2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析）

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这是一份2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.1+4i2−4i=( )
A. 910+35iB. 910+310iC. −710+35iD. −710+310i
2.已知集合A={x|x(x− 2)<0}，B={x|−x<−1}，则A∩B=( )
A. {x|01}
3.在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分.根据两个评判小组对同一名选手的打分绘制了如图的折线图．

根据如图折线图，下列结论错误的是( )
A. A小组打分分值的最高分为55分，最低分为42分
B. A小组打分分值的标准差小于B小组打分分值的标准差
C. B小组打分分值的中位数为56.5
D. B小组更像是由专业人士组成的
4.数列{an}中，若a1=2，an+1=a1+an，则a2+a4+a6+a8+a10=( )
A. 30B. 40C. 50D. 60
5.若tanθ=2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=( )
A. 25B. −25C. 65D. −65
6.函数y=4xx2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为L=32.4+20(lgD+lgF)，其中D为传输距离(单位：km)，F为载波频率(单位：MHz)，L为传输损耗(单位：dB).若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60dB，则传输距离变为原来的( )
A. 100倍B. 50倍C. 10倍D. 5倍
8.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为( )
A. 27：32B. 3：8C. 3 3：16D. 9：32
9.已知正数a，b满足(a+5b)(2a+b)=36，则a+2b的最小值为( )
A. 16B. 12C. 8D. 4
10.已知M是抛物线C：x2=4y上一点，F为抛物线的焦点，点N(0,−2)，若|MF|=|NF|，则△MFN的面积为( )
A. 2 2B. 2 3C. 3 2D. 3 3
11.已知ω>0，函数f(x)= 3sin(2ωx+π6)+2cs2(ωx+π12)−1在(0,π)上恰有3个零点，则ω的取值范围为( )
A. [43,116]B. (43,116)C. [43,116)D. (43,116]
12.已知a=2πln5，b=5πln2，c=10lnπ，则下列结论正确的是( )
A. b>c>aB. a>b>cC. b>a>cD. c>b>a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知e1,e2是两个不共线的非零向量，若2e1−e2与e1−te2共线(t∈R)，则t= ______．
14.已知函数f(x)=m(2x+1)3−2ex，若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与直线4x+y−2=0平行，则m=______．
15.在几何体P−ABC中，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABC，且AB=BC=2，AB⊥BC，则P−ABC外接球的表面积等于______．
16.已知F1，F2是椭圆x2+y22=1的两个焦点，点P在椭圆上，若∠PF1F2=135°，则点P到焦点F2的距离为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
为了满足同学们多元化的需求，某校食堂每周开发一次新菜品，为了了解学生对新菜品的喜爱情况，他们采用给新菜品打分的方式(分数为整数，满分100分)，在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在[40,100]内，将这些数据分成6组并绘制出如图所示的样本频率分布直方图．
(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)从这1200名同学中随机抽取110，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在[70,100]，女同学中20人打分在[70,100]，根据所给数据，完成上面的2×2列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对新菜品的喜爱程度与性别有关(分数在[70,100]内认为喜欢新菜品)？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
18.(本小题12分)
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知( 3−csA)c=acsC．
(1)求cb；
(2)若csA=c2b，且△ABC的面积为9 114，求a．
19.(本小题12分)
如图，在三棱锥V−ABC中，VA=VB=VC，AC⊥BC，O，M分别为AB，VA的中点．
(Ⅰ)求证：平面ABC⊥平面VAB；
(Ⅱ)若AC=BC，△VAB是面积为 3的等边三角形，求四棱锥C−BOMV的体积．
20.(本小题12分)
设中心在原点O，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，离心率为 22，短轴的一个端点和焦点的连线距离为 2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于两点M、N，若直线l的斜率存在，线段MN的中点在直线x=−12上，求直线l的斜率取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R)．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=t−1y=t+2(t为参数).在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ= 3 1+2cs2θ．
(I)直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；
(II)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
23.(本小题12分)
已知f(x)=|x−2|+|x+1|+2|x+2|．
(1)求证：f(x)≥5；
(2)若对任意实数x，15−2f(x)答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：原式=(1+4i)(2+4i)(2−4i)(2+4i)=2+4i+8i−1622+42=−14+12i20=−710+35i，
故选：C．
利用复数的运算法则求解即可．
本题考查了复数的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵A={x|x(x− 2)<0}={x|01}，
∴A∩B={x|1故选：C．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解，
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据折线图：
对于A：A小组打分分值的最高分为55分，最低分为42分，故A正确；
对于B：A小组打分分值比较集中，所以A的标准差小于B小组打分分值的标准差，故B正确；
对于C：B小组的排序为36，42，46，47，49，55，58，62，66，68，70，75，所以中位数为55+582=56.5，故C正确；
对于D：A小组的打分更像专业人士组成，故D错误．
故选：D．
直接利用折线图中标准差，中位数和分值的集中程度的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：折线图的应用，中位数的应用，标准差，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：数列{an}中，a1=2，an+1=a1+an，
∴an+1−an=2，
∴数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
∴a2+a4+a6+a8+a10=5a2+5×42×4=5×(2+2)+40=60．
故选：D．
推导出数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，由此能求出a2+a4+a6+a8+a10．
本题考查等差数列的5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=sinθ(sinθ+csθ)2sinθ+csθ=sinθ(sinθ+csθ)=sin2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=65，
故选：C．
利用同角三角函数的基本关系式化简即可得出结论．
本题考查了同角三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：函数y=4xx2+1是奇函数，排除CD，
x>0时，y>0，排除B；
故选：A．
利用函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的值的情况，判断即可．
本题考查函数图象的判断，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意设L′是变化后的传输损耗，F′是变化后的载波频率，D′是变化后的传输距离，L=32.4+20(lgD+lgF)，
则L′=L+60，F′=100F①，
∴60=L′−L=20lgD′+20lgF′−20lgD−20lgF=20lgD′D+20lgF′F②，
由①②得20lgD′D=60−20lgF′F=60−40=20，即lgD′D=1，即D′=10D，
故传输距离变为原来的10倍，
故选：C．
由题意L′是变化后的传输损耗，F′是变化后的载波频率，D′是变化后的传输距离，则60=L′−L，结合题意，可得60=L′−L=20lgD′D+20lgF′F，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型和对数的运算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查球体积的计算，考查圆锥体积的计算，属于中档题．
设球的半径为R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．
【解答】
解：取圆锥的轴截面如下图所示，
设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，
结合图形可得2r=2Rcs30°= 3R，所以r= 32R，
圆锥的高为h= (2r)2−r2= 3r= 3× 32R=32R，
所以，圆锥的体积为13πr2h=13π×( 32R)2×32R=3πR38，
因此，圆锥的体积与球的体积之比为3πR384πR33=38×34=932．
故选：D．
9.【答案】D
【解析】解：因为，当且仅当a+5b=2a+b，即a=4b时取等号，
所以，
又a>0，b>0.所以a+2b≥4，即时，等号成立．
故选：D．
根据均值不等式得到，计算得到答案．
本题主要考查了基本不等式式在最值求解中的应用，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线C：x2=4y，∴F(0,1)，准线方程为y=−1，
∵点N(0,−2)，∴|NF|=3，
M是抛物线C：x2=4y上一点，可设为M(m,m24)，(m>0)，
由抛物线的定义可知，|MF|就是M到准线的距离m24+1，
∵|MF|=|NF|，
∴m24+1=3，m=±2 2，
可得M(±2 2,2)，
则△MFN的面积为：12|NF|⋅|xM|=12×3×2 2=3 2．
故选：C．
利用已知条件求解抛物线的焦点坐标，求出M的坐标，然后求解三角形的面积．
本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，是基础题．
11.【答案】D
【解析】解：f(x)= 3sin(2ωx+π6)+2cs2(ωx+π12)−1= 3sin(2ωx+π6)+cs(2ωx+π6)=2sin(2ωx+π3)，
当x∈(0,π)时，2ωx+π3∈(π3,2πω+π3)，f(x)有3个零点，
故3π<2πω+π3≤4π，解得43<ω≤116．
故选：D．
化简得到f(x)=2sin(2ωx+π3)，确定2ωx+π3∈(π3,2πω+π3)，根据题意得到3π<2πω+π3≤4π，解得答案．
本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】解：∵a=2πln5=πlg25，b=5πln2=πlg32，πlg25<πlg32，∴a设f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，
当x∈(e,+∞)，f′(x)<0，f(x)在(e,+∞)上单调递减，
当x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)在(0,e)上单调递增，
∴f(4)∴πln2<2lnπ，两边同乘以5，得5πln2<10lnπ，∴b又ln5510lnπ，∴a综上，c>b>a．
故选：D．
构造函数f(x)=lnxx，研究其单调性，由此能判断a，b，c的大小关系．
本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】12
【解析】解：∵2e1−e2与e1−te2共线(t∈R)，
∴存在实数k，使得2e1−e2=k(e1−te2)，
∵e1,e2是不共线的非零向量，
∴k=2−1=−kt，解得t=12．
故答案为：12．
直接利用向量共线的条件列等式求解即可．
本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力，属于基础题目．
14.【答案】−13
【解析】解：依题意，f′(x)=6m(2x+1)2−2ex，
f′(0)=6m−2，则6m−2=−4，
解得m=−13．
故答案为：−13．
先求出f(x)的导数，然后利用切点处的导数值等于切线的斜率列方程，解出m即可．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及转化思想．
15.【答案】28π3
【解析】【分析】
本题考查平面与平面垂直的判断与性质，几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力和计算能力．
通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．
【解答】
解：△PAB是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB的过中心的垂线上，作出△PAB的中心G，作GO⊥平面PAB，因为AB⊥BC，取AC的中点为E，外接球的球心也在过E点的垂线上，AB=BC=2，O为外接球的球心，
由题意可知EC= 2，GD=13× 32×2= 33，
外接球的半径为：OC= ( 33)2+( 2)2= 73．
外接球的表面积为：4π×( 73)2=28π3．
故答案为：28π3．
16.【答案】5 23
【解析】解：∵椭圆x2+y22=1中，a= 2，b=c=1，
根据对称性设F1，F2分别是该椭圆的上下焦点，且P在第一象限，
设|PF1|=m，|PF2|=n，又|F1F2|=2c=2，∠PF1F2=135°，
∴根据椭圆的几何性质及余弦定理可得：
m+n=2a=2 2n2=m2+22−2×2×m×(− 22)，
解得m= 23，n=5 23，
∴点P到焦点F2的距离为5 23．
故答案为：5 23．
根据椭圆的几何性质，余弦定理，建立方程，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用，属基础题．
17.【答案】解：(1)设[60,70)这一组数据对应的频率/组距为x，
由题意知，(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010+x)×10=1，解得x=0.015，
补充完整的频率分布直方图如下所示，

所以样本的平均数x=(45×0.005+55×0.015+65×0.015+75×0.030+85×0.025+95×0.010)×10=73.5分．
(2)补充完整的2×2列联表如下所示，
所以K2=120×(40×30−30×20)270×50×60×60=12035≈3.429>2.706，
故在犯错概率不超过0.100的条件下，能认为对新菜品的喜爱程度与性别有关．
【解析】(1)根据频率之和为1，可得[60,70)这一组数据对应的频率/组距，再补图即可，根据平均数的计算方法，得解；
(2)根据K2的参考公式，计算其观测值，并与附表对比，即可作出判断．
本题考查独立性检验，频率分布直方图的数字特征，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为( 3−csA)c=acsC，
所以由正弦定理可得 3sinC−csAsinC=sinAcsC，
即 3sinC=sinCcsA+sinAcsC=sin(A+C)，
而sin(A+C)=sinB，
所以 3c=b，
故cb= 33．
(2)由(1)知csA= 36，则sinA= 336，
又△ABC的面积为12bcsinA= 114c2=9 114，
则c=3，b=3 3．
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=27，解得a=3 3．
【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式即可求解．
(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用三角形的面积公式进而可求c，b的值，利用余弦定理可求得a的值．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵VA=VB，O为AB的中点，∴VO⊥AB，
∴VO2+OA2=VA2，
∵AC⊥BC，∴OC=OA，
∵VA=VC，∴VO2+OC2=VC2，∴VO⊥OC，
∵OC∩AB=O，∴VO⊥平面ABC．
∵VO⊂平面VAB，∴平面ABC⊥平面VAB．
(Ⅱ)∵AC=BC，∴OC⊥AB，∴OC⊥平面VAB，
△VAB是面积为 3的等边三角形，∴VA=VB=AB=2，∴OC=1，
∴四棱锥C−BOMV的体积为：
VC−BOMV=13×OC×S四边形BOMV=13×1×34×S△VAB= 34．
【解析】(Ⅰ)推导出VO⊥AB，VO⊥OC，推导出VO⊥平面ABC，由此能证明平面ABC⊥平面VAB．
(Ⅱ)推导出OC⊥AB，OC⊥平面VAB，VA=VB=AB=2，OC=1，四棱锥C−BOMV的体积为VC−BOMV=13×OC×S四边形BOMV．
本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则e=ca= 1−b2a2= 22，即a2=2b2，
又b2+c2=2，a2−b2=c2，
解得b=c=1，a= 2，
所以椭圆的方程为x22+y2=1；
(2)设直线l的方程为y=kx+m，
与椭圆方程x2+2y2=2联立，可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
则Δ>0，即16k2m2−4(1+2k2)(2m2−2)>0，化为m2<1+2k2，
设M，N的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=−4km1+2k2，
由线段MN的中点在直线x=−12上，可得2km1+2k2=12，
即有m=1+2k24k，
所以(1+2k2)216k2<1+2k2，
解得k> 1414或k<− 1414．
则k的取值范围是(−∞,− 1414)∪( 1414,+∞)．
【解析】(1)由椭圆的离心率公式和两点的距离公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；
(2)设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式、判别式大于0，解不等式可得所求取值范围．
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=lnx−ax的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−a．
①当a≤0时，由f′(x)>0，知f(x)在(0,+∞)内单调递增．
②当a>0时，由f′(x)>0，即1x−a>0得0由f′(x)<0，即1x−a<0得x>1a，∴f(x)在(0,1a)内单调递增；在(1a,+∞)内单调递减．
因此，①当a≤0时，f(x)在(0,+∞)内单调递增．
②当a>0时，f(x)在(0,1a)内单调递增；在(1a,+∞)内单调递减．
(Ⅱ)f(x)有两个零点．
即：方程lnx−ax=0有两个实根，
即：方程a=lnxx有两个实根，
即：函数y=a和g(x)=lnxx有两个公共点，g′(x)=1−lnxx2．
由g′(x)>0，即：1−lnxx2>0，∴0由g′(x)<0，即：1−lnxx2<0，∴x>e．
∴g(x)max=g(e)=1e．
又g(1e)=−e<0，
当x>1时，lnxx>0，∴0∴当0【解析】(I)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，判断导数的符号，进而可求函数的单调性；
(II)结合(I)的单调性及函数的性质，函数零点判定定理即可求解．
本题综合考查了利用导数函研究数的单调性，求解函数的零点问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．
22.【答案】解：(I)∵x=t−1y=t+2(t为参数)，∴x−y=−3，即x−y+3=0.∴直线l的直角坐标方程是x−y+3=0．
∵ρ= 3 1+2cs2θ，∴ρ2=31+2cs2θ，即ρ2+2ρ2cs2θ=3．
∴曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3，即x2+y23=1．
(II)曲线C的参数方程为x=csαy= 3sinα(α为参数)，
则曲线C上的点到直线l的距离d=|csα− 3sinα+3| 2=|2cs(α+π3)+3| 2．
∴当cs(α+π3)=1时，d取得最大值5 2=5 22，
当cs(α+π3)=−1时，d取得最小值1 2= 22．
∴d的取值是[ 22,5 22].
【解析】(I)将直线的参数方程相减消去参数t，得到直线l的普通方程，将曲线的极坐标方程两边平方，得出曲线C的普通方程；
(II)求出曲线C的参数方程，把参数方程代入点到直线的距离公式，利用三角函数的性质解出d的最值．
本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数方程在求距离中的应用，属于基础题．
23.【答案】(Ⅰ)证明：∵f(x)=−4x−3,x≤−25,−22，
∴f(x)的最小值为5，∴f(x)≥5.…(5分)
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：15−2f(x)的最大值等于5.…(7分)
∵a2+9a2+1=(a2+1)+9a2+1−1≥2 (a2+1)×9a2+1−1=5，
“=”成立⇔(a2+1)=9a2+1，即a=± 2，
∴当a=± 2时，a2+9a2+1取得最小值5．
当a≠± 2时，a2+9a2+1>5，
又∵对任意实数x，15−2f(x)∴a≠± 2.∴a的取值范围为a≠± 2.…(10分)
【解析】(Ⅰ)通过讨论x的范围，得到关于f(x)的分段函数，从而求出f(x)的最小值即可；(Ⅱ)根据基本不等式的性质求出a的范围即可．
本题考查了绝对值不等式的问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．喜欢
不喜欢
合计
男同学
女同学
合计
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
喜欢
不喜欢
合计
男同学
40
30
70
女同学
20
30
50
合计
60
60
120

2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析）

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