四川省宜宾市叙州区第一中学校2023届高考适应性考试数学（文）试题（含解析）

四川省宜宾市叙州区第一中学校2023届高考适应性考试数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（    ）

A． B．6 C．4 D．

3．已知向量，，若与平行，则实数的值为（    ）

A． B． C．6 D．

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要分件

5．函数的图像是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

7．设等比数列的前n项之积为Sn，若，，则a11=（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

8．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

9．设，则的最小值是（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

10．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值等于（    ）

A． B． C． D．1

11．在三棱锥中，平面，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

①函数有两个极值点；

②若关于的方程恰有1个解，则；

③函数的图象与直线（）有且仅有一个交点；

④若，且，则无最值.

A．①② B．①③④ C．②③ D．①③

二、填空题

13．已知实数x，y满足约束条件则的最大值为 ______．

14．执行如图所示的程序框图，输出的值为______.

15．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn﹣2Sn﹣1﹣2＝0（n≥2），则数列{nan}的前n项和Tn＝__．

16．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，且，为坐标原点，直线交的准线于点，则与的面积之比为______．

三、解答题

17．为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”．

(1)求实数a的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；

(2)完成下列列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．

附：，其中．

18．在△ABC中，．

(1)求B的值；

(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

（i）求的值；

（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．

19．如图，多面体ABCDE中，平面ABC，平面平面ABC，是边长为2的等边三角形，，AE=2．

(1)证明：平面平面BCD；

(2)求多面体ABCDE的体积．

20．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，M是椭圆R上异于A，B的一点，且直线MA与直线MB的斜率之积满足.

(1)求椭圆R的标准方程；

(2)过点的直线交椭圆于C，D两点，且直线AC，BD交于点Q，求点Q的横坐标.

21．已知函数．

（1）若，求的最小值；

（2）若时，有两个零点，求a的取值范围．

22．已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点．

(1)求曲线的普通方程；

(2)若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角．

23．已知关于x的不等式有解.

(1)求实数t的取值范围；

(2)若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且.求证:.

参考答案：

1．A

【分析】先利用指数函数的单调性和对数函数的定义域得到，，即可得到.

【详解】由，，

则，

所以．

故选：A.

2．D

【分析】根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的定义得到方程（不等式）组，解得即可.

【详解】因为

，

因为复数为纯虚数，所以，解得.

故选：D

3．D

【分析】先求与的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得.

【详解】因为，，

所以，

又与平行，

所以，解得.

故选：D

4．C

【分析】运用换元法令，通过解一元二次不等式及指数不等式可得的范围，再结合集合的包含关系判断条件间的充分、必要关系.

【详解】令，则由得，

解得或，又因为，

所以，即：，解得，

又因为“”是“” 的充要条件，

所以“”是“”的充要条件.

故选：C.

5．B

【分析】根据题意，令，可以排除AD，然后求导得，即可排除C.

【详解】因为，令，则，

即，解得，或，解得，

所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，

所以排除AD；

当时，，

则，当时，，

所以当时，，函数单调递增，所以B正确；

故选：B.

6．D

【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.

【详解】，

，

.

故选：D

7．C

【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，，进而可得，运算求解即可.

【详解】因为，，所以，，

解得，，

则，故．

故选：C.

【点睛】本题考查等比数列的性质，考查数学运算的核心素养．

8．C

【分析】根据直线与双曲线得一条渐近线平行可得的关系，求出双曲线的一个焦点的坐标，再根据的关系求出，即可得解.

【详解】因为直线与双曲线的一条渐近线平行，

所以，即，

由直线，令，得，

则双曲线的一个焦点为，即半焦距，

由，得，所以，

所以双曲线的方程为.

故选：C.

9．C

【解析】由条件可得利用均值不等式结合符号可得答案.

【详解】由，则则且

因为，所以当且仅当时，取得等号.

当时，有

当且仅当，即 时取等号

当时，有

当且仅当，，即 时取等号

综上可得的最小值为5

故选：C

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

10．D

【分析】由奇函数性质知，当时，的最大值为-1，再利用导数求出函数的单调性求出，即得解.

【详解】由奇函数性质知，当时，的最大值为.

令.

当0<x<时，，在递增；

当时，，在递减.

∴.

故选：D

11．B

【分析】设，根据已知条件用把三棱锥的体积表示出来，然后利用导数确定体积取最大值时的值，进而确定出三棱锥外接球的半径，从而求出体积.

【详解】设，则，

故三棱锥的体积.

设，则.

由，得；由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

即三棱锥体积的最大值是，此时，即.

因为平面，

所以三棱锥外接球的半径，

则三棱锥外接球的体积为.

故选：B.

12．D

【分析】求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即可判断②；根据①求得的导函数，可推得，有恒成立，即可得出③；作图，根据图象得出与有3个交点时，的范围.然后用表示出，即可得出，构造函数，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断④.

【详解】对于①，当时，，恒成立，

所以在上单调递增；

当时，，恒成立，

所以，在上单调递减；

当时，，恒成立，

所以，在上单调递减.

综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

所以，在处取得极小值，在处取得极大值，故①正确；

对于②，作出的图象如下图1

由图1可知，若关于的方程恰有1个解，则或，故②错误；

对于③，由①知，当时，，

因为，所以，所以，当且仅当；

当时，；

当时，，

因为，所以，所以，当且仅当.

综上所述，，有恒成立.

又直线可化为，斜率为，

所以函数的图象与直线（）有且仅有一个交点，故③正确；

对于④，

由图2可知，当时，函数的图象与有3个不同的交点.

则有，所以，

所以，.

令，，

则.

令，则在上恒成立，

所以，在上单调递增.

又，，

根据零点存在定理可知，，使得，

且当时，，

所以，所以在上单调递减；

当时，，

所以，所以在上单调递增.

所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误.

综上所述，①③正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：遇到条件时，常设，然后根据图象得出的范围.根据解析式，用表示出，将所求表达式表示为的函数，根据导函数研究函数的单调性、极值、最值等.

13．3

【分析】作出可行域，通过平移直线即可求解.

【详解】如图，由约束条件可得可行域为阴影部分，

由得，作出直线，

由得交点坐标为，

平移直线知，当直线过点时，z取得最大值，∴．

故答案为：3.

14．

【分析】根据程序框图，第一次循环得出，，返回循环；第二次循环得，，执行输出，即可得出答案.

【详解】开始，，，计算可得，

然后计算可得，执行判断，结果否，返回循环；

，，计算可得，

然后计算可得，执行判断，结果是，执行输出可得.

故答案为：.

15．（n﹣1）2n+1+2

【分析】利用数列的递推关系式求出数列的首项与公比，然后求解通项公式，利用错位相减法求解{nan}的前n项和Tn．

【详解】解：等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn﹣2Sn﹣1﹣2＝0（n≥2），设公比为，

n＝2时，S2﹣2S1﹣2＝0，即a1q﹣a1﹣2＝0

n＝3时，S3﹣2S2﹣2＝0，可得a1q2﹣a1﹣a1q﹣2＝0，

解得a1＝2，q＝2，

所以an＝2n，

nan＝n2n，

Tn＝1×2+2×22+3×23++n2n，①，

2Tn＝1×22+2×23+3×24++n2n+1，②

①﹣②可得：﹣Tn＝2+22+23+••••+2n﹣n2n+1n2n+1＝（1﹣n）2n+1﹣2，

所以Tn＝（n﹣1）2n+1+2．

故答案为：（n﹣1）2n+1+2．

16．/

【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据及焦半径公式求出，即可求出点坐标，从而求出直线的方程，再联立方程求出点坐标，求出的方程即可求出点坐标，最后根据面积公式计算可得.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，因为，

所以，即，则，解得，不妨取，

则直线的方程为，即，

由，解得，所以，

又直线的方程为，令，可得，所以，

所以.

故答案为：

17．(1)，250（人）

(2)填表见解析；没有

【分析】（1）根据频率和为1求得，进而根据频率估计成绩优秀的人数；

（2）根据题意结合分层抽样完善列联表，求，并与临界值对比分析.

【详解】（1）由题意可得：，解得，

样本中成绩优秀的频率为：，

以样本估计总体，全校1000名学生中成绩优秀的人数为：（人）.

（2）由题意，采用分层抽样，男生抽取人数人，女生抽取人，

且样本中优秀的人数为人，

故列联表如下：

可得，

因为，故没有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关

18．(1)

(2)正确条件为①③，（i），（ii）

【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；

（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；

（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．

【详解】（1）由题设，

而，

所以，故；

（2）若①②正确，则，得或，

所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，

若②③正确，则，可得，即②为错误条件，

综上，正确条件为①③，

（i）由，则，即，

又，可得，

所以，可得，则，

故；

（ii）因为且，得，

由平分得，

在中，，

在中，由，得．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）若为中点，连接，易证，由面面垂直的性质得面，易知，进而证为平行四边形，即，最后根据线面垂直的性质及判定和面面垂直的判定证结论；

（2）由求组合体的体积即可.

【详解】（1）若为中点，连接，

由是边长为2的等边三角形，，则，

又面面ABC，面，面面，故面，

因为平面ABC，故，又，

所以为平行四边形，即，

由面，则，，面，

所以面，即面，又面，

所以平面平面BCD；

（2）由多面体ABCDE的体积.

20．(1)

(2)4

【分析】（1）根据已知条件可得a的值，设出M坐标，由点M坐标适合椭圆方程及可求得值，进而求得椭圆方程.

（2）联立直线CD方程与椭圆方程，联立直线AC方程与直线BD方程并运用韦达定理代换可求得交点Q的横坐标.

【详解】（1）由题意知，，

设，则，

所以，解得：，

所以椭圆方程为.

（2）如图所示，

设直线CD的方程为，设，，

，

则，，

所以，

因为直线AC方程为①，直线BD方程为②，

所以联立①②得，

所以Q点横坐标为4.

21．（1）0；（2）．

【分析】（1）求导得，根据导数即可求出函数的单调性与最值；

（2）分类讨论利用导数研究函数的单调性，再借助零点存在性定理可得出答案．

【详解】解：（1）当时，，

定义域是，，

∴当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递减，

∴；

（2），，

①当时，，在上单调递减，

∵，∴在上有且只有一个零点1，不合题意；

②当时，

若，即时，则有时，，在上单调递增，

∴在上有且只有一个零点1，不合题意；

当，即时，

则有时，，在上单调递减，

时，，在上单调递增，

∵，∴，

又存在，，

∴，在上存在唯一零点，

又在上有零点1，

∴在上有二零点，

综上：．

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，考查数学运算能力，考查转化与化归思想，属于难题．

22．(1).

(2)或.

【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.

（2）写出直线的参数方程，参数方程代入，设，两点所对的参数为，利用韦达定理代入中，化简即可求解.

【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），得，

，，即（为焦点在轴上的椭圆）.

（2）设直线的倾斜角为，直线过点

直线的参数方程为（为参数），

将直线的参数方程代入，可得，

，

设，两点所对的参数为，，

曲线与轴交于两点，

在曲线的内部，一正一负，

，而，，

，，，

解得，为直线的倾斜角，，

，，或，

直线的倾斜角为或.

23．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)令，求出的最大值，由不等式有解可知，从而得到关于t的不等式，即可解出t的取值范围；

(2)由柯西不等式得即可证明结论.

【详解】（1）令，

所以当时，取得最大值为3，

关于x的不等式有解等价于，

即

当时，上述不等式转化为，解得，

当时，上述不等式转化为，解得，

综上所述t的取值范围为，

故实数t的取值范.

（2）根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足，

所以由柯西不等式可得

，

当且仅当，，时取等号，

所以.