2023年北京市大兴区精华学校高考数学适应性试卷

2023年北京市大兴区精华学校高考数学适应性试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将实轴长等于虚轴长的双曲线叫等轴双曲线．等轴双曲线离心率等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第四层有个球，，设各层球数构成一个数列：，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设，是非零向量，“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是(    )

A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位

7.  已知函数对任意都有，且，当时，则下列结论正确的是(    )

A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 当时，
D. 函数的最小正周期为

8.  在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有人参加考试为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩成绩均为正整数，满分为分作为样本进行统计，样本容量为按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示已知成绩落在内的人数为，则下列结论正确的是(    )

A. 样本容量
B. 图中
C. 估计全体学生该学科成绩的平均分为分
D. 若将该学科成绩由高到低排序，前的学生该学科成绩为等，则成绩为分的学生该学科成绩肯定不是等

9.  若点是圆：上的动点，直线：与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：
数列中任意一项均不为；
数列中必有一项为；
数列中一定不可能出现；
数列中一定不可能出现．
其中正确的命题个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  设复数满足为虚数单位，则 ______ ．

12.  已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为，则线段的长为______ ．

13.  若，则 ______ ．

14.  已知函数，则的最小值是        ，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的取值范围是        ．

15.  如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点给出下列四个结论：
存在点，存在点，满足平面；
任意点，存在点，满足平面；
任意点，存在点，满足；
任意点，存在点，满足．
其中所有正确结论的序号是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，在三棱锥中，和都是等边三角形，点为线段的中点．
证明：；
再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．
；
．

17.  本小题分
如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，．
求的面积；
求的值及的长度．

18.  本小题分
某人下午：下班，他记录了自己连续天乘坐地铁和连续天乘坐公交到家的时间，如下表所示：

以频率估计概率，每天乘坐地铁还是公交相互独立，到家时间也相互独立．
某天下班，他乘坐公交回家，试估计他不迟于：到家的概率；
他连续三天乘坐地铁回家，记这三天中他早于：回家的天数为，求的分布列及数学期望；
某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是：到家的，试求他是乘地铁回家的概率直接写出答案
 

19.  本小题分
已知椭圆过点，且离心率为．
求椭圆的方程；
直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值．

20.  本小题分
设，函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
若函数有两个相异零点，，求证：．

21.  本小题分
若有穷数列：，，，，满足，则称数列为数列．
Ⅰ判断下列数列是否为数列，并说明理由；
，，，；
，，，．
Ⅱ已知数列：，，，，其中，，求的最小值；
Ⅲ已知数列是，，，的一个排列若，求的所有取值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题知，．
故选：．
根据交集的运算求解即可．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为在上单调递减，所以，
，
又，即，
所以．
故选：．
根据指数函数、对数函数及余弦函数的性质判断即可．
本题主要考查了三个数比较大小，考查了指数函数、对数函数及余弦函数的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
设出双曲线方程，求出，，然后求解离心率即可．

【解答】

解：设等轴双曲线的方程是，
，

，，
，
双曲线为等轴双曲线离心率为，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
当时，，，，，，
以上各式相加可得：，
所以，
且，满足上式，
所以，
所以，，
则．
故选：．
由累加法可得，求出，可得答案．
本题主要考查了数列的递推式，考查了累加法求数列的通项公式，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，
即由不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件．
故选：．
根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以将向右平移个单位得到．
故选：．
利用诱导公式及三角函数的变换规则计算可得．
本题主要考查三角函数的变换规则，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，所以，故，
所以的周期为，
又，所以，故关于对称，
又时，，故画出的图象如下：

选项，函数的图象关于点不中心对称，故A错误；
选项，函数的图象不关于直线对称，B错误；
选项，当时，，则，C错误；
选项，由图象可知的最小正周期为，
又，故的最小正周期为，D正确．
故选：．
根据得到，所以的周期为，根据得到关于对称，画出的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据求出时函数解析式；选项，根据的最小正周期，得到的最小正周期．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于，成绩落在的频率为，
又成绩落在内的人数为，
，故A错误；
对于，由频率分布直方图可得，，
解得，故B错误；
对于，估计全体学生该学科成绩的平均分为：分，故C正确；
对于，，，
等成绩的最低分落在，
又，
成绩为分的学生该学科成绩肯定不是等，故D正确．
故选：．
对于，先求出成绩落在的频率，再由成绩落在内的人数，可求出的值；对于，由频率分布直方图中各个小矩形面积之和为求出的值；对于，估计平均数的定义求解；对于，由于，可知成绩为分的学生该学科成绩肯定不是等．
本题主要考查了频率分布直方图的性质等基础知识，考查了平均数的估计，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如下图所示：

直线的斜率为，倾斜角为，故，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
易知直线交轴于点，所以，
由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，
由圆的几何性质可知，且，则，
故．
故选：．
作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，例如，
当时，，故不正确；
对于，例如，则恒成立，故不正确；
对于，由，
，故不正确；
对于，若，
则，
即，
因为，所以，
由，
所以数列中一定不可能出现，故正确；
故选：．
对于举反例即可，对于举反例即可，利用反证法即可．
本题主要考查了等比数列的和与项的递推关系的应用，还考查了等比数列的通项公式的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，故．
故答案为：．
求出，进而利用复数的模长性质求出答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：是抛物线的焦点，
准线方程，
设，，线段的中点横坐标为，

，
线段的长为．
故答案为：．
设，利用中点公式即得，再根据焦点弦公式得到线段的长．
本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由二项式的展开式的通项为，
所以，
令，可得．
故答案为：．
求得二项式的展开式的通项，得到，令，即可求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

14.【答案】   

【解析】解：当时，，由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为；
当时，；
所以函数的最小值是；
作出函数的图象如下图所示，

由图可知，当时，函数与函数的图象无交点，
当或时，函数与函数的图象有个交点，
当时，函数与函数的图象有个交点，当时，函数与函数的图象有个交点，
则符合题意的整数为或，
故答案为：；．
当时，由二次函数的性质可得最小值，当时，由指数函数的性质可得最小值，综合即可得到答案；作出函数的图象，平移直线，结合图象即可得到整数的范围．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：对，当，分别为，的中点时，
取中点，连接，，
则根据中位线的性质可得，
又平面，平面，
故平面，同理平面，
又，，平面，故平面平面．
又平面，故平面故正确．
对，当在时，平面不成立，故错误；
对，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为，
则，，．
设，，则，其中，，故，
则当时，即．
故对任意的，存在满足条件，
即任意点，存在点，满足故正确；
当，即在点时，若，则，不满足，即不在上，故错误．
故答案为：．
对，举例判断说明即可；对，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，其中，，根据满足分析即可．
本题考查线面平行与线线垂直相关知识，属于中档题．
 

16.【答案】解：证明：连接，，
因为和都是等边三角形，故AB，
所以，同理得：，
又因为，平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以．
选择，，
由题意可得，所以，同理得，
则，故，所以，
由可得，所以，，两两垂直，
故以为坐标原点，以，，为，，轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
又易知平面的一个法向量为，
所以，
又由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
选择：
由得，，，平面，平面，
，所以平面，
由题，则，
可得为直角三角形，，设，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，为，，轴建立如图所示坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
又易知平面的一个法向量，
所以，
又由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为． 

【解析】连接，，根据线面垂直的判定定理可证明平面，即可根据下年垂直的性质定理证明结论；
选，可证明，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可求得答案；
选，可证明平面，进而证明，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可求得答案．
本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理与性质，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．
 

17.【答案】解：，，，
，，；
，，，则．
，，
，
，，
又，在中，，

，
由正弦定理可知，，
． 

【解析】根据勾股定理可得，结合再根据面积公式求解即可；
根据等腰三角形性质可得，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，进而根据利用两角和的正弦公式求解，进而用正弦定理求解即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由表中数据可知，他乘坐公共汽车回家的天内，不迟于：到家的天数有，
所以估计他乘坐公共汽车回家，不迟于：到家的概率为；
根据题意，他乘坐地铁回家，每天早于：回家的概率为
则随机变量可取值为，，，，
可得；；
；，
则随机变量的分布列如下：

所以．
设事件：乘地铁回家，则：乘汽车回家，：到家时间在：：之间，
则，
又由他是抛硬币决定乘地铁还是乘汽车，所以，
所以，
即他是乘地铁回家的概率为． 

【解析】由表中数据，求得不迟于：到家的天数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
根据题意，求得早于：回家的概率为，得到可取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
设事件：乘地铁回家，则：乘汽车回家，：到家时间在：：之间，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，，
又在椭圆上，，，
椭圆方程为．
由已知直线的斜率存在，
设直线方程为，，
由 得．
由，得
，，
，，
又中点在直线上，，即，
将之代入得，，

，
点到直线的距离，
，
设，，
，
时的最大值为，
因此，面积的最大值为． 

【解析】由离心率以及椭圆经过的点即可求解，的值，
联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，结合中点坐标公式，得到，由点到直线的距离公式以及弦长公式，得三角形的面积表达式，结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
函数定义域是，，
当时，函数单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，由，可得，此时函数单调递增，由，可得，此时函数单调递减，
综上，时，单调递增区间为，单调递减区间为，
时，单调递增区间为，无单调递减区间．
证明：因为有两个相异的零点，
由可得，当时，由连续单调递增，至多一个零点，
当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，
当时，即时方程无解，此时的范围是，
当时，方程有两个不等解，
由于，不妨令，则有，，
所以，，
所以，
要证，只需，即，，
即证，即，
即，只需，
令，则，只要证明在上成立，
令，可得，
由，所以恒成立，所以在递增，
又由，所以时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，从而可得． 

【解析】代入的值，计算，，求出切线方程即可．
通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可．
问题转化为，令，则，得到，令，根据函数的单调性证明即可．
本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性关系的应用，函数性质在不等式证明中的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，所以该数列不是数列；
因为，所以该数列是数列．
由，则有，可得或者，
恒成立，可得或者，
同理可得：，，
故，
故最小值为；
当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为，，，此时，符合题意；
当时，数列为，，，，此时，符合题意；
下证当时，不存在满足题意，
令，
则，且，
所以有以下三种可能：
，，，
当时，因为，
由知：，，，是公差为或的等差数列，
当公差为时，由得或，所以或，与已知矛盾，
当公差为时，同理得出与已知矛盾，
所以当时，不存在满足题意，
其它情况同理，
综上可知，的所有取值为或． 

【解析】Ⅰ利用定义判断即可；
Ⅱ由已知判断出，从而解得或者，再同理可得或者，以此类推即可；
Ⅲ分类讨论，，及时，分别研究是否满足题意．
本题主要考查数列递推式及绝对值不等式的应用以及分类讨论思想，属于难题．