2022-2023学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷

1.  已知集合，则(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

2.  下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在展开式中，的系数为(    )

A. 10 B. 5 C.  D.

4.  设为等差数列的前n项和．已知，，则(    )

A. 为递减数列 B.  C. 有最大值 D.

5.  已知抛物线上一点M与其焦点的距离为5，则点M到x轴的距离等于(    )

A. 3 B. 4 C. 5 D.

6.  “”是“直线与圆相切”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.  某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线C的离心率等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知数列中，，，，则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C. 是等比数列 D.

9.  “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如图图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则等于(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

10.  已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③的最大值是；④曲线是轴对称图形，则正确结论的序号是(    )

A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④

11.  已知复数z满足其中i为虚数单位，则______ .

12.  一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是______.

13.  在中，，，若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______.

14.  已知函数，若，则函数的值域为______；若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是______.

15.  在正方体中，O为正方形的中心．动点P沿着线段CO从点C向点O移动．有下列四个结论：
①存在点P，使得；
②三棱锥的体积保持不变；
③的面积越来越小；
④线段上存在点Q，使得，且
其中所有正确结论的序号是______.

16.  函数部分图象如图所示，已知
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．
求函数的解析式；
求的单调减区间．
条件①：；
条件②：；
条件③：

17.  如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，为等边三角形，且平面底面ABCD，，，M，Q分别为PD，AB的中点．
求证：平面MQC；
求直线PC与平面MQC所成角的正弦值．

18.  猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三类歌曲．嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三类歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金．假设甲猜对每类歌曲的歌名相互独立，猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如表：

求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
若，设甲按“A，B，C”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为X，求X的分布列与数学期望；
写出p的一个值，使得甲按“A，B，C”的顺序猜歌名比按“C，B，A”的顺序猜歌名所得奖励基金的期望高．结论不要求证明

19.  已知椭圆E：经过直线l：与坐标轴的两个交点．
求椭圆E的方程；
为椭圆E的右顶点，过点的直线交椭圆E于点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线l，AN交于点P，Q，求证：P为线段MQ的中点．

20.  已知函数
若曲线在点处的切线斜率为0，求a的值；
判断函数单调性并说明理由；
证明：对，都有成立．

21.  已知数列…，，，，…，为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合…，，A中元素的最大值记为M，最小值记为
若为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，写出M，N的值；
若，求M的最大值及N最小值；
若，求M的最小值．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：集合，或
故选：
利用补集运算求解即可．
本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：对于A，，定义域为，故不具有奇偶性，故A错误；
对于B，为奇函数，但在定义域上不是增函数，故B错误；
对于C，为奇函数，且在定义域上单调递增，故C正确；
对于D，为奇函数，但在定义域上不具有单调性，故D错误；
故选：
根据函数单调性以及奇偶性可解．
本题考查函数单调性以及奇偶性，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：根据二项展开式：，当时，的系数为
故选：
直接利用二项展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式和组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：数列为等差数列，，，
，，
，
A，，数列为递增数列，错误，
B，，正确，
C，数列为递增数列，无最大值，错误，
D，，错误，
故选：
利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出，d即可．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是中档题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：由题意得，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知点M到准线的距离等于5，
点M到x轴的距离为
故选：
根据抛物线的定义可知点M到准线的距离等于5，进而求得点M到x轴的距离．
本题考查抛物线的定义和性质，是基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，
解得或，
所以“”是“直线与圆相切”的充分而不必要条件，
故选：
若直线与圆相切，根据圆心到直线的距离求出a的值，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：设圆锥曲线C的方程为，
将，两点代入可得，
解得，
圆锥曲线C的方程为，
圆锥曲线为双曲线，且，，
，

故选：
设圆锥曲线C的方程为，将，两点代入，求得曲线方程，即可求得离心率．
本题考查双曲线的方程和性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，是中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：因为，，所以，
所以，故A正确；
因为，，所以，故B正确；
又，所以，
因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，故C正确；
，，所以，故D错误．
故选：
由已知可得，计算可判断AB；由，可得，从而可得数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，即可判断
本题主要考查数列的递推式，等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：
，
是平行四边形，，
，
，
，
，，
，
故选：
利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，得到，求出x，y的值即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：由于函数，所以，
因此，故图象关于对称，因此曲线是轴对称图形，故④正确，
由于当时，分母单调递增，故当自变量x越来越大时，分母的值也越来越大，
而分子是有界的，所以的图象随着自变量的增大而无限靠近x轴，因此不是周期函数，故①错误，
，当，时，第一个等号成立，当时，第二个等号成立，
故不存在x的值，使得两个等号同时成立，因此，故③错误，
，当，时，第一个等号成立，当时，第二个等号成立，故当时，两个等号同时成立，
故当时，的最小值是，故②正确，
故选：
根据可判断④，根据余弦函数的有界性以及二次函数的性质即可判断①②③．
本题主要考查了函数的周期性和对称性，考查了余弦函数的性质，以及二次函数的性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由，
则，即，
故答案为：
对已知关系式两边同时取模即可求解．
本题考查了复数的模的运算，考查了学生对复数模的定义的掌握，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，
第一次摸出红球的概率，
第一次摸出红球且第二次也摸出白球的概率，
故在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率
故答案为：
直接利用条件概率的关系式求出结果．
本题考查的知识要点：条件概率，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：由余弦定理知，，
所以，即，解得，
当A为锐角时，若满足条件的三角形有两个，则，即，
解得，
因为A为锐角，所以，
所以满足条件的的一个值可以是
故答案为：2；答案不唯一
直接利用余弦定理，即可求得c的值；当A为锐角时，若满足条件的三角形有两个，则，解之可得的取值范围，从而得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数，
若，则函数，
当时，单调递增，，故，
当时，，对称轴为，，故，
故的值域为
若函数恰有三个零点，
当时，令，解得，
此时函数有且只有1个零点e，
则当时，函数必有2个零点，即在时有2个根．
设，
则在上有2个零点．
的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
故在上单调递减，在上单调递增，
，
要使在上有2个零点，需，解得
故
故答案为：；
第一空，将，代入函数，分当和，求解值域即可；第二空，若函数恰有三个零点，当时，函数有且只有1个零点e，则当时，函数必有2个零点，构造，数形结合求解a的取值范围即可．
本题考查函数的零点与一元二次方程根的判定，属于中档题．
 

15.【答案】①②③ 

【解析】解：如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，则，，，，，
，
设，其中，
则，
即，
对于①，假设存在点P，因，
则
，
即当时，，故①正确；
对于②，取BD中点为E，连接，，EC，因O为正方形的中心，
则，且，故四边形为平行四边形，得，
又平面，平面，则CO平行于平面，
即点P到平面的距离d为定值．又，
三棱锥的体积保持不变，故②正确；
对于③，设，则，注意到：
，
则，
又，
则，
因在上递减，故当动点P沿着线段CO从点C向点O移动过程中，
的面积越来越小，故③正确；
对于④，假设存在满足题意的点Q，设，其中，
则，
即，又，则
因，且，
则，
因，与矛盾，故不存在相应点Q，故④错误．
故答案为：①②③．
对于①③④，以A为原点建立空间直角坐标系，表示出P点坐标，逐项分析即可；对于②，说明CO平行于平面即可．
本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
 

16.【答案】解：已知，由图得，又知所以
若选择条件①②，即，，因为，
由图可知，，即，因为，所以当时，，所以
又因为，所以，所以
若选择条件①③，即，因为，
由图可知，，即，
因为，所以当时，所以
又因为，所以，所以
选择条件②③，即，，因为，
由图可知，当时取得最大值，
即，，由，得，，
因为所以，又，所以，所以
因为函数的单调递减区间为，
由，，得，
所以单调递减区间为， 

【解析】根据函数图象可得周期，从而确定，再根据对称性，三角函数值可确定A和，得函数的解析式；
将看成整体，整体代入到的单调减区间即可．
本题考查三角函数性质，属于中档题．
 

17.【答案】证明：因为为等边三角形，且Q为AB的中点，
所以，
又平面底面ABCD，平面底面，
所以面ABCD，
在直角梯形ABCD中，，，
所以四边形AQCD为矩形，即，
故以Q为坐标原点，QB，QC，QP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面MQC的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
所以，即，
又平面MQC，所以平面

解：由知，，
设直线PC与平面MQC所成角为，则，，
故直线PC与平面MQC所成角的正弦值为 

【解析】先证面ABCD，，从而可以Q为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面MQC的法向量，可证，再根据线面平行的判定定理，得证；
设直线PC与平面MQC所成角为，由，，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量证明线面平行，求线面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，
故所求的概率为
随机变量X的所有可能取值为0，1000，3000，6000，
，
，
，
，
所以X的分布列为

数学期望元．
随机变量X的所有可能取值为0，1000，3000，6000，
当甲按“A，B，C”的顺序猜歌名时，
，
，
，
，
所以数学期望；
当甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，
，
，
，
，
所以数学期望，
由题意知，，
所以，解得，
故只要满足的任何一个p值均符合题意． 

【解析】根据独立重复试验的概率公式求得的值，即可；
随机变量X的所有可能取值为0，1000，3000，6000，根据独立重复试验的概率公式求得每个X的取值所对应的概率，即可得分布列，再由数学期望的计算方法，得解；
分别求得甲按“A，B，C”的顺序猜歌名和甲按“C，B，A”的顺序猜歌名对应的数学期望，比较两者的大小，求得p的取值范围，得解．
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，熟练掌握独立重复试验的概率公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：直线l：与坐标轴的两个交点为，，
由于，所以，，
所以椭圆E的方程为
证明：设过点的直线为，由题意直线的斜率存在，
设的方程为，即，
由，消去y可得，
整理得，
由，可得，
设，，
则，，
由题意，将，代入l：得，
直线AN的方程为，
令，得，
所以





，
所以点P是线段MQ的中点． 

【解析】由题意可求得，，进而可求得椭圆E的方程；
设过点的直线为，由题意直线的斜率存在，设的方程为，与椭圆方程联立，设，，可得根与系数的关系，求出，，计算即可得证．
本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
 

20.【答案】解：，令，解得；
定义域为
，
因为，故恒成立，故在上是增函数；
证明：当时，原式即，显然成立，
再设，则可化为：，
①当左边不等号成立时，即，
即证函数在上单调递增，
结合可知，
故在上增函数；
②当右边不等号成立时，即成立，
即证在上是减函数，
结合已知条件可知显然成立，即在上是减函数，
即对，都有成立． 

【解析】令解得a的值；
利用导数研究在上的符号，注意讨论导数的零点与定义域的关系；
将问题转化为研究函数与单调性的问题，结合导数容易解决．
本题考查利用导数研究函数单调性的方法，属于中档题．
 

21.【答案】解：当时，A中的元素为中的三项相加，故最大元素，最小元素
最小值为6，M最大值
证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列，
若，则A中的每一个元素为，，1，2，…，2019，
由题意，，1，2，…，2019，
那么，对于任意的，总有，
同理，由题意，，1，2，…，2019，
那么，对于任意的，总有，
当…，时，满足：，
的最小值为
由于，对于1，2，…，2021，2022的一个排列，
A中的每一个元素为，，1，2，…，2016，
由题意，，1，2，…，2016，
对于任意的，都有…，
即，
构造数列：，，2，，…，1011，，，2，，…，1011，
对于数列：设任意相邻6项的和为T，
则，或，
若，
则
，，2，，…，1009，
若，
则，，2，，…，1008，
所以，即对这样的数列，，
又，所以M的最小值为 

【解析】根据M，N的定义即可求解，
根据，，，1，2，…，2019，即可求解，
根据任意相邻的6项的和，求解，即可．
本题主要考查等差数列求和以及集合的表示，元素与集合的关系以及数学的化归思想．数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，建模思想等．做考查转化与化归思想题目时，要把题设中给的条件和性质进行分析，逐条分析，验证，运算，使得问题转化成常见的数学知识，充分利用化归思想将问题化难为简，本题的关键是将问题转化成数列的知识进行求解，属中档题．