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2023年四川省宜宾市叙州重点中学高考数学适应性试卷（文科）（含解析）

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这是一份2023年四川省宜宾市叙州重点中学高考数学适应性试卷（文科）（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省宜宾市叙州重点中学高考数学适应性试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则( )

A. B. C. D.

2. 若复数为虚数单位是纯虚数，则实数的值为( )

A. B. C. D.

3. 已知向量，，若与平行，则实数的值为( )

A. B. C. D.

4. “”是“”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要分件

5. 函数的图像是( )

A. B.
C. D.

6. 已知，则( )

A. B. C. D.

7. 设等比数列的前项之积为，若，，则( )

A. B. C. D.

8. 在平面直角坐标系中，直线：与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为( )

A. B. C. D.

9. 设，，则的最小值是( )

A. B. C. D.

10. 已知是奇函数，当时，，当时，的
最小值为，则的值等于( )

A. B. C. D.

11. 在三棱锥中，平面，，，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是( )

A. B. C. D.

12. 已知函数，则下列说法中正确的是( )
函数有两个极值点；
若关于的方程恰有个解，则；
函数的图象与直线有且仅有一个交点；
若，且，则无最值．

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为______ ．

14. 执行如图所示的程序框图，输出的值为______．

15. 已知等比数列的前项和满足，则数列的前项和______．

16. 已知抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点，且，为坐标原点，直线交的准线于点，则与的面积之比为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有名学生参加，其中男生名，采用分层抽样的方法抽取人，将他们的比赛成绩，分为组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图其中成绩不低于分为“优秀”，低于分为“非优秀”．
求实数的值，并估算全校名学生中成绩优秀的人数；
完成下列列联表，判断是否有的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．

	优秀	非优秀	合计
男
女
合计

附：，其中．

18. 本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
Ⅰ求的值；
Ⅱ给出以下三个条件：
条件：；
条件：，；
条件：．
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求的角平分线的长．

19. 本小题分
如图，多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．
证明：平面平面；
求多面体的体积．

20. 本小题分
已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且直线与直线的斜率之积满足．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于，两点，且直线，交于点，求点的横坐标．

21. 本小题分
已知函数．
若，求的最小值；
若时，有两个零点，求的取值范围．

22. 本小题分
已知曲线的参数方程为为参数，直线过点．
求曲线的普通方程；
若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角．

23. 本小题分
已知关于的不等式有解．
求实数的取值范围；
若，，均为正数，为的最大值，且求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由，，
则，
所以．
故选：．
先利用指数函数的单调性和对数函数的定义域得到，，即可得到．
本题考查集合的运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：因为

，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
故选：．
根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的定义得到方程不等式组，解得即可．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：因为，，
所以，，
又与平行，
所以，解得．
故选：．
先求与的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得．
本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：令，则由得，
解得或，又因为，
所以，即：，解得，
又因为“”是“”的充要条件，
所以“”是“”的充要条件．
故选：．
运用换元法令，通过解一元二次不等式及指数不等式可得的范围，再结合集合的包含关系判断条件间的充分、必要关系．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了充分必要条件的判断，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：因为，令，则，
即，解得，或，解得，
所以当时，函数有个零点，当时，函数有个零点，
所以排除；
当时，，
则，当时，，
所以当时，，函数单调递增，所以B正确．
故选：．
根据题意，令，可以排除，然后求导得，即可排除．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．

6.【答案】

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：因为，，所以，，
解得，，
则，故．
故选：．
根据题意结合等比数列的性质可得，，进而可得，运算求解即可．
本题主要考查了等比数列的性质，考查了数学运算的核心素养，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：因为直线：与双曲线的一条渐近线平行，
所以，即，
由直线：，令，得，
则双曲线的一个焦点为，即半焦距，
由，得，所以，
所以双曲线的方程为．
故选：．
根据直线与双曲线得一条渐近线平行可得，的关系，求出双曲线的一个焦点的坐标，再根据，，的关系求出，，即可得解．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：，，
，当且仅当，时取等号，
的最小值为．
故选：．
由即可得出，且，从而根据基本不等式即可得出的最小值．
本题考查了基本不等式在求最值时的应用，考查了计算能力，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：是奇函数，在上的最大值为，
当时，，令得，又，．
令时，，在上递增；
令时，，在上递减；
，，
得．
故选：．
利用奇函数的性质，求出时函数的最大值为，通过导数求出函数的最大值，然后求出．
本题考查函数奇偶性，函数最大值的求法，导数的应用，考查计算能力，是中档题．

11.【答案】

【解析】解：设，则，
故三棱锥的体积．
设，则．
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即三棱锥体积的最大值是，此时，即，．
因为平面，，
所以三棱锥外接球的半径，
则三棱锥外接球的体积为．
故选：．
设，根据已知条件用把三棱锥的体积表示出来，然后利用导数确定体积取最大值时的值，进而确定出三棱锥外接球的半径，从而求出体积．
本题考查多面体的外接球相关知识，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：对于，当时，，恒成立，
所在上单调递增；
当时，，恒成立，
所以，在上单调递减；
当时，，恒成立，
所以，在上单调递减．
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
所以，在处取得极小值，在处取得极大值，故正确；
对于，作出的图象如下图，

由图可知，若关于的方程恰有个解，则或，故错误；
对于，由知，当时，，
因为，所以，所以，当且仅当，
当时，；
当时，，
因为，所以，所以，当且仅当，
综上所述，，有恒成立．
又直线可化为，斜率为，
所以函数的图象与直线有且仅有一个交点，故正确；

对于，由图可知，当时，函数的图象与有个不同的交点．
则有，所以，
所以，．
令，．
则．
令，则在上恒成立，
所以，在上单调递增．
又，，
根据零点存在定理可知，使得，
且当时，，
所以，所以在上单调递减；
当时，，
所以，所以在上单调递增．
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故错误．
综上所述，正确．
故选：．
求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出；作出函数图象，即可判断；根据求得的导函数，可推得，有恒成立，即可得出；作图，根据图象得出与有个交点时，的范围．然后用表示出，即可得出，，，构造函数，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断．
本题考查函数的零点，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属中档题．

13.【答案】

【解析】解：如图，由约束条件可得可行域为阴影部分，

由得，作出直线：，
由得交点坐标为，
平移直线：知，当直线：过点时，取得最大值，
．
故答案为：．
作出可行域，通过平移直线：即可求解．
本题主要考查了线性规划的应用，属于中档题．

14.【答案】

【解析】解：模拟程序的运行过程，可得：
第一次运行：时，，
第二次运行：时，，
第三次运行：此时满足，退出循环，输出，
故答案为：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

15.【答案】

【解析】解：等比数列的前项和满足，
时，，即
时，，可得，
解得，，
所以，
，
，，
，
可得：，
所以．
故答案为：．
利用数列的递推关系式求出数列的首项与公比，然后求解通项公式，利用错位相减法求解的前项和．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法错位相减法的应用，是中档题．

16.【答案】

【解析】解：抛物线：的焦点为，准线方程为，因为，
所以，即，则，解得，不妨取，
则直线的方程为，即，
由，解得，所以，
又直线的方程为，令，可得，所以，
所以．
故答案为：．
首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据及焦半径公式求出，即可求出点坐标，从而求出直线的方程，再联立方程求出点坐标，求出的方程即可求出点坐标，最后根据面积公式计算可得．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．

17.【答案】解：由题意可得：，解得，
样本中成绩优秀的频率为：，
以样本估计总体，全校名学生中成绩优秀的人数为：人．
由题意，采用分层抽样，男生抽取人数人，女生抽取人，
且样本中优秀的人数为人，
故列联表如下：

	优秀	非优秀	合计
男
女
合计

可得，
因为，故没有的把握认为比赛成绩优秀与性别有关

【解析】根据频率和为求得，进而根据频率估计成绩优秀的人数；
根据题意结合分层抽样完善列联表，求，并与临界值对比分析．
本题主要考查独立性检验公式，属于基础题．

18.【答案】解：Ⅰ由得：
，
结合，得，故B；
Ⅱ结合Ⅰ得，即，
因为，故是最大边，故条件不成立，即条件正确，
对于条件：，与式结合得，
对于条件：，故，所以，
所以，故，
所以，即，解得，，
显然，
结合，故，
在中，，
故BD．

【解析】Ⅰ利用辅助角公式，容易求出，则易知；
Ⅱ结合，此时应该最大，而条件中，与已知矛盾，故条件正确，再结合面积公式、余弦定理以及三角形内角平分线的性质求解．
本题考查了正余弦定理、面积公式和三角形内角平分线的性质，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．

19.【答案】解：若为中点，连接，，

由是边长为的等边三角形，，则，，
又面面，面，面面，故DF面，
因为平面，故AE，又，
所以为平行四边形，即，
由面，则，，，面，
所以面，即面，又面，
所以平面平面；
由多面体的体积．

【解析】若为中点，连接，，易证，，由面面垂直的性质得面，易知，进而证为平行四边形，即，最后根据线面垂直的性质及判定和面面垂直的判定证结论；
由求组合体的体积即可．
本题考查面面垂直的证明，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，几何体的体积的求解，属中档题．

20.【答案】解：由题意知，，
设，则，
所以，
解得：，
所以椭圆方程为．
如图所示，

设直线的方程为，设，，
，
则，，
所以，
因为直线方程为，
直线方程为，
所以联立得

，
所以点横坐标为．

【解析】根据已知条件可得的值，设出坐标，由点坐标适合椭圆方程及可求得值，进而求得椭圆方程．
联立直线方程与椭圆方程，联立直线方程与直线方程并运用韦达定理代换可求得交点的横坐标．
本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．

21.【答案】解：当时，，
所以定义域是，
求导得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以；
因为，
，，
当时，，在上单调递减，
因为，
所以在上有且只有一个零点，
所以不合题意；
当时，
若，即时，则有时，，在上单调递增，
所以在上有且只有一个零点，不合题意；
当，即时，
则有时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
因为，
所以，
又存在，，
所以，在上存在唯一零点，
又在上有零点，
所以在上有二零点，
综上：．

【解析】求导得，根据导数即可求出函数的单调性与最值；
分类讨论利用导数研究函数的单调性，再借助零点存在性定理可得出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，考查数学运算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．

22.【答案】解：由曲线的参数方程为为参数，得，
，
，即．
设直线的倾斜角为，直线过点，
直线的参数方程为为参数，
将直线的参数方程代入，
可得，
化简可得，
设，两点所对的参数为，，
，
曲线与轴交于两点，
在曲线的内部，
，一正一负，
，
而，
，
，
，
，
，
解得，
又为直线的倾斜角，，
，
，
或，即直线的倾斜角为或．