2023年四川省宜宾市叙州重点中学高考数学适应性试卷（理科）（含解析）

2023年四川省宜宾市叙州重点中学高考数学适应性试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数，其中为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  空气质量指数是描述空气清洁或者污染的程度，是对二氧化硫、二氧化氮、、、一氧化碳和臭氧这项污染物的统一评价在空气为优，在空气为良，在为轻度污染，在为中度污染，在为重度污染，以上为严重污染如图为我国个省级行政区某日的数据条形图给出下列结论：
当日超过半数以上的省级行政区空气为良；
当日省级行政区空气被污染的比例超过；
当日我国各省级行政区的平均值小于
同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
其中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  “三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人解决该问题的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知实数，满足约束条件，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，为实数，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.  函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  在等差数列中，若，，则使成立的正整数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在上是增函数 D. 在上有个零点

11.  已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是，则抛物线的准线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数，若恒成立，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  的展开式中的系数为______．

14.  已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为______ ．

15.  用、、、、、这六个数字组成一个无重复数字的五位数，百位和个位必须是奇数的数有______ 个
 

16.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，平面四边形内接于一个圆，且，，为钝角，．
求；
若，求的面积．

18.  本小题分
如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，，分别是线段，，的中点．
求证：平面平面；
求平面与平面所成二面角的正弦值．

19.  本小题分
我国探月工程嫦娥五号探测器于年月日时分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照，，，，，，分组，绘制成评分频率分布直方图，如下：
在测试评分不低于分的名学生中随机选取人作为航空航天知识宣传大使，记这名学生中测试评分不低于分的人数为，求的分布列；
为激励学生关注科技，该校科技社团预在高一学年名学生中，举办航天知识大赛，计划以知识问答试卷形式，以分数高低评比等级，一等奖、二等奖奖励为航天模型，三等奖无奖品，且一等奖奖品价值为二等奖的二倍，每个等级都颁发相应证书奖品费用需社团自行联系商家赞助，已筹集到赞助费元现以问卷调查结果的频率估计竞赛结果，以在测试评分不低于分频率记为一等奖获奖概率，不低于分不足分频率记为二等奖获奖概率，不低于分不足分频率记为三等奖获奖概率，若要求赞助费尽量都使用，试估计二等奖奖品的单价应为多少元？

20.  本小题分
已知抛物线的焦点到其准线的距离为，椭圆经过抛物线的焦点．
Ⅰ求抛物线的方程及；
Ⅱ已知为坐标原点，过点的直线与椭圆相交于，两点，若，点满足，且最小值为，求椭圆的离心率．

21.  本小题分
已知函数．
当时，判断的单调性；
若时，设是函数的零点，为函数极值点，求证：．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
求曲线，的极坐标方程；
若，曲线，交于，两点，求的值．

23.  本小题分
已知函数．
当时，解不等式；
若函数有三个不等实根，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

利用集合之间的包含关系判断集合的关系．
本题考查集合的子集概念，是基础题．

【解答】

解：，集合的元素都在集合中，．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，共轭复数，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
由，可得，从而即可求解出的值．

【解答】

解：，则，
所以．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：由图中的数据可知，个省级行政区中空气为良的有个，故正确；
空气被污染的省级行政区个数为，，故错误；
当日我国个省级行政区的平均值为，故正确，
共有个正确命题．
故选：．
利用我国个省级行政区某日的数据条形图中的数据对个命题分别经观察、计算、比较，能求出结果．
本题考查数据条形图的应用，考查数据处理能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率的计算，涉及对立事件的概率以及相互独立事件概率的计算，属于基础题．
根据题意，由相互独立事件的概率公式可得“三个臭皮匠都没有解决问题”的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，都没有解决问题的概率，则至少有一人解决该问题的概率，
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最大，有最大值为．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，属于基础题．
根据不等式的性质，我们先判断“”“”与“”“”的真假，然后结合充分条件、必要条件的定义即可得到答案．

【解答】

解：若“”
当，均小于时，，
即“”“”为假命题，
若“”
当时，
即“”“”为假命题，
综上“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．
根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．
【解答】
解：当时，，，
即时，函数单调递减，当，函数单调递增，
又因为函数为偶函数，故排除，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，，
，
令，解得，
故使成立的正整数的最小值为．
故选：．
根据已知条件，先求出，，即可求出等差数列的通项公式，令，即可求解．
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，
则，
则有，
故，
若，则，
故选：．
根据题意，由函数的解析式求出，相加可得，则有，计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数
所以函数的周期为：，所以不正确；
函数的最大值为，所以不正确；
，解得，所以在上是增函数，所以C正确；
在上有个零点，所以不正确．
故选：．
利用立即花园城三角函数化简函数的解析式，求解函数的正确判断；函数的最大值判断；函数的单调性判断；函数的零点的公式判断．
本题考查命题的真假的判断，两角和与差的三角函数以及三角函数的性质的判断与应用，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用消元法结合根与系数之间的关系的关系求出的值是解决本题的关键．属于拔高题．
求出直线方程，利用代入消元法转化为两根之和进行求解即可．

【解答】

解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
直线的方程为，
切点的纵坐标是，
圆心的纵坐标为，即，中点的纵坐标为，
由得代入直线方程，
得，即，
则，
则，
则，
则准线方程为，
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：的定义域为，，
令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，
当时，，
所以的图象如图所示：

令，恒过定点，
要使，必有的图象恒在图象的下方，则，
当与的图像相切于点时，取得最小值，
当时，，
令，则，所以，
此时切线的斜率为，
故．
故选：．
利用导数研究函数的单调性，再利用导数解决不等式恒成立问题，根据数形结合的思想方法即可得出结果．
本题考查了转化思想、导数的综合运用、几何意义及数形结合思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的展开式中的系数，
故答案为：．
由题意利用二项展开式的通项公式，求得的展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，

由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得．
所以圆心为，半径为．
所以圆的标准方程为．
故答案为：．
由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得，再求半径，即可写出圆的方程．
本题考查了圆的标准方程求法与应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，可以分三步完成：第一步，先安排个位和百位上的数字，从个奇数中选两个排序，有种方案；
第二步，安排万位上的数字，不能有，故需要在剩下的个数字中选个安排，有种方案；
第三步，最后安排十位和千位的数字，此时还有三个数字，只需从三个数字中选两个排列，故有种方案．
所以根据分步乘法计数原理即可得个满足条件的数．
故答案为：．
先安排个位和百位上的数字，再安排万位上的数字，最后安排剩下的位置上的数字即可．
本题考查了排列数的应用，考查分步乘法计数原理计数原理，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，则，
若，则，，
由双曲线的定义可得，，
作，可得，，则，
在直角三角形中，，即，
化为，则．
故答案为：．
由题意可得，，则，由向量共线定理可得，，运用双曲线的定义，作，结合中位线定理和直角三角形的勾股定理可得，再由离心率公式可得所求值．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平面几何的中位线定理和勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：在中，，，，
由正弦定理可得，即，
，
又为钝角，
为锐角，
．
平面四边形内接于一个圆，可得，
，
为钝角，
为锐角，
，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，舍去，
． 

【解析】根据已知条件，在中，运用正弦定理，即可求解，根据已知条件，运用余弦定理，以及三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
 

18.【答案】证明：因为四边形是矩形，是中点，是中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为是中点，是中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，、平面，
所以平面平面；
解：取中点，取中点，连接、，
因为四边形是矩形，所以，，
因为平面，所以平面，
所以，又因为，所以，
于是、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以，，
，，
设平面的法向量为，
，令，，
平面的法向量为，
设平面与平面所成二面角大小为，由图知为锐角，
，，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为． 

【解析】只须证明平面内两相交直线和分别平行平面即可；用向量数量积计算二面角的余弦值，进而求解．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：不低于分的名学生中：人；
：人；
的可能取值为，，，，
；；；；
分布列如下：

不低于分的人数为：；
不低于不足的人数为：；
设二等奖的奖品单价为元，则一等奖奖品单价为元，
则有，解得，
又因为要求赞助费尽量都使用，
所以取，
即二等奖奖品单价为元． 

【解析】利用统计与概率的知识，频率分布直方图可以求出，的人数，即可解出；
利用频率分布直方图即可求出，分数间的人数，即可解出．
本题考查了统计与概率，不等式的解法，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：Ⅰ抛物线的焦点到其准线的距离为，
可得，
抛物线的方程：，
椭圆经过抛物线的焦点，
椭圆的右顶点为，
所以；
Ⅱ设，，，
，

，即，
，

，即，
，两点在椭圆上，
，，
可得：，
即，
，
，
点轨迹方程为，最小值即点到直线的距离，
，即，
椭圆的离心率为．
法二：当直线斜率存在时，
设直线方程为，，，，
由得，，
由韦达定理可得，，
，
，，即，
，
，
又，
，即，
点轨迹为直线；
当直线斜率不存在时，经检验点在直线上；
而最小值即点到直线的距离，
，即，
椭圆的离心率为． 

【解析】Ⅰ根据题意求得，由此可得抛物线方程，再结合椭圆的右顶点可得的值；
Ⅱ法一：设，，，根据，，以及点，在椭圆上，可得点的轨迹方程，再结合最小值为，可求得的值，进而得到离心率；法二：当直线的斜率存在时，将直线与椭圆方程联立，结合，，可得点的轨迹方程，当直线不存在时也满足此轨迹，再结合最小值为，可求得的值，进而得到离心率．
本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．
 

21.【答案】解：当时，，
所以，，
因为在单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即在单调递增．
证明：由于，设，，
当时，，则在为减函数，
当时，，则在为增函数，
因为，当，，
所以存在，使得，
即，所以，
所以在为减函数，在为增函数，
当，，所以在区间必存在一个零点，
，
设，
则，
所以在为增函数，，
所以，
根据零点存在判定定理可知，
即． 

【解析】代入的值，求出函数的导数，解根据导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
求出函数的导数，根据函数的单调性求出，求出函数的解析式，从而证明结论成立．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．
 

22.【答案】解：依题意可得曲线的普通方程为，
据此可得曲线的极坐标方程为．
从而曲线的普通方程为，整理变形可得，
则曲线的极坐标方程为．
由，得，
将代入曲线的极坐标方程，
可得，
设上述方程的两根分别是，，则，，
故． 

【解析】消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出曲线的极坐标方程，同理可求出曲线的极坐标方程．
将代入曲线的极坐标方程，化简后利用根与系数的关系，再结合极坐标的几何意义可求得结果．
本题主要考查参数方程的几何意义，极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，属于中等题．
 

23.【答案】解：当时，，
即．
当时，，即，此式恒成立，故；
当时，，即，解得；
当时，，即，此式不成立，不等式无解．
综上，原不等式的解集是．
由，可得，显然当时，等式不成立，
令．
当时，在定义域内单调递增，不符合题意，舍去．
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，
则只需满足，解得或，故．
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，
故不可能有三个实数根．
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】利用零点分段法解绝对值不等式；
函数有三个不等实根转化为有三个实根，分，及三种情况讨论即可求出实数的取值范围．
本题考查了含绝对值不等式的解法、转化思想、分类讨论思想，属于基础题．