2023年北京市顺义重点中学高考数学考前适应性试卷-普通用卷

2023年北京市顺义重点中学高考数学考前适应性试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  函数的图像与函数的图像关于轴对称，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  的展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  周牌算经中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后位数字分别为若从这个数字的前个数字和后个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设为等比数列，若，，，，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9.  已知圆：与直线：，为直线上一动点，若圆上存在点，使得，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  新型冠状病毒肺炎严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于月日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为表示自月日开始单位：天时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数，，根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为(    )

A. 月日月日 B. 月日月日
C. 月日月日 D. 月日月日

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  双曲线的两条渐近线所成锐角的大小等于______ ．

12.  正方形中，，为中点，为中点，则______；若为上的动点，则的最大值为______．

13.  已知函数其中为实数，若对恒成立，则满足条件的值为______写出满足条件的一个值即可
 

14.  已知抛物线：的焦为，则抛物线的方程是          ；若是上一点，的延长线交轴于点，且为的中点，则          ．

15.  小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间月的关系的散点图有以下叙述：

与函数相比，函数作为近似刻画与的函数关系的模型更好；
按图中数据显现出的趋势，第个月时，浮萍的面积就会超过；
按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；
按图中数据显现出的趋势，浮萍从月的蔓延到至少需要经过个月．
其中正确的说法有
      
填序号．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
Ⅰ从条件、条件、条件中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件：函数的图像经过点；
条件：是的对称中心；
条件：是的对称中心．
Ⅱ根据Ⅰ中确定的，求函数的值域．

17.  本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，为棱的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求二面角的余弦值．

18.  本小题分
在某地区，某项职业的从业者共约万人，其中约万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标检测值为不超过的正整数间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如图统计图：
Ⅰ求样本中患病者的人数和图中，的值；
Ⅱ在该指标检测值为的样本中随机选取人，求这人中有患病者的概率；
Ⅲ某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率只需写出结论．

19.  本小题分
已知椭圆：过点，且离心率为．
求椭圆的方程；
过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程．

20.  本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若，讨论函数的单调性；
Ⅲ当时，恒成立，求的取值范围．

21.  本小题分
设数列：，，，的各项均为正整数，且若对任意，存在正整数，使得，则称数列具有性质．
Ⅰ判断数列：，，，与数列：，，，是否具有性质；只需写出结论
Ⅱ若数列具有性质，且，，，求的最小值；
Ⅲ若集合，且任意，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质的数列．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
又因为，
所以，
故选：．
由集合的补集得：，
由集合的交集得：，得解．
本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属简单题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数满足，
，
．
故选：．
利用复数模长的定义和性质求解．
本题主要考查了复数模长的定义和性质，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由函数的图像与函数的图像关于轴对称，
可得，
则，
故选：．
由图像关于轴对称的特点，可得的解析式，再由对数的运算性质可得所求值．
本题考查函数的图像变换，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为的展开式的二项式系数之和为，所以，解得，
所以展开式的通项为，
所以时，常数项为；
故选B．
首先利用二项式系数和得到，然后利用通项求常数项．
本题考查了二项式的系数以及二项展开式的特征项的求法；关键是求出指数，利用通项求常数项．
 

5.【答案】 

【解析】解：角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，
，，，
，，
则，
，
故选：．
利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：令，得，得或；
在同一坐标系内画出与的图象，如图所示，
则不等式的解集为．
故选：．
令求得的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式的解集．
本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设这两个数字均为奇数为事件，
基本事件总数为，
事件包含的基本事件数为，
，
故选：．
利用古典概型的概率计算公式即可求解．
本题主要考查古典概型的概率计算公式即可，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，
则，，
若，则成立，即充分性成立，
当时，若，则不一定成立，即必要性不成立，
故是的充分不必要条件．
故选：．
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆：的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，可知直线与圆相离，
由正弦定理可得三角形的外接圆的直径，
为直线上一动点，当直线与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值为．
故选：．
由已知可得直线与圆相离，为直线上一动点，当直线与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值．
本题考查直线与圆位置关系的应用以及正弦定理的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查推理能力与计算能力，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：该传染病在当地的传播模型为，
求导可得，，
当且仅当，即，即，天时，
故该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为月日月日．
故选：．
根据已知条件，先对求导，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查基本不等式的公式，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由双曲线，得，，
双曲线的两条渐近线方程分别为，，
可得两条渐近线所成锐角的大小等于．
故答案为：．
由双曲线方程求得其渐近线方程，得到两渐近线的倾斜角，则答案可求．
本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
 

12.【答案】   

【解析】解：以点为原点，以直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，为中点，为中点，则：
，，，
，，
；
设，，则，
，
时，取最大值．
故答案为：，．
可以点为原点，以直线为轴，建立平面直角坐标系，然后即可得出，，，从而可得出的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；可据题意设，并且，而进行数量积的坐标运算即可求出，从而可得出的最大值．
本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，对恒成立，可得时，取得最大值或最小值．
若时，取得最大值，可得，
若时，取得最小值，可得，
故答案为：
根据，可得时，取得最大值或最小值．即写出答案；
本题考查了三角形函数的性质的应用．属于基础题
 

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
利用抛物线的焦点坐标，求解，然后求解抛物线方程，进而结合抛物线的有关性质即可得解．

【解答】

解：抛物线：的焦为，
可得，则抛物线的方程是；
是上一点，的延长线交轴于点，且为的中点，则，
则．
故答案为：；

15.【答案】 

【解析】解：对于，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，
对应的分别为，，，，
当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，
对应的分别为，，，，
通过比较已知散点图可知，与函数相比，函数作为近似刻画与的函数关系的模型更好，故正确，
对于，当时，，故第个月时，浮萍的面积就会超过，故正确，
对于，由可知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，故正确，
对于，由可知，当时，，当时，，即需要经过个月，故错误．
故答案为：．
根据图象，求出函数的表达式，然后依次求解，
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】解：由题意，得，；在区间上单调，，，
选条件：，，，得，符合题意，可得，
选条件：，，可得，
即，可得，符合题意，可得，
选条件：，不满足，故解析式不存在．
由得，，
，，
函数的值域为． 

【解析】是函数的对称轴，且在区间上单调．可得，再依据选利用，求的值，进而求，得到解析式；，，可求得的解析式；选条件，由不满足，解析式不存在；
由，，可求值域．
本题考查正弦型函数的单调性，求解析式，值域问题，属中档题．
 

17.【答案】Ⅰ证明：因为平面，所以，
因为，所以平面，
因为 平面，所以，
即．
Ⅱ证明：设的中点为，连接，则，
连接，因为且，
所以是平行四边形，
所以 ，
所以平面平面，
所以平面E.
Ⅲ解：以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系如图，
可得、、、、．
依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得，
，
因为二面角的平面角是钝角，
所以，二面角的余弦值为． 

【解析】Ⅰ证明，结合，推出平面，然后证明．
Ⅱ设的中点为，连接，则，连接，证明，推出平面平面，即可证明平面E.
Ⅲ以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面垂直以及平面与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ根据分层抽样原则，容量为的样本中，
患病者的人数为人．
，
；
Ⅱ指标检测数据为的样本中，
有患病者人，未患病者人，
设事件为“从中随机选择人，其中有患病者”．
则，
所以；
Ⅲ使得判断错误的概率最小的．
当时，判断错误的概率为． 

【解析】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、对立事件概率计算公式等基础知识，是中档题．
Ⅰ根据分层抽样原则，容量为的样本中，患病者的人数为人，由此能求出，；
Ⅱ指标检测数据为的样本中，有患病者人，未患病者人，设事件为“从中随机选择人，其中有患病者”由此利用对立事件概率计算公式能求出这人中有患病者的概率．
Ⅲ使得判断错误的概率最小的，当时，判断错误的概率为．
 

19.【答案】解：由已知可得，解得，，
所以椭圆的方程为，
证明：由题意可知点所在直线必然垂直于轴，设为，
设直线的方程为：，，，
联立方程，消去整理可得：，
所以，，
则直线的方程为：，令，
则，
所以，故点在定直线上． 

【解析】由已知建立方程组，联立即可求解；设点所在的直线为，再设出直线的方程以及点，，的坐标，并与椭圆方程联立，再写出直线的方程，求出点的横坐标，利用韦达定理化简即可求解．
本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的分析问题的能力以及运算推理能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ当时，，，
，
，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即：．
Ⅱ由，可得，
由于，的解为，，
当，即时，，则在上单调递增，
当，即时，
在区间，上，；在区间上，，
所以在，上单调递增；在上单调递减．
当，即时，
在区间，上，；在区间上，，
则在，上单调递增，在上单调递减．
Ⅲ
当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立，
当时，，
所以在上单调递增，所以成立，
当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上，，不符合题意，
综上所述，的取值范围是 

【解析】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
Ⅰ当时，根据题意可得，计算，对求导得，再由导数的几何意义可得，进而写出切线方程．
Ⅱ求导得，令的解为，，分三种情况：当，当，当，讨论正负，进而可得的单调区间．
Ⅲ对求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论导数的正负得到的单调性，进而可得的取值范围．
 

21.【答案】解：Ⅰ，，，，不具有性质；
，，，，，，具有性质，
即数列不具有性质，数列具有性质．
Ⅱ由题意可知，，，，，，．
若，且，，
同理，，，，，，
数列各项均为正整数，，数列前三项为，，．
数列具有性质，只可能为，，，之一，而又，，
同理，有，，，，
此时数列为，，，，，，，，．
但数列中存在，使得，
该数列不具有性质，．
当时，取：，，，，，，，，，构造数列不唯一，
：，，，，，，，，，，
经验证，此数列具有性质，的最小值为．
证明：Ⅲ假设结论不成立，即对任意都有：
若正整数，，，则，
否则，当时，，，是一个具有性质的数列；
当 时，，，是一个具有性质的数列；
当时，，，是一个具有性质的函数．
由题意可知，这个集合中至少有一个集合的元素个数不少于个，
不妨设此集合为，从中取出个数，记为，，，且，
令集合．
由假设，对任意，，，，，，
在，，，，中至少有一个集合包含中的至少个元素，
不妨设这个集合为，从中取出个数，记为，，，，且，
令集合．
由假设，
对任意，，，，存在使得，
对任意，
由假设，，，
．
在，，，中至少有一个集合包含中的至少个元素，
不妨设这个集合为，从中取出个数，
记为，，，，且，
令集合，
由假设，对任意，，，，存在使得，
对任意，
同样，由假设可得，，
．
同样，在，中至少有一个集合包含中的至少个元素，
不妨设这个集合为，从中取出个数，记为，，，且，
同理可得．
由假设可得，
同上可知，，
而又，，矛盾．
假设不成立，原命题得证． 

【解析】Ⅰ根据，可知，，，不具有性质，由，，，可知，，，具有性质；
Ⅱ由数列具有性质，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到的最小值；
Ⅲ假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，，，则，
否则，当时，，，是一个具有性质的数列；当 时，，，是一个具有性质的数列；当时，，，是一个具有性质的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．
本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．