压轴题18以圆为背景的几何类比探究压轴问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年中考数学压轴题专项训练

压轴题18以圆为背景的几何类比探究压轴问题

例1．（2023•松北区一模）已知：四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD即相交于点F，连接OC，∠BCO＝∠ABD．

（1）如图1，求证：AC⊥BD；

（2）如图2，过点F作FH⊥AD于点H，延长HF交BC于点R．求证：BR＝CR；

（3）如图3，在（2）的条件下，点E、点G分别是FD，AD上的点，连接AE、EG、OR，∠ADB＝2∠CAE，，EF＝2，，求⊙O的半径．

例2．（2023•平阳县一模）如图，点O在Rt△ABC的斜边AB上，半圆O切AC于点D，切BC于点E，连接OD，OE，Q为线段BC上一点，QP⊥AB交AB于点P，已知AC＝3，BC＝6，设OP＝x，EQ＝y．

（1）求半圆O的半径和OB的长；

（2）若点Q在线段BE上．①求y关于x的函数表达式；②在OE上取点F（不与点O重合），连接PF，QF，当△PQF为等腰直角三角形时，求所有满足条件x的值；

（3）当PQ经过的中点G时，求QG的长．

例3．（2023•长沙模拟）定义：有一个内角等于另外两个内角之和的四边形称为“和谐四边形”．

（1）已知∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝α，请直接写出一个α的值 　                  　，使四边形ABCD为“和谐四边形”．

（2）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，AE＝DE．求证：四边形DBCE为“和谐四边形”．

（3）在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作⊙O，与边AB交于点F，与边BC交于点G，连接FG，EG是⊙O的直径．

①求证：BF＝FC；②若AE＝1，，∠BGF﹣∠B＝45°，求“和谐四边形”DBCE的面积．

例4．（2023•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．

对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为P″，NP″中点记为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上，若点P（﹣3，0），点Q为点P的“对应点”．

①在图1中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T．求证：；

（2）⊙O的半径为2，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（1＜t＜2），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

1．（2023•香洲区校级一模）如图1，已知⊙O的半径为2，A、B、D在⊙O上，DH经过点O且与AB垂直垂足为点H，点F是线段HB上的一个动点（不与H，B重合），连接DF并延长与⊙O交于点C，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E．

（1）求证：EC＝EF；

（2）如图2，连接CA，CB，DE，DB，DA，已知∠ACD＝60°时，求DF•DC的值；

（3）在（2）的条件下，若∠CAB＝∠BDE，求证：DF•DC＝AC•DE．

2．（2023•浦东新区二模）已知：⊙O的直径AB＝10，C是的中点，D是⊙O上的一个动点（不与点A、B、C重合），射线CD交射线AB于点E

．

（1）如图1，当BE＝AB时，求线段CD的长；

（2）如图2，当点D在上运动时，连接BC、BD，△BCD中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；

（3）联结OD，当△ODE是以DE为腰的等腰三角形时，求△ODE与△CBE面积的比值．

3．（2023春•海陵区月考）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C作CE⊥AD于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；

（3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值．

4．（2023春•长沙期中）如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝120°，∠ABC＝150°，且，BD＝4．

（1）求∠DCB的度数；

（2）如图2，连接AC，求AC2；

（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连结CCE，CE＝BG．若，用含字母a的式子表示△DEF的周长．

5．（2023•花都区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AB＝10，BC＝8，AE平分∠CAB交BC于点E．

（1）尺规作图：在AE的延长线上取一点F，使得BF＝BE，连接BF；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中：

①证明：BF是⊙O的切线；

②求的值．

6．（2023•碑林区校级模拟）如图①，已知线段AB与直线l，过A、B两点，作⊙O使其与直线l相切，切点为P，易证∠APB＝∠AHB＞∠AQB，可知点P对线段AB的视角最大．

问题提出（1）如图②，已知△ABP的外接圆为⊙O，PQ与⊙O相切于点P，交AB的延长线于点Q．

①请判断∠BPQ与∠A的大小关系，并说明理由．

②若QB＝2，AB＝6，求PQ的长．

问题解决（2）如图③，一大型游乐场入口AB设在道路DN边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关部门准备在与地面道路DN夹角为60°的射线DM方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一个位置C，并架设斜杆AC，在斜杆AC的中点P处安装一摄像头，对入口AB实施监控（其中点A、B、D、P、C、M、N在同一平面内），已知DA＝40米，AB＝25米，调研发现，当∠APB最大时监控效果最好，请问在射线DM上是否存在一点C，使得∠APB达到最大？若存在，请确定点C在DM上的位置及斜杆AC的长度；若不存在，请说明理由．

7．（2023春•西城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点C和圆P，给出如下定义：

若圆P上存在A、B两点，使得△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，则称点C是圆P的“等垂点”．

（1）当点P坐标为（3，0），且圆P的半径为2时．

①如图1，若圆P上存在两点A（1，0）和B（3，2），请直接写出此时圆P的“等垂点”C的坐标 　              　；

②如图2，若直线y＝x+b上存在圆P的“等垂点”，求b的取值范围；

（2）设圆P的圆心P在y轴上，半径为2．

若直线y＝﹣x上存在点R，使半径为1的圆R上有点S是圆P的“等垂点”，请直接写出圆心P的纵坐标的取值范围．

8．（2023•花都区一模）如图1，已知∠MAN＝60°，在射线AM、AN上分别截取点B、C，使AB＝AC＝8．

（1）求证：AB＝BC；

（2）如图2，以BC为直径在BC的上方作一个半圆，点D为半圆上的一个动点，连接AD交BC于点E．

①当DB⊥AB时，求AD的长．

②在线段AC上取一点F，连接BF交AD于点G，若BF＝AE，当点D在半圆BC上从点B运动到点C时，求点G经过的路径长．

9．（2023•长沙模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，且C为的中点，AE交CD于点G，若AF＝2，AE＝8，动点M是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点P．

（1）求CF的长；

（2）连接OG，求证：OG⊥AC；

（3）当动点M在⊙O的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．

10．（2023•襄都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，过DC的中点M作射线AM，点E在射线AM上（点E不与点A重合），点F是AE的中点，以EF为直角边在射线AM的右侧作直角△EFG，其中∠FEG＝90°，tan∠EGF．⊙O是△EFG的外接圆，设⊙O的半径为r．

（1）用含r的代数式表示EF的长；

（2）当⊙O与矩形ABCD的边相切时，求r的值；

（3）当边EG与矩形ABCD的边有交点时，请直接写出符合条件的整数r的值．

11．（2023•双桥区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，．动点M由点A向点D运动，过点M在AD的右侧作MP⊥AM，连接PA、PD，使∠MPA＝∠BAD，过点A、M、P作⊙O．（参考数据：sin49°，cos41°，tan37°）

（1）当⊙O与DP相切时．

①求AM的长；

②求的长．

（2）当△APD的外心Q在△AMP的内部时（包括边界），求在点M移动过程中，点Q经过的路径的长．

（3）当△APD为等腰三角形，并且线段PD与⊙O相交时，直接写出⊙O截线段PD所得的弦长．

12．（2023•崂山区一模）【问题提出】如图1，△ABC为⊙O内接三角形，已知BC＝a，圆的半径为R，探究a，R，sin∠A之间的关系．

【解决问题】如图2，若∠A为锐角，连接BO并延长交⊙O于点D，连接DC，则∠A＝∠D，在△DBC中，BD为⊙O直径，BC＝a，所以BD＝2R，∠BCD＝90°．

所以在Rt△DBC中建立a，R，sinD的关系为 　                  　．

所以在⊙O内接三角形△ABC中，a，R，sinA之间的关系为 　                  　．

类比锐角求法，当∠A为直角和钝角时都有此结论．

【结论应用】

已知三角形△ABC中，∠B＝60°，AC＝4，则△ABC外接圆的面积为 　                  　．

13．（2023•宁波一模）如图1，AC为▱ABCD的对角线，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E，连结BE．

（1）求证：∠BAC＝∠ABE．

（2）如图2，当AB＝AC时，连结OA、OB，延长AO交BE于点G，求证△GOB∽△GBA．

（3）如图3，在（2）的条件下，记AC、BE的交点为点F，连结AE、OF．

①求证：BG2﹣GF2＝GF•EF．

②当时，求sin∠EAG的值．

14．（2023春•闽侯县期中）如图，点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A，B两点重合），点D是的中点、DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F，连接OF，过点D作半圆O的切线DP交BA的延长线于点P．

（1）求证：AC∥DP；

（2）求证：AC＝2DE；

（3）连接CE，CP，若AE：EO＝1：2，求的值．

15．（2023•张家口二模）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，OD＝5，sin∠ACB．

（1）如图2，P是对角线AC一点（点P不与两端点重合）．以AP为直径在对角线AC的下方作半圆E，交AB边于点M，连接PM．求cos∠APM＝？

（2）如图3，当半圆E与BC边相切于点F时，连接PF．求tan∠CFP＝？

（3）如图4，点R在BC边上，连接AR，当AR时，求∠CAR＝？

（4）已知点N在AB边或BC边上，且△APN是直角三角形．当同时存在四个符合条件的N点时，请直接写出线段AP的取值范围 　                  　．

16．（2023•慈溪市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，AC为直径，E为一动点，连结BE交AC于点G，交AD于点F，连结DE．

（1）设∠E为α，请用α表示∠BAC的度数．

（2）如图1，当BE⊥AD时，

①求证：DE＝BG．

②当，BG＝5时，求半径的长．

（3）如图2，当BE过圆心O时，设tan∠ABE＝x，，求y关于x的函数表达式．

17．（2023•义乌市校级模拟）如图1：以x轴的正半轴上一点O1为圆心作⊙O1，交x轴于C、D两点，交y轴于A、B两点，以O为圆心OA为半径的⊙O与x轴的负半轴交于G点．设⊙O1的弦AC的延长线交⊙O于F点，连结GF，AG，若AO＝4，（1）求证：△AGC∽△AFG；

（2）求出点O1的坐标；

（3）如图2，线段EA、EB（或它们的延长线）分别交⊙O于点M、N．问：当点E在（不含端点A、B）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？若不变，求出MN的长度；若变化，请说明理由．

18．（2023•衡水模拟）在一平面内，点D是⊙A上的点，连接AD，AB、BC、CD是三条定长线段，将四条线段按如图1顺次首尾相接，把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）到某一位置时，BC，CD将会跟随到相应的位置，且点C始终保持在AB上方．

​

​（1）若点D在AB上方且AD∥BC时，求∠ABC的度数（用含α的式子表示）；

（2）当AD旋转到如图2位置时，连接AC，AC与OA交于点P，连接PD，若∠ACD+2∠CDP＝90°，请判断CD与⊙A的位置关系，并说明理由；

（3）若⊙A的半径为1，BC＝3，AB＝CD＝5，连接AC．

①当点D落在CA的延长线上时，求线段AD扫过的面积（参考数据：tan37°）；

②当点A与点C的距离最大时，求点D到AB的距离；

③当点D在AB上方，且BC⊥CD时，直接写出sin∠ABC的值．​

19．（2023•海曙区一模）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．

（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．

①平行四边形是倍分四边形． 　   　

②梯形是倍分四边形． 　   　

（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；

（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．

①求sinC；

②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．

20．（2023•松江区二模）如图1，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点O′与点O关于直线AC对称，射线AO′交半圆O于点D，弦AC交O′O于点E、交OD于点F．

（1）如图2，O′恰好落在半圆O上，求证：；

（2）如果∠DAB＝30°，求的值：

（3）如果OA＝3，O'D＝1，求OF的长．