2021北京北大附中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京北大附中高一（下）期中

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一、选择题，共6小题，每小题3分，共18分．在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项．

1．（3分）若且，则是　　

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

2．（3分）设，则下列函数值一定是正值的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）已知，则　　

A． B． C． D．

4．（3分）要得到函数图象，只需把函数的图象　　

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

5．（3分）已知，其中，，在一个周期内的图象如图所示．则　　

A． B． C． D．

6．（3分）在中，若，则为　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

二、填交题，共6小题，每小题3分，共18分.

7．（3分）若角与角的终边关于轴对称，则与角同终边的所有角构成集合 　　．

8．（3分）已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为 　　．

9．（3分）　　．

10．（3分）已知点在的终边上，则　　，　　．

11．（3分）在中，，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值是　　．

12．（3分）如图，矩形公园中，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路（点，分别在边与上），为切点，令，则道路的长度与的函数关系为 　　．

三、解答题，共4小题，共51分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

13．（17分）已知三角形，，，．

（1）写出一个与垂直的非零向量 　　；（坐标形式）

（2）求；

（3）求向量在向量上投影的数量；

（4）若，求的值；

（5）求．

14．（16分）已知角终边落在直线上，且．

（1）　　；

（2）求的值；

（3）若，，求的值．

15．（11分）已知函数，．

（1）函数的单调递增区间为 　　．

（2）求函数的单调递增区间；

（3）求函数的对称轴方程；

（4）求解不等式．

16．（7分）已知函数．从①，；②，．这两个条件中选择一个作为已知条件，完成问题（1）至（3）．

注：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答给分．

我选择的是_____．（填写选择的条件序号①或②

（1）则　　．

（2）的最小正周期为 　　．

（3）求时，函数的最大值和最小值．

一、选择题共2小题，每小题2分，共4分.在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项.

17．（2分）下列说法错误的是　　

A．，，使 

B．，，成立 

C．，，使 

D．，，成立

18．（2分）已知函数，当时，取得最大值，则的值为　　

A． B． C．1 D．

二、填空题共2小题，每小题2分，共4分.

19．（2分）菱形中，，为中点，记，，若，则　　．

20．（2分）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 　　．

三、解答题（5分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.

21．（5分）雨过天晴时，我们常能见到天空的彩虹，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．

Ⅰ．如图1，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经一次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线当时，则称为光线为虹；

Ⅱ．如图2，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经两次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线，当时则称为光线为霓．

可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：

Ⅲ．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角与反射角，则入射角等于反射角；

Ⅳ．从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角，即．

设球半径．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为．圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．

（1）图3中，入射光线经入射点进入球内得到折射光线，过的圆切线为，过点的半径所在直线为法线，设入射角，若球介质的折射率，求折射角大小；

（2）图1中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率．折射光线为虹，求；

（3）图2中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率．折射光线为霓，求．

参考答案

一、选择题，共6小题，每小题3分，共18分．在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项．

1．【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．

【解答】解：，在三、四象限；，在一、三象限．

故选：．

【点评】记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正

2．【分析】利用三角函数在各个象限的符号的判定，即可得到答案．

【解答】解：因为，

则．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数在各个象限的符号的判定，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

3．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．

【解答】解：，平方可得，

则，

故选：．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．

4．【分析】根据三角恒等变换与平移法则，先化简函数，再判断平移过程．

【解答】解：函数，

要得到函数的图象，

只需把函数的图象向左平移个单位．

故选：．

【点评】本题考查了三角恒等变换与图象平移的应用问题，是基础题目．

5．【分析】通过函数的图象的最高点求出，利用图象求出函数的周期，得到，图象过点，，求出的值，从而可得的解析式．

【解答】解：由图象可知，，，

将，代入，可得，

，，

．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基础题．

6．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简可得，分类讨论即可得解．

【解答】解：在中，角，，的对边分别为，，，满足，

可得：，

所以，或，

所以为直角，或，即为等腰三角形或直角三角形．

故选：．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．

二、填交题，共6小题，每小题3分，共18分.

7．【分析】若，，则由题意可知，由此可求出与角同终边的所有角构成的集合．

【解答】解：若，，则由角，且角与角的终边关于轴对称，

所以，

所以与角同终边的所有角构成集合为，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查了终边相同角的集合，是基础题．

8．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．

【解答】解：，

，

，

故答案为：3．

【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．

9．【分析】先由诱导公式，知，再由两角和的正弦公式，得解．

【解答】解：原式．

故答案为：．

【点评】本题考查两角和的正弦公式，诱导公式，考查运算求解能力，属于基础题．

10．【分析】直接利用三角函数的定义可求的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解的值．

【解答】解：点在的终边上，

，．

故答案为：，．

【点评】本题考查三角函数的定义，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．

11．【分析】先判断是等腰直角三角形，，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，写出点，的坐标，设且，，求出和的坐标，然后计算，再求出其最小值即可．

【解答】解：在中，，，，，

是等腰直角三角形，，如右图所示，

以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，，，

设，，，则，，，

，，，

当时，取最小值，

故答案为：．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及最值的求法，属于中档题．

12．【分析】求出，分别求出，的表达式，从而求出关于的表达式．

【解答】解：点，分别在边与上，，则，

在中，，

在中，，

，

即道路的长度与的函数关系为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的性质，是中档题．

三、解答题，共4小题，共51分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

13．【分析】（1）设与垂直的非零向量，根据垂直性质得到，关系式，即可得到答案；

（2）根据向量夹角公式可得，代入计算即可；

（3）结合（2）得到向量在向量上投影的数量为，代入计算即可；

（4）表示出，，利用向量共线性质，得到关于的方程，解之即可；

（5）表示出，利用向量模的求解公式即可求出答案．

【解答】解：（1）由题得，设与垂直的非零向量，

则，令，则，即；

（2）由题得，，，

则；

（3）向量在向量上投影的数量为；

（4），，，，，，，，

因为，所以，解得；

（5），，，．

【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量垂直、向量共线、向量夹角公式等，考查学生计算能力，属于中档题．

14．【分析】（1）易角是第三象限的角，从而确定的符号，再由同角三角函数的关系式，得解；

（2）结合（1）中结论，根据两角和的正弦公式，展开运算，即可；

（3）可得，再求得的值，根据，由两角差的余弦公式，展开运算即可．

【解答】解：（1）由题意知，角是第三象限的角，

，，

．

（2）．

（3）由（1）知，，

，，

，，

，

．

【点评】本题考查三角恒等变换的综合应用，熟练掌握两角和差公式，同角三角函数的关系式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

15．【分析】由题意利用三角函数的图象和性质，得出结论．

【解答】解：函数，，

（1）函数的单调递增区间为，，，

故答案为：，，．

（2）函数，令，求得，

可得函数的单调递增区间为，，．

（3）函数，令，求得，

可得函数图象的对称轴方程为，．

（4）求解不等式，即，即，

求得，．

故原不等式的解集为，．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．

16．【分析】若取①：

（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．

（2）利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的对称性即可求解一条对称轴方程．

（3）由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解其最值．

若取②：

（1）利用三角函数恒等变换及配方法化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．

（2）利用函数的周期性和对称性即可求解．

（3）由题意可求，利用二次函数的性质即可求解其最值．

【解答】解：若取①，

（1），

；

（2），

的最小正周期；

（3），，

函数在，上的最大值为：，

函数在，上的最小值为：．

若取②，

（1），

；

（2），

的最小正周期．

（3），，

函数在，上的最大值为：，

函数在，上的最小值为：．

【点评】本题考查三角函数的图象与性质的应用问题，考查转化与运算能力，属于中档题．

一、选择题共2小题，每小题2分，共4分.在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项.

17．【分析】对于：取时，即可判断是否正确；

对于：利用两角和差公式化简，即可判断是否正确；

对于：取，时，，即可判断是否正确；

对于：利用两角和差公式化简，即可判断是否正确；

【解答】解：对于：取时，，故正确；

对于

，故正确；

对于：当，时，，故正确；

对于

，故错误，

故选：．

【点评】本题考查三角函数的恒等变换，解题中需要理清思路，属于中档题．

18．【分析】根据已知条件，结合三角函数的辅助角公式和正弦函数的性质，即可求解．

【解答】解：，其中，

，

又当时，取得最大值，

，化简可得，，解得．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的辅助角公式和正弦函数的性质，属于基础题．

二、填空题共2小题，每小题2分，共4分.

19．【分析】根据题意，设菱形的边长为，用、表示、，由向量数量积的计算公式可得，解可得的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，设菱形的边长为，

则，，

则，

若，则，

解可得：；

故答案为：．

【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及平面向量基本定理的应用，属于基础题．

20．【分析】由题意利用正弦函数的增区间，求得的取值范围．

【解答】解：函数在区间上单调递减，

，且，

求得，令，

可得的取值范围为，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查正弦函数的增区间，属于中档题．

三、解答题（5分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.

21．【分析】（1）利用，代入数据求解即可；

（2）由折射光线为虹，所以，根据几何性质求出，代入公式求解，再利用同角三角函数关系式求解即可；

（3）由折射光线为霓，所以，根据几何性质求出，代入公式求解，再利用同角三角函数关系式求解即可．

【解答】解：（1）由题意可得，，

所以，

因为，

所以；

（2）折射光线为虹，所以，

所以，且，

故，

又，

所以，

所以；

（3）因为折射光线为霓，所以，

则，且，

所以，

因为，

所以，

故．

【点评】本题考查了数学在实际问题中的应用，折射光线的理解与应用，边角关系的应用以及同角三角函数关系式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．