高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义综合训练题

第二章§2　导数的概念及其几何意义

2.1　导数的概念~2.2　导数的几何意义

A级 必备知识基础练

1.[2023山东聊城一中校考期中]已知函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=-1,则=(　　)

A.-1 B.1 C. D.-2

2.已知函数f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于 (　　)

A.±2 B.2 C.-2 D.-4

3.已知曲线y=f(x)=-x2-2上一点P1,-,则在点P处的切线的倾斜角为(　　)

A.30° B.45° C.135° D.165°

4.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则(　　)

A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0

C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在

5.设曲线y=f(x)=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,则a等于(　　)

A.2 B.- C. D.-1

6.若点(0,1)在曲线f(x)=x2+ax+b上,且f'(0)=1,则a+b=　　　　　. 

7.在曲线y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则=　　　　　. 

8.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=　　　　. 

9.曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积为　　　　. 

10.已知曲线y=-x2,求该曲线在点P(2,-2)处的切线方程.

11.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知其关系式为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).

(1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率是多少?它表示什么实际意义?

(2)求T'(5),并解释它的实际意义.

12.在曲线y=x2上哪一点处的切线分别满足下列条件:

(1)平行于直线y=4x-5;

(2)垂直于直线2x-6y+5=0;

(3)与x轴成135°的倾斜角.

B级 关键能力提升练

13.已知=-2,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为(　　)

A.-4 B.4 C.2 D.-2

14.若曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1) B.(-1,1)

C.(-∞,1) D.(1,+∞)

15.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列(n∈N+)的前n项和为Sn,则S2 021的值为(　　)

A. B.

C. D.

16.(多选题)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)

A.(0,0) B.(1,-1)

C.(-1,1) D.(1,1)

17.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+的图象在点(1,m)处的切线,则a+b=　　　　,m=　　　　　. 

18.若抛物线y=f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为　　　　. 

19.设P为曲线C:y=f(x)=x2+2x+3上一点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为0,,则点P的横坐标的取值范围为　　　　　　　　. 

20.[2023陕西西安高二阶段练习]已知曲线C:f(x)=x3.

(1)利用导数的定义求f(x)的导函数f'(x);

(2)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程.

C级 学科素养创新练

21.(多选题)已知函数y=f(x)(x∈R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x0+4)(x-x0),那么下列结论正确的有(　　)

A.f'(1)=-5

B.在x=2处的切线平行或重合于x轴

C.切线斜率的最小值为1

D.f'(4)=12

参考答案

§2　导数的概念及其几何意义

2.1　导数的概念~2.2　导数的几何意义

1.D　根据题意,函数y=f(x)在x=x0处的导数为f'(x0)=-1,

而=2=2f'(x0)=-2.故选D.

2.A　f'(m)==-,则-=-,m2=4,

解得m=±2.

3.C　∵点P1,-在曲线y=f(x)=-x2-2上,

∴=-1-Δx,

令Δx趋于0,

则y=-x2-2在x=1处的导数为f'(1)=-1,即函数y=-x2-2在点P处的切线斜率为-1.

又倾斜角的取值范围是[0°,180°),

∴在点P处的切线的倾斜角为135°.

4.C　由导数的几何意义,可得f'(x0)=-2<0.

5.B　由y=ax2,得Δy=a(2+Δx)2-22a=4aΔx+a(Δx)2,则=4a+aΔx,令Δx趋于0,∴f'(2)=4a.

又y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,∴4a=-,∴a=-.

6.2　∵f'(0)=(a+Δx)=a=1,又f(0)=1,即b=1,

∴a+b=2.

7.2　∵=2+Δx,

∴(2+Δx)=2.

8.2　由题意知a+b=3,

又f'(1)==2a=2,

则a=1,b=2,故=2.

9.　∵f'(1)==3,

∴曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2,则切线与x轴,直线x=2所围成的三角形面积为×2-×4=.

10.解由f'(x)=-x-Δx=-x,所以f'(2)=-2,即该曲线在点P(2,-2)处的切线斜率为-2,所以所求的切线方程为y-(-2)=-2(x-2),即2x+y-2=0,所以曲线y=-x2在点P(2,-2)处的切线方程为2x+y-2=0.

11.解(1)在0min到10min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率为=-1.6(℃/min),它表示在0min到10min这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.

(2)T'(5)=

=

==-1.2(℃/min),它表示太阳落山后5min时,蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min.

12.解(1)y'=(2x+Δx)=2x.

设点P(x0,y0)是曲线上满足条件的切点.

因为切线与直线y=4x-5平行,

所以k=y'=2x0=4,得x0=2,

即点P(2,4)处的切线平行于直线y=4x-5.

(2)因为与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0×=-1,得x0=-,即点P-处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.

(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=2x0=-1,得x0=-,即点P-处的切线与x轴成135°的倾斜角.

13.D　根据题意,因为=-2,

即f'(1)=-2,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=-2.故选D.

14.C　y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k=f'(x0)=1-=1-<1,即k<1.

15.A　因为f(x)=x2+bx,

所以f'(1)=(2+Δx+b)=2+b.

因为函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,

所以f'(1)=2+b=3,解得b=1,

所以f(x)=x2+x=x(x+1),,

所以S2021=+…+=1-.

故选A.

16.BC　设切点坐标为(x0,y0),

则

=

=,

令Δx趋于0,则f'(x0)=3-2=tan=1,

所以x0=±1,

当x0=1时,y0=-1,

当x0=-1时,y0=1.故选BC.

17.5　3　由题意知m=a+2,1+m=b,

因为f'(1)=a-=a-2,所以曲线f(x)在点(1,m)处的切线斜率为a-2,由a-2=-1,得a=1,m=3,b=4,a+b=5.

18.4　

==-5+Δx.

令Δx趋于0,则函数y=x2-x+c在x=-2处的切线斜率为-5.

∴切线方程为y=-5x.

∴点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10,

将P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.

19.-1,-　设点P的横坐标为x0,

则

=

==2x0+2+Δx,

令Δx趋于0,则函数y=x2+2x+3在x=x0处的切线斜率为2x0+2,

由题意,得0≤2x0+2≤1,

∴-1≤x0≤-,

∴点P的横坐标的取值范围为-1,-.

20.解(1)f'(x)=[3x2+3x·Δx+(Δx)2]=3x2.

(2)将x=1代入曲线C的方程,得f(1)=1,

∴切点的坐标为(1,1).

又切线的斜率k=f'(1)=3×12=3,

∴过点(1,1)的切线的方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

21.AB　由题意函数y=f(x)(x∈R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x0+4)(x-x0),

可得f'(x)=(x-2)(x+4),

对于选项A,f'(1)=-5,A正确;

对于选项B,当x=2时,f'(2)=0,故在x=2处的切线平行或重合于x轴,B正确;

对于选项C,f'(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9,故切线斜率的最小值为-9,C错误;

对于选项D,f'(4)=16,D错误.故选AB.