2022-2023学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）等于（ ）
A．B．﹣1C．D．1
2．（4分）若集合A＝{0，1}，B＝{x|x≥0}，则下列结论正确的是（ ）
A．{0}∈BB．A∩B＝∅C．A⊆BD．A∪B＝R
3．（4分）下列函数中是奇函数的是（ ）
A．B．y＝lnxC．y＝2﹣x+2xD．y＝x3
4．（4分）已知M＝（a+2）（a﹣3），N＝2a（a﹣1），a∈R，则M，N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N
5．（4分）已知sin36°＝a，则sin54°等于（ ）
A．B．aC．D．﹣a
6．（4分）已知，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a
7．（4分）下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A．B．f（x）＝1+sinx
C．f（x）＝|sinx|D．f（x）＝sinx+cs2x
8．（4分）“a＜0”是“函数f（x）＝2x+a存在零点”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β，γ均以Ox为始边，α的终边过点，将α的终边关于x轴对称得到角β的终边，再将β的终边绕原点按逆时针方向旋转180°得到角γ的终边，则sinγ的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．若喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB，一般人说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般人说话时声音强度的（ ）
A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍
二、填空题。共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是第 象限角．
12．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（﹣2）＝ ．
13．（5分）已知函数，则f（0）＝ ； ．
14．（5分）若直角三角形斜边长等于12，则该直角三角形面积的最大值为 ；周长的最大值为 ．
15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若∀x1∈D，存在唯一的x2∈D，使（a为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为a．给出下列4个函数：
①y＝x3；②y＝4sinx；③y＝lgx；④y＝2x．
其中，所有满足在定义域上的均值为2的函数序号为 ．
三、解答题。共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（12分）已知命题p：∀x∈R，x2+2x+1＞0．
（1）写出命题p的否定；
（2）判断命题p的真假，并说明理由，
17．（13分）已知．
（Ⅰ）求sinα，tanα的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（15分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（3）比较与的大小．
19．（15分）已知函数y＝x，y＝ax，y＝lgax，a＞1的图象如图所示．
（1）函数y＝ax的图象的序号是_____；y＝lgax的图象的序号是_____；
（2）在同一直角坐标系中，利用已有图象画出的图象，直接写出关于x的方程在（1，+∞）中解的个数；
（3）分别描述这三个函数增长的特点．
20．（15分）已知函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．
（1）求的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断f（x）的单调性，并说明理由．
21．（15分）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；
（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．
2022-2023学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）等于（ ）
A．B．﹣1C．D．1
【分析】根据诱导公式以及特殊角的正切值即可求解．
【解答】解：．
故选：D．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
2．（4分）若集合A＝{0，1}，B＝{x|x≥0}，则下列结论正确的是（ ）
A．{0}∈BB．A∩B＝∅C．A⊆BD．A∪B＝R
【分析】根据元素与集合的关系可判断A，求出A∩B，可判断BC；求出A∪B可判断D．
【解答】解：∵B＝{x|x≥0}，∴0∈B，∴{0}⊆B，故A错误；
A∩B＝{1，0}，所以A⊆B，故B错误，C正确；
A∪B＝B，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
3．（4分）下列函数中是奇函数的是（ ）
A．B．y＝lnxC．y＝2﹣x+2xD．y＝x3
【分析】利用奇偶函数定义即可判断每个选项．
【解答】解：对于A，令，其定义域为R，且，
所以f（x）为偶函数，故A不正确；
对于B，令g（x）＝lnx，其定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故不是奇函数，故B不正确；
对于C，令h（x）＝2﹣x+2x，其定义域为R，且h（﹣x）＝2x+2﹣x＝2﹣x+2x＝h（x），
所以h（x）为偶函数，故C不正确；
对于D，令F（x）＝x3，其定义域为R，且F（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣F（x），
所以F（x）为奇函数，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属于中档题．
4．（4分）已知M＝（a+2）（a﹣3），N＝2a（a﹣1），a∈R，则M，N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N
【分析】利用作差法即可判断M，N的大小．
【解答】解：因为M﹣N＝（a+2）（a﹣3）﹣2a（a﹣1）＝﹣a2+a﹣6，
所以M＜N，
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式大小比较，属于基础题．
5．（4分）已知sin36°＝a，则sin54°等于（ ）
A．B．aC．D．﹣a
【分析】由题知，再根据诱导公式求解即可．
【解答】解：因为sin36°＝a，sin236°+cs236°＝1，
所以，
所以，
故选：A．
【点评】本题主要考查了同角平方关系及诱导公式的应用，属于基础题．
6．（4分）已知，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将b与0比大小，c与1比大小，即可求出结论．
【解答】解：因为，
所以b＜a＜c．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
7．（4分）下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A．B．f（x）＝1+sinx
C．f（x）＝|sinx|D．f（x）＝sinx+cs2x
【分析】根据三角函数的图像性质可判断ABC，利用周期的定义可判断D．
【解答】解：对于A，的最小正周期为，故A不正确；
对于B，f（x）＝1+sinx的最小正周期为2π，故B不正确；
对于C，f（x）＝|sinx|的最小正周期为π，故C正确；
对于D，因为f（x+π）＝sin（x+π）+cs2（x+π）＝﹣sinx+cs2x≠f（x），故D不正确，
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
8．（4分）“a＜0”是“函数f（x）＝2x+a存在零点”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若函数f（x）＝2x+a存在零点，则f（x）＝2x+a＝0有实数解，即a＝﹣2x有实数解，
因为2x＞0，所以a＝﹣2x＜0，而a＜0，由f（x）＝0得x＝lg2（﹣a），
则“a＜0”是“函数f（x）＝2x+a存在零点”的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的性质以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β，γ均以Ox为始边，α的终边过点，将α的终边关于x轴对称得到角β的终边，再将β的终边绕原点按逆时针方向旋转180°得到角γ的终边，则sinγ的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用三角函数的定义得到csα，sinα，继而得到csβ，sinβ，通过题意可得到γ＝β+180°，利用诱导公式即可求解．
【解答】解：因为α的终边过点，且，
所以，
因为α的终边与角β的终边关于x轴对称，
所以，
因为角γ的终边是β的终边绕原点按逆时针方向旋转180°得到，所以γ＝β+180°，
所以，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
10．（4分）声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．若喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB，一般人说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般人说话时声音强度的（ ）
A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍
【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般人说话时声音强度分别为x1，x2，根据题意得出f（x1）＝140，f（x2）＝60，计算求的值．
【解答】解：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般人说话时声音强度分别为x1，x2，
，解得，
，解得，所以，
因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般人说话时声音强度的108倍．
故选：B．
【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题。共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是第 三 象限角．
【分析】结合三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，
由tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，
所以当sinα＜0 且tanα＞0时，α是第三象限角．
故答案为：三．
【点评】本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．
12．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（﹣2）＝ 4 ．
【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．
【解答】解：设f（x）＝xa，则2a＝4，a＝2，
即f（x）＝x2，
所以f（﹣2）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了幂函数解析式的求解，属于基础题．
13．（5分）已知函数，则f（0）＝ 1 ； ．
【分析】根据分段函数的性质，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1；．
【点评】本题考查分段函数的性质和函数的值，考查运算能力，属于基础题．
14．（5分）若直角三角形斜边长等于12，则该直角三角形面积的最大值为 36 ；周长的最大值为 ．
【分析】由条件，利用基本不等式可求面积的最大值和周长的最大值．
【解答】解：设两条直角边的边长分别为a，b，则a＞0，b＞0，a2+b2＝144，
由基本不等式可得a2+b2≥2ab，故144≥2ab即ab≤72，当且仅当时等号成立，
故直角三角形面积的最大值为，
又（a+b）2≤2（a2+b2），a2+b2＝144，
所以（a+b）2≤288，即，当且仅当时等号成立，
所以直角三角形周长的最大值为，
故答案为：36，．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若∀x1∈D，存在唯一的x2∈D，使（a为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为a．给出下列4个函数：
①y＝x3；②y＝4sinx；③y＝lgx；④y＝2x．
其中，所有满足在定义域上的均值为2的函数序号为 ①③ ．
【分析】对于①③根据定义给定任意一个x1求出x2判断是否存在定义域内，是否唯一．对于②根据定义得知周期函数不符合题意．对于④特殊值验证不成立．
【解答】解：对于函数①y＝x3，取任意的x1∈R，，
可以得到唯一的x2∈D，故满足条件，所以①正确；
对于函数②y＝4sinx，因为y＝4sinx是R上的周期函数，存在无穷个x2∈D，使成立，故不满足题意，所以②不正确；
对于函数③y＝lgx，定义域为x∈（0，+∞），值域为R，且单调，必存在唯一x2∈D，使成立，故满足题意，所以③正确；
对于函数④y＝2x定义域为R，值域为y∈（0，+∞）对于x1＝3，f（x1）＝8，要使成立，则f（x2）＝﹣4不成立，所以④不正确．
故答案为：①③．
【点评】本题以新定义为载体，考查函数性质的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
三、解答题。共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（12分）已知命题p：∀x∈R，x2+2x+1＞0．
（1）写出命题p的否定；
（2）判断命题p的真假，并说明理由，
【分析】（1）根据全称命题的否定为特称命题即可求解；
（2）因为y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0即可判断命题p．
【解答】解：（1）由命题p：∀x∈R，x2+2x+1＞0，
可得命题p的否定为；
（2）命题p为假命题，
因为y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0（当且仅当x＝﹣1时取等号），
故命题p：∀x∈R，x2+2x+1＞0为假命题．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
17．（13分）已知．
（Ⅰ）求sinα，tanα的值；
（Ⅱ）求的值．
【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数关系求sinα，tanα的值；（Ⅱ）先利用诱导公式化简，然后代入同角关系式即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵．∴sinα，tanα；
（Ⅱ）原式sinα[﹣tan（π﹣α）]sinαtanα0．
【点评】本题考查诱导公式，同角函数关系，属于基础题．
18．（15分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（3）比较与的大小．
【分析】（1）根据周期的计算公式即可求解；
（2）根据整体法求解函数的值域，即可求解最值；
（3）代入求值，结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由知：周期，
故f（x）的最小正周期为π；
（2）由于，则，
因此，
故f（x）∈[﹣2，1]，
所以f（x）在区间上的最大值为1，最小值为﹣2；
（3），，
由于，
所以，
因此，，
故．
【点评】本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（15分）已知函数y＝x，y＝ax，y＝lgax，a＞1的图象如图所示．
（1）函数y＝ax的图象的序号是_____；y＝lgax的图象的序号是_____；
（2）在同一直角坐标系中，利用已有图象画出的图象，直接写出关于x的方程在（1，+∞）中解的个数；
（3）分别描述这三个函数增长的特点．
【分析】（1）利用指数函数，对数函数的单调性和定点进行判断即可；
（2）由于，该函数与y＝lgax关于x轴对称，故画出对应图象，看作是y＝a﹣x和的交点个数，通过画图观察即可；
（3）根据图象特征进行描述即可．
【解答】解：（1）函数y＝ax，a＞1为单调递增的指数函数，恒过定点（0，1），故为序号①；
函数y＝lgax，a＞1为单调递增的对数函数，恒过定点（1，0），故为序号③；
（2）因为，所以该函数与y＝lgax，a＞1关于x轴对称，如图所示：
方程解的个数即解得个数，
可看作是y＝a﹣x和的交点个数，
由于y＝a﹣x与y＝ax关于y轴对称，画出图象y＝a﹣x，
从图像可得两个函数在（1，+∞）没有交点，故在（1，+∞）中解的个数0；
（3）函数y＝ax，a＞1的图象是下凸的，所以其增长特点：先缓后快；
函数y＝x的图象是直线，所以其增长特点：匀速增长；
函数y＝lgax，a＞1的图象是上凸的，所以其增长特点：先快后缓．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，指数函数与对数函数的图象，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．
（1）求的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断f（x）的单调性，并说明理由．
【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解；
（2）先求出函数定义域，然后利用奇偶性的定义进行判断即可；
（3）根据函数单调性定义进行判断即可．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x），
所以；
（2）f（x）为奇函数，
证明：要使f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）有意义，只需，解得﹣1＜x＜1，所以f（x）的定义域为（﹣1，1）；
又f（﹣x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＝﹣[lg（1﹣x）﹣lg（1+x）]＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，
（3）在（﹣1，1）上为减函数．
证明：任取x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，
则，
∵1+（x2﹣x1）﹣x1x2＞1﹣（x2﹣x1）﹣x1x2＝（1+x1）（1﹣x2）＞0，
∴，
得f（x1）﹣f（x2）＞0，得到f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（﹣1，1）上为减函数．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及单调性，属于中档题．
21．（15分）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；
（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标；
（2）先由点（a，b）是点（c，d）的“上位点”得，作差化简得ad﹣bc＞0，结合所得结论、定义，利用作差法可判断出点P（）是否是点（a，b）的“下位点”；
（3）借助（2）的结论，证明点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数n的值．
【解答】解：（1）根据题设中的定义可得点（3，5）的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为（3，4）和（3，7）．
（2）点P（，）是点（a，b）的“下位点”．
证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，
∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，
∴0，∴，
∴点P（）是点（a，b）的“下位点”．
（3）可证点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．
证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，
∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，
∴0，
即，∴点P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点”，
同理得，
即，∴点P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点”，
∴点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，
根据题意知点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”对m∈{t|0＜t＜2022，t∈Z}时恒成立，
根据上述的结论知，当n＝2022+2023＝4045，k＝2m+1时，满足条件，故n＝4045．
【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
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