压轴题22以四边形新定义为背景的阅读材料压轴题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

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2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题22以四边形新定义为背景的阅读材料压轴题

例1．（2022春•玄武区期末）【概念认识】
在四边形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为 　 　°；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP＝∠CEB．
【综合运用】
在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝α，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与α满足的关系及对应α的取值范围．


















例2．（2022•长沙模拟）有一组对角相等的凸四边形称为“对等四边形”，连接这两个相等对角的顶点的线段称为“对等线”．
（1）如图1，已知四边形ABCD是“对等四边形”，AC是“对等线”，且AB＝BC．求证：AD＝CD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝120°，∠ABC＝150°．且AD⊥BD，BC=22，BD＝4．
①求证：四边形ABCD是“对等四边形”；
②试求AC2．
（3）如图3，对等四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，AD上存在点E，满足AE=CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连结CE，CE＝BG．若AD＝2，tan∠ADB=32，求：
①cos∠F的值；
②△DEF的周长，（请选择一个进行解答）．




















例3．（2023•秦都区校级三模）【了解概念】
定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【理解运用】
（1）如图1，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB、BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形ABCD，要求：点D在格点上；
（2）如图2，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ABC＝90°，BC=33，求CD的长；
【拓展提升】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知OC＝4，OA＝6，D是OA的中点．在矩形OABC内或边上，是否存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．


















1．（2022秋•开江县校级期末）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2=ba两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，已知点A（2，2），B（4，2），C（4，4），D（2，4），P（a，b）是四边形ABCD上任意一点．试说明是否存在使点P的“倾斜系数”k为32的点．若存在，请自己写出这样的点P的坐标；若不存在，请说明理由．


















2．（2023•定远县校级一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画图痕迹（找出2个即可）
（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
②若AC=10，求AD•AB的值．
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠ACB＝90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为5：2缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长．


3．（2022秋•镇海区校级期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
①2x2+5x+1＝0 　 　（填“是”或“不是”）；
②3x2+52x+4＝0 　 　（填“是”或“不是”）
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．



4．（2022秋•龙岗区校级期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．
（1）如图1，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，CD=2，∠BCD＝∠DBC，判断四边形ABCD是不是“等邻边四边形”，并说明理由；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，现将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，BC′，若平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，求BB'的长．

5．（2023春•义乌市校级期中）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
【概念理解】
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（只写一个即可）
【问题探究】
如图2，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB′的方向平移，得到△A′B′C′，连接AA′、BC′，若平移后的四边形ABC′A′是等邻边四边形，求平移的距离（直接写出答案）．
【拓展应用】
如图3，等邻边四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝90°，AC，BD为对角线，△BCD为等边三角形，试给出AC和AB的数量关系，并说明理由．





6．（2023春•江油市月考）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；
【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；
【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．


7．（2023春•西城区校级期中）平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为：A（-12，12），B（-12，-12），C（12，-12），D（12，12），P、Q是这个正方形外两点，且PQ＝1．给出如下定义：记线段PQ的中点为T，平移线段PQ得到线段P'Q'（其中P'，Q'分别是点P，Q的对应点），记线段P'Q'的中点为T．若点P'和Q'分别落在正方形ABCD的一组邻边上，或线段P'Q'与正方形ABCD的一边重合，则称线段TT'长度的最小值为线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”，称此时的点T'为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”．
（1）如图1，平移线段PQ，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段P1Q1和P2Q2，这两条线段的位置关系为 　 　；若T1，T2分别为P1Q1和P2Q2的中点，则点 　 　（填T1或T2）为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”；

（2）若线段PQ的中点T的坐标为（1，1），记线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”为d1，请直接写出d1的最小值：　 　，并在图2中画出此时线段PQ到正方形ABCD的“回归点”T'（画出一种情况即可）；
（3）请在图3中画出所有符合题意的线段PQ到正方形ABCD的“回归点”组成的图形．
8．（2022秋•兴化市校级期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

9．（2021秋•永丰县期末）定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．
特例感知：
（1）如图1，四边形ABCD是“垂美四边形，如果OA=OD=13OB，OB＝2，∠OBC＝60°，则AD2+BC2＝　 　，AB2+CD2＝　 　．
猜想论证
（2）如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．
拓展应用：
（3）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，∠BAC＝60°，求GE长．
（4）如图3，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，∠BOC＝120°，OA＝OD，OC=3，连接AC，BC，BD，请直接写出BC的长．




10．（2022秋•东城区校级月考）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2，若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3，12），有|0-12|=14|1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14．
已知点A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，12）．
（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：　 　，它们的“限斜系数”为 　 　；
（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；
（3）正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M（0，m）．点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，直接写出点M的纵坐标m的取值范围．


11．（2022•南京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“邻近距离”，记为d（图形M，图形N），已知点A（﹣2，﹣2），B（3，﹣2），C（3，3），D（﹣2，3）．
（1）d（点O，线段AB）＝　 　；
（2）若点G在轴上，且d（点G，线段AB）＞2，求点G的横坐标a的取值范围；
（3）依次连接A，B，C，D四点，得到正方形ABCD（不含图形内部），记为图形M，点E（t，0），点F（0，12-t）均不与点O重合，线段EO，OF组成的图形记为图形N，若1＜d（图形M，图形N）＜2，直接写出t的取值范围．
12．（2022春•海淀区校级期中）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M、N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．
（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，3），点F在CE上运动（点F可以与C，E重合），连接OF，DF．
①线段OF的最小值为 　 　，最大值为 　 　；线段DF的取值范围是 　 　．
②在点O，D中，点 　 　与线段CE满足限距关系．
（2）如图2，正方形ABMN的边长为2，直线PQ分别与x轴，y轴交于点Q，P，且与x轴正方向的夹角始终是30°，若线段PQ与正方形ABMN满足限距关系，求点P的纵坐标a（a＞0）的取值范围；
（3）如图3，正方形ABMN的顶点均在坐标轴上，A（0，b）（b＞0），G，H是正方形边上两点，分别以G，H为中心作边长为1的正方形，与正方形ABMN的四边分别平行．若对于任意的点G，H，以G，H为中心的正方形都满足限距关系，直接写出b的取值范围．

13．（2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．

【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．
①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝　 　度．
②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝　 　．
【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．

14．（2022春•曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．

（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是 　 　（填序号）；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EC＝DF，连接EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；
（3）如图2，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．

15．（2022春•长汀县期末）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．
（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p1（1，0），p2(2，3)，p3(-1，-5)．
（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．
（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．

16．（2022春•北仑区期末）定义：对角线相等的四边形称为对美四边形．
（1）我们学过的对美四边形有 　 　、　 　．（写出两个）
（2）如图1，D为等腰△ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作CF∥AB，以B为顶点作∠CBE＝∠ACD交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形．
（3）如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD，DC∥AB．
①若∠AOB＝120°，AB+CD＝6，求四边形ABCD的面积．
②若AB⋅CD＝6，设AD＝x，BD＝y，试求出y与x的关系式．


17．（2022春•江北区期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 　 　．
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：
　 　；
　 　．
问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．


18．（2022春•铜山区期末）新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形．

（1）下列四边形为对直四边形的是 　 　（写出所有正确的序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形，④正方形．
（2）如图，在对直四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，O为AC的中点．
①求证：BD的垂直平分线经过点O；
②若AB＝6，BC＝8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度．

19．（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．
（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝　 　度．
（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．
①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；
②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．
（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．
（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝213dm，AD＝3dm，BD=37dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

20．（2022春•盐田区校级期末）给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．
（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；
（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的长．