
12．(多选题)下列命题正确的是( )
A.若f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))＝0，则函数f(x)在x0处无切线
B.函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点
C.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时， eq \f(f（1）－f（1＋Δx）,2Δx)＝1
D.若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0
13．已知y＝ eq \r(x＋4)，则y′|x＝1＝________．
14．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________．
15．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在x h时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
[培优生]
16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形面积．
课时作业(十五) 导数的概念及其几何意义
1．解析：s′(t)表示运动物体在时刻t的速度即在t的瞬时速度．
故选C.
答案：C
2．解析：由于kl＝ eq \f(5－3,4－0)＝ eq \f(1,2)，∴f′(4)＝ eq \f(1,2)，
故选A.
答案：A
3．解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2.
故选D.
答案：D
4．解析：∵ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝ eq \f(（x＋Δx）3－x3,Δx)
＝(Δx)2＋3x0Δx＋3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))
∴当Δx→0时，f′(x0)＝3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，
∴x0＝±1.
故选C.
答案：C
5．解析：因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1, 所以g′(1)＝2
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋x2，所以f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝g′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋2x
所以f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝g′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＋2＝2＋2＝4，
故选B.
答案：B
6．解析：例如：直线x＝1不是正弦曲线y＝sin x的切线，但直线x＝1与曲线y＝sin x有且仅有1个公共点，所以A不正确；
例如函数y＝x3在x＝0处的切线y＝0，此时直线y＝0穿过曲线y＝x3，所以B不正确；
切线与导数的关系：(1)函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝x0处可导，则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝x0处切线一定存在，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；(2)函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝x0处不可导，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝x0处切线可能存在，可能不存在，所以C不正确；
根据导数的几何意义，可得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在，所以D是正确的．
故选ABC.
答案：ABC
7．解析： eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝ eq \f(a（1＋Δx）＋3－a－3,Δx)＝a，
当Δx→0时，f′(1)＝a＝3.
答案：3
8．解析：∵Δy＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋Δx＋\f(1,1＋Δx)))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,1)))＝Δx－1＋ eq \f(1,Δx＋1)＝ eq \f(（Δx）2,Δx＋1)，
∴ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(Δx,Δx＋1)，
∴当Δx→0时，∴y′|x＝1＝0.
答案：0
9．解析：f′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时，耗油量增加的速度为2.8 L/h，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h时，船的航行速度每增加1 km/h，耗油量就要增加2.8 L．
10．解析：由方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2＋3，,y＝2x＋2，))得x2－2x＋1＝0，
解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，又因为 eq \f(（Δx＋1）2＋3－（12＋3）,Δx)＝Δx＋2.
当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2，
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.
11．解析：∵ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(（0＋Δx）2＋a（0＋Δx）＋b－b,Δx)＝Δx＋a，
∴当Δx→0时，y′|x＝0＝a＝1.
又∵(0，b)在切线上，∴b＝1.
故选A.
答案：A
12．解析：若f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；
函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点(－2，－2)，故选项B正确；
因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2
又 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1）－f（1＋Δx）,2Δx)＝－ eq \f(1,2) eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝－ eq \f(1,2)f′(1)＝－1≠1，故选项C错误；
因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1，又f(1)＝2，所以切点坐标为(1，2)，斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，化简得x＋y－3＝0，故选项D正确．
故选BD.
答案：BD
13．解析：由题意知Δy＝ eq \r(1＋Δx＋4)－ eq \r(1＋4)＝ eq \r(5＋Δx)－ eq \r(5)，
∴ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(\r(5＋Δx)－\r(5),Δx).
∴当Δx趋于0时，y′|x＝1＝ eq \f(\r(5),10).
答案： eq \f(\r(5),10)
14．解析：设切点为P(x0，y0)，
则 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(a（x0＋Δx）2－ax eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,Δx)＝ eq \f(2ax0Δx＋a（Δx）2,Δx)＝2ax0＋aΔx，
当Δx趋于0时，y′|x＝x0＝2ax0＝1，
又y0＝ax eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ，x0－y0－1＝0，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2ax0＝1，,y0＝ax eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ，,x0－y0－1＝0，))解得a＝ eq \f(1,4).
答案： eq \f(1,4)
15．解析：在第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)
根据导数定义
eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)
＝ eq \f(（2＋Δx）2－7（2＋Δx）＋15－（22－7×2＋15）,Δx)
＝Δx－3
所以f′(2)＝lim eq \(,\s\d4(Δx→0)) (Δx－3)＝－3
同理可得：f′(6)＝5
在第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，
说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降
在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升．
16．解析：(1) eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－2－x2－x＋2,Δx)＝2x＋Δx＋1，
当Δx趋于0时，y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2，
因为l1⊥l2，
则有2b＋1＝－ eq \f(1,3)，b＝－ eq \f(2,3)，
所以直线l2的方程为y＝－ eq \f(1,3)x－ eq \f(22,9).
(2)解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)))
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(5,2)．))
所以直线l1和l2的交点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，－\f(5,2)))，
l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(22,3)，0))，
所以所求三角形的面积S＝ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(22,3)))× eq \f(5,2)＝ eq \f(125,12).