2023-2024学年四川省宜宾市叙州二中高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省宜宾市叙州二中高三（下）开学数学试卷（文科）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知z为纯虚数，且(2+i)z=1+ai3(i为虚数单位)，则|a+z|=( )
A. 1B. 3C. 2D. 5
2.已知全集为R，集合A={y|y=lg2x,x>1}，B={x|y= (12)x−1}，则A∪(∁UB)=( )
A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. ⌀D. R
3.如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是
( )
A. 甲所得分数的极差为22
B. 乙所得分数的中位数为18
C. 两人所得分数的众数相等
D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
4.设函数f(x)=f(2−x),x>22−x,x≤0，则f(lg213)+f(3)=( )
A. −1B. 5C. 6D. 11
5.已知实数x，y满足x≤2y≤xx+y≥2，则z=−2x+y的最大值为( )
A. 4B. −4C. −1D. 1
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且2a10=a14，则S32S16=( )
A. 17B. 18C. 5D. 6
7.函数f(x)=(ex+ae−x)x2(a∈R)的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
8.给出两个命题：p：函数y=x2−x−1有两个不同的零点；q：若1x<1，则x>1，那么在下列四个命题中，真命题是( )
A. (¬p)∨qB. p∧qC. (¬p)∧(¬q)D. (¬p)∨(¬q)
9.圆锥的母线长为2，侧面积为2π，若球O的表面积与该圆锥的表面积相等，则球O的体积为( )
A. 2π3B. 2π3C. 3π2D. 3π2
10.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x+1)+f(x−1)=2，g(x+2)是偶函数，且f(x)+g(2+x)=4，g(2)=2，则( )
A. f(x)关于直线x=1对称B. f(x)关于点(1,0)中心对称
C. f(2023)=1D. k=115f(k)=15
11.已知两点A，M在双曲C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上，点A与点B关于原点对称，BM交y轴于点N，若AB⊥AM，且ON2+8OA⋅ON=0，则双曲线C的离心率为( )
A. 5B. 6C. 7D. 2 2
12.已知函数f(x)=x2−4x−a(ex−2+e−x+2)有唯一零点，则a=( )
A. −12B. −2C. 12D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(−k,2),b=(1,3)，若a⊥(a−2b)，则实数k=______．
14.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，则异面直线ED1与DF所成角的大小为______．
15.黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值.我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割.已知连接正五边形的所有对角线能够形成一个五角星，如图，点D是线段AB的黄金分割点，由此推断cs144°= ______．
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2+b2+4 2=c2，ab=4，则2sinCtan2Asin2B的最小值______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如表：
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计图课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中选选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率．
下面的临界值表供参考：
(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)
18.(本小题12分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，且AD=2BC=2CD，PA=PB=PD．
(I)求证：平面PAD丄平面ABCD；
(II)设∠PAD=45°，且PA= 2，E、F分别是PA，PC的中点，求多面角PEBFD的体积．
19.(本小题12分)
已知在数列{an}中，Sn为其前n项和，若an>0，且4Sn=an2+2an+1(n∈N*)，数列{bn}为等比数列，公比q>1，b1=a1，且2b2，b4，3b3成等差数列．
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)令cn=anbn，若{cn}的前项和为Tn，求证：Tn<6．
20.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=1.(1)求椭圆E的方程：(2)设P，Q是椭圆E上的两点，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ，其中O是坐标原点，当P，Q运动时，是否存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切？若存在，请求出圆O的方程，若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=1−x2+alnxa，g(x)=e1−x−1x．
(1)函数f(x)是否有极值？若有，求出极值；若没有，说明理由．
(2)若对任意x>1，f(x)22.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x=12ty=− 3+ 32t(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴(取相同的长度单位)，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cs(θ−π3).
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若点P的极坐标为( 3,3π2)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的值．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|x+3|+|x−1|．
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若f(x)的最小值为c，正实数m，n满足2m+n=c，求证： m+ n≤ 6．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵(2+i)z=1+ai3=1−ai，
∴(2−i)(2+i)z=(2−i)(1−ai)，
∴z=2−a−(1+2a)i5，
∵z为纯虚数，
∴2−a5=0，−1+2a5≠0，
解得a=2．
∴z=−i．
∴|a+z|=|2−i|= 5．
故选：D．
利用复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2.【答案】A
【解析】解：当x>1时，y=lg2x>lg21=0，故集合A={y|y=lg2x,x>1}=(0，+∞)，
对于函数y= (12)x−1，自变量x满足(12)x−1≥0，解得x≤0，
所以B={x|y= (12)x−1}=(−∞,0]，可得∁UB=(0,+∞)．
因为A=(∁UB)=(0,+∞)，所以A∪(∁UB)=(0,+∞)．
故选：A．
根据题意，求出集合A中函数的值域与集合B中函数的定义域，再根据并集与补集的法则算出答案．
本题主要考查指数函数与对数函数的性质、集合的并集与补集运算法则等知识，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题给出茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着重考查了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于基础题．
根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项进行对照，即可得解．
【解答】
解：甲所得分数的极差为33−11=22，A正确；
乙所得分数的中位数为18，B正确；
甲所得分数的众数为22，乙所得分数的众数为22，C正确；
甲的平均分为
x甲=11+15+17+20+22+22+24+32+339=1969，
乙的平均分为
X乙=8+11+12+16+18+20+22+22+319=1609，
甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=f(2−x),x>22−x,x≤0，
∴f(lg213)+f(3)=2−lg213+f(−1)
=2lg23+2
=3+2
=5．
故选：B．
推导出f(lg213)+f(3)=2−lg213+f(−1)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分所示，
把y=2x+z平移，当直线经过点A时，目标函数在y轴上的截距取得最大值，
此时z取最大值，
联立y=xx+y=2，得A(1,1)，
将A(1,1)坐标代入目标函数中，可得zmax=−2×1+1=−1．
故选：C．
作出不等式组对应的平面区域，确定目标函数对应的直线经过区域内哪个点时取得最大值，求出该点坐标代入目标函数中计算即可得答案．
本题主要考查简单的线性规划，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由2a10=a14，得2a10=a10q4，解得q4=2，
所以S32S16=a1(1−q32)1−qa1(1−q16)1−q=1+q16=1+24=17．
故选：A．
设等比数列{an}的公比为q，代入等比通项公式即可．
本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：当a=0时，f(x)=exx2，此时对应图象A，
当a>0时，f(x)=(ex+ae−x)x2，
若函数为偶函数，则f(−x)=f(x)，即(e−x+aex)x2=(ex+ae−x)x2，得e−x+aex=ex+ae−x，得a=1，此时f(x)=(ex+e−x)x2，此时对应图象为C，
若函数为奇函数，则f(−x)=−f(x)，即(e−x+aex)x2=−(ex+ae−x)x2，得e−x+aex=−ex−ae−x，得a=−1，此时f(x)=(ex−e−x)x2，
由f(x)=0，得x=0，当x>0时，f(x)>0，此时对应图象为B，D一定不成立，
故选：D．
根据a的符号，结合函数的奇偶性，分别求出a的值，进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和对称性之间的关系求出a的值是解决本题的关键，难度中等．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，对于p，函数y=x2−x−1，其Δ=1+4=5>0，与x轴有2个不同的交点，
则函数y=x2−x−1有两个不同的零点，p为真命题；
对于q，当x<0，满足1x<1，则q为假命题，
故(￢p)∨q、p∧q、(￢p)∧(￢q)为假命题，(￢p)∨(￢q)为真命题．
故选：D．
根据题意，分析p、q的真假，由复合命题真假的判断方法分析选项，即可得答案．
本题考查复合命题真假的判断，涉及函数的零点以及不等式的性质，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：依题意，设圆锥的底面半径为r，母线l=2，
则圆锥的侧面积为πrl=2π，故r=1，
所以圆锥的底面积为πr2=π，则圆锥的表面积为2π+π=3π，
设球的半径为R，则4πR2=3π，得R= 32，
所以球的体积V=4π3R3= 3π2．
故选：C．
先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于R的方程，解之即可求得球的体积．
本题考查的知识要点：圆锥和球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：由g(x+2)是偶函数，且f(x)+g(2+x)=4可得f(−x)+g(2−x)=f(−x)+g(2+x)=4，
所以f(x)=f(−x)，
对于A，f(x+1)+f(x−1)=f(x+1)+f(1−x)=2，f(x)不关于x=1对称，A错误；
对于B，由于f(x+1)+f(1−x)=2，即f(x)关于(1,1)中心对称，B错误；
对于C，由f(x+1)+f(x−1)=2得f(x+3)+f(x+1)=2，所以有f(x+3)=f(x−1)，
即函数f(x)的最小正周期为4，所以f(2023)=f(−1)，
又f(1)+f(−1)=2f(−1)=2，所以f(−1)=1，即f(2023)=1，C正确；
对于D，k=115f(k)=f(1)+f(2)+…+f(15)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]−f(4)，
由f(x)+g(2+x)=4，g(2)=2得f(0)=2，即f(4)=2，
由f(1)=1，f(3)+f(1)=2得f(3)=1，
由f(4)=2，f(4)+f(2)=2得f(2)=0，
所以k=115f(k)=4×4−2=14，D错误．
故选：C．
由g(x+2)是偶函数，且f(x)+g(2+x)=4可得f(−x)+g(2−x)=f(−x)+g(2+x)=4，
所以f(x)=f(−x)，由f(x+1)+f(x−1)=2得f(x+3)+f(x+1)=2，所以有f(x+3)=f(x−1)，
即函数f(x)的最小正周期为4，结合f(x)的奇偶性和周期性对各选项进行分析即可．
本题主要考查抽象函数的周期性和奇偶性，属中档题．
11.【答案】D
【解析】解：如图，
不妨设A在第一象限，取BM的中点Q，连接OQ，
因为O为AB的中点，故OQ//AM，B(x1,y1)(x1<0,y1<0)，M(x2,y2)，Q(x0,y0)，x1≠x2，
B，M在双曲线上，则x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1，两式相减可得，x12−x22a2−y12−y22b2=0，
即y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=b2a2，而y1+y2x1+x2=2y02x0=kOQ，y1−y2x1−x2=kBM，
故kBM⋅kOQ=b2a2，即kBM=b2x0a2y0，
又因为AB⊥AM，则OB⊥OQ，即kOB⋅kOQ=−1，
所以y1x1⋅y0x0=−1，即x0y0=−y1x1，所以kBM=−b2y1a2x1，
又ON2+8OA⋅ON=0，则|ON|2=−8|OA||ON|cs∠AON，
即|ON|=−8|OA|cs∠AON=8|y1|，故N(0,8y1)，
所以kBN=8y1−y1−x1=−7y1x1，而kBM=kBN，故−b2y1a2x1=−7y1x1，
故b2a2=7，则双曲线C的离心率为e= a2+b2a2= 1+b2a2=2 2，
根据双曲线的对称性可知，当A在第四象限时，同理可求得e=2 2，
当A在双曲线的顶点时，由于AB⊥AM，此时AM与双曲线相切，不合题意，
故双曲线C的离心率为e=2 2．
故选：D．
设O为AB的中点，设B(x1,y1)(x1<0,y1<0)，M(x2,y2)，Q(x0,y0)，x1≠x2，利用点差的方法表示出kBM=b2x0a2y0，结合题意继而表示出N(0,8y1)，推出kBN=−7y1x1，根据kBM=kBN即可求得a，b的关系，从而可求双曲线离心率．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了利用偶函数的对称性求解参数的值，解题的关键是灵活利用偶函数对称性的性质．
由已知可令t=x−2，则y=t2−a(et+e−t)−4为偶函数，图象关于t=0对称，fx关于直线x=2对称，结合已知函数有唯一零点得f2=0，即可得解．
【解答】
解：f(x)=x2−4x−a(ex−2+e−x+2)=(x−2)2−a(ex−2+e−x+2)−4，
令t=x−2，则y=t2−a(et+e−t)−4为偶函数，图象关于t=0对称，
所以fx关于直线x=2对称，
由函数f(x)有唯一零点，得f2=−2a−4=0，
所以a=−2．
故选：B．
13.【答案】−4或2
【解析】解：由题意，a−2b=(−k−2,−4)，
因为a⊥(a−2b)，
所以a⋅(a−2b)=−k×(−k−2)+2×(−4)=k2+2k−8=0，
解可得k=2或k=−4．
故答案为：2或−4．
结合向量垂直的坐标表示可建立关于k的方程，解方程可求．
本题主要考查了向量垂直的坐标表示的简单应用，属于基础试题．
14.【答案】π2
【解析】解：如图所示，连接EF，C1F，C1D，
∵E，F分别为棱AA1，BB1的中点，
∴EF//A1B1//C1D1，EF=A1B1=C1D1，
∴四边形EFC1D1为平行四边形，
∴ED1//C1F，
∴∠DFC1或其补角即为异面直线ED1与DF所成角，
在△DFC1中，DC1= 5，DF= 3，FC1= 2，
∴DF2+FC12=DC12，即DF⊥FC1，
∴∠DFC1=π2．
故答案为：π2．
连接EF，C1F，C1D，易证四边形EFC1D1为平行四边形，从而有ED1//C1F，故∠DFC1或其补角即为所求，在△DFC1中，由勾股定理的逆定理，即可得解．
本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】− 5+14
【解析】解：依题意，正五边形中，内角为108°，
根据等腰三角形的性质得∠ACD=∠DCB=∠CBD=36°，
∴∠CAD=∠CDA=∠ACB=72°，
∴BC=AB，CD=BD=AC，
∵D为AB的黄金分割点(BD>AD)，
∴BDAB=ADBD，∴BDAD+BD=ADBD，∴ADBD= 5−12，∴ADCD= 5−12，
设CD=2，则AD= 5−1，
在△CDA中，cs36°=22+22−( 5−1)22×2×2= 5+14，
∴cs144°=cs(180°−36°)=−cs36°=− 5+14．
故答案为：− 5+14．
利用正五边形的性质可求出所研究的角的大小，再根据黄金分割的定义式求出ADCD，利用余弦定理及诱导公式即可求解．
本题考查正五边形的性质、黄金分割的定义式、余弦定理、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】4+3 2．
【解析】解：因为a2+b2+4 2=c2，ab=4，
所以csC=a2+b2−c22ab=−4 28=− 22，
由C为三角形内角得，C=3π4，B=π4−A，
所以tan2Asin2B=tan2Acs22A=tan2A(cs2A−sin2A)=sin2A−sin4Acs2A
=sin2A−(1−cs2A)2cs2A=1−cs2A−1+cs4A−2cs2Acs2A=3−2cs2A−1cs2A
=3−(2cs2A+1cs2A)≤3−2 2，当且仅当2cs2A=1cs2A，即cs2A= 22时取等号，
则2sinCtan2Asin2B= 2tan2Asin2B≥ 23−2 2=4+3 2．
故答案为：4+3 2．
由已知结合余弦定理可求C，然后结合同角基本关系，二倍角公式对所求式子进行化简，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，同角基本关系，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由公式计算K2=60(400−100)230⋅30⋅30⋅30≈6.67<7.879，
所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关；
(2)设所抽样本中有m个男生，则630=m20，解得m=4人，
所以样本中有4个男生，2个女生，
从中选出3人的基本事件数有20种，恰有两名男生一名女生的事件数有12种，
所以所求的概率为P=35．
【解析】(1)由公式计算观测值，对照临界值得出结论；
(2)根据抽样比例求出m的值，再利用古典概型的概率计算所求的概率值．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题．
18.【答案】(I)证明：取AD的中点O，连接PO，
∵PA=PD，∴PO⊥AD，
∵BC/​/AD，∠ADC=90°，AD=2BC=2CD，
∴四边形BCDO是正方形，
∴OB=OA，
又PA=PB，∴△POA≌△POB，
∴∠POB=∠POA=90°，即PO⊥OB，
又AD⊂平面ABCD，OB⊂平面ABCD，AD∩OB=O，
∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
(II)解：∵∠PAD=45°，PA=AD= 2，
∴PO=OA=1，PA⊥PD，
∵OB⊥AD，OB⊥PO，AD∩PO=O，
∴OB⊥平面PAD．
∴VB−PDE=13S△PDE⋅OB=13×12× 22× 2×1=16，
VF−PBD=12VC−PBD=12VP−BCD=16S△BCD⋅PO=16×12×1×1×1=112．
∴多面体PEBFD的体积为VB−PDE+VF−PBD=16+112=14．
【解析】(I)根据全等三角形得出PO⊥OB，结合PO⊥AD即可得出PO⊥平面ABCD，故而平面PAD丄平面ABCD；
(II)将多面体分成三棱锥B−PBD和三棱锥F−PBD计算体积．
本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由4Sn=an2+2an+1(n∈N*)，n=1时，4a1=a12+2a1+1，解得a1=1．
n≥2时，4Sn−1=an−12+2an−1+1，相减可得：4an=(an+1)2−(an−1+1)2，化为：(an+an−1)(an−an−1−2)=0，
又an>0，∴an−an−1−2=0，即an−an−1=2，
∴数列{an}是等差数列，公差为2．
∴an=1+2(n−1)=2n−1．
b1=a1=1，∵2b2，b4，3b3成等差数列．
∴2b4=2b2+3b3.∴2b2q2=2b2+3b2q，化为：2q2−3q−2=0，q>1，解得q=2．
∴bn=2n−1．
(2)证明：cn=anbn=2n−12n−1．
{cn}的前项和为Tn=1+32+522+…+2n−12n−1，
12Tn=12+322+…+2n−32n−1+2n−12n，
∴12Tn=1+2(12+122+…+12n−1)−2n−12n=1+2×12(1−12n−1)1−12−2n−12n，
∴Tn=6−2n+32n−1<6．
【解析】(1)由4Sn=an2+2an+1(n∈N*)，n=1时，4a1=a12+2a1+1，解得a1=1．
n≥2时，4Sn−1=an−12+2an−1+1，相减可得：(an+an−1)(an−an−1−2)=0，又an>0，可得an−an−1−2=0，利用等差数列的通项公式可得an.b1=a1=1，2b2，b4，3b3成等差数列．可得2b2q2=2b2+3b2q，化为：2q2−3q−2=0，q>1，解得q；
(2)cn=anbn=2n−12n−1.利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．
本题考查了错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)椭圆的离心率为 32，即有ca= 32，
令x=−c，则y=±b 1−c2a2=±b2a，即有2b2a=1，
又a2−b2=c2，解得，a=2，b=1．
则椭圆E：x24+y2=1；
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
则椭圆的极坐标方程为ρ2(cs2θ+4sin2θ)=4，
设P(ρ1,θ)，Q(ρ2,θ+π2)，(0<θ<π2)，
当P，Q运动时，假设存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切．
则设定圆O的半径为r，则在三角形OPQ中，
12r|PQ|=12|OP|⋅|OQ|，
即有r ρ12+ρ22=ρ1ρ2，
即有r2⋅(4cs2θ+4sin2θ+4sin2θ+4cs2θ)=4cs2θ+4sin2θ⋅4sin2θ+4cs2θ，
化简得，4r2⋅5=16，解得，r2=45．
故当P，Q运动时，存在定圆O：x2+y2=45，使得直线PQ都与定圆O相切．
【解析】(1)运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于x轴的弦长，以及a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到椭圆方程；
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．则椭圆的极坐标方程为ρ2(cs2θ+4sin2θ)=4，设P(ρ1,θ)，Q(ρ2,θ+π2)，(0<θ<π2)，当P，Q运动时，假设存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切．则设定圆O的半径为r，则在三角形OPQ中，运用面积相等即有12r|PQ|=12|OP|⋅|OQ|，化简整理，即可解得r．
本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆的极坐标方程及运用，考查化简和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
∵f′(x)=1a(ax−2x)=a−2x2ax，
①当a<0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值，
②当a>0时，令f′(x)=0得：x= a2，
列表：
∴f(x)有极大值f( a2)=1a−12+12lna2，无极小值．
(2)g(x)=e1−x−1x=x−ex−1xex−1，
令h(x)=x−ex−1，则h′(x)=1−ex−1，x>1时，h′(x)<0，h(x)在[1,+∞)上单调递减，
∴当x>1时，h(x)∴要使f(x)1成立，必须f(x)<0对x>1成立，
①当a<0时，f(x)在(1,+∞)上单调递增，f(x)>f(1)=0，所以当f(x)1)成立，必有a>0，
②当a>2时， a2>1，由(1)可知f( a2)>f(1)=0，从而f(x)1不恒成立，
③当0m′(x)=1x−2xa+e1−x−1x2≤1x−1+1x−1x2=−x2−2x+1x2=−(x−1)2x2≤0，
∴m(x)在[1,+∞)上是减函数，∴x>1时，m(x)即恒有有f(x)∴综上所求a的取值范围为(0,2]．
【解析】(1)先求函数f(x)的定义域，再对a分情况讨论，得出函数f(x)的极值情况，
(2)令h(x)=x−ex−1，求导得出h(x)的单调性，利用h(x)的单调性得出g(x)<0，再结合f(x)的单调性和极值情况分情况讨论要使f(x)1恒成立需满足的条件，从而所求a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，做题时注意函数的定义域和构造函数思想的运用，是基础题．
22.【答案】解：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，
所以直线l的普通方程为y= 3x− 3，
因为ρ=4cs(θ−π3)，即ρ=2csθ+2 3sinθ，
所以ρ2=2ρcsθ+2 3ρsinθ，得x2+y2=2x+2 3y，
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2x−2 3y=0；
(2)因为点P的极坐标为( 3,3π2)，所以点P的直角坐标为(0,− 3)，
所以点P在直线l上，
将直线l的参数方程(t为参数)，代入x2+y2−2x−2 3y=0，化简得t2−7t+9=0，
设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=7，t1t2=9，故t1>0，t2>0，
所以|PA|=|t1|=t1，|PB|=|t2|=t2，
所以1|PA|+1|PB|=1t1+1t2=t1+t2t1t2=79．
【解析】(1)利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；
(2)将点P的极坐标化为直角坐标判断得P在直线l上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l代入曲线C的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)由f(x)≤6，得|x+3|+|x−1|≤6，
当x<−3时，|x+3|+|x−1|≤6，即−x−3+1−x≤6，解得−4≤x<−3；
当−3≤x≤1时，|x+3|+|x−1|≤6，即x+3+1−x≤6，即4≤6，恒成立；
当x>1时，|x+3|+|x−1|≤6，即x+3+x−1≤6，解得1综上得f(x)≤6的解集为[−4,2]．
(2)证明：由f(x)=|x+3|+|x−1|≥|(x+3)−(x−1)|=4，得f(x)min=4，即c=4．
因为2m+n=c，所以2m+n=4，
令向量a=( 2m, n)，b=(1 2,1)．
由a⋅b≤|a|⋅|b|，得 2m⋅1 2+ n⋅1≤ 2m+n⋅ 12+1，
即 m+ n≤ 4⋅ 32= 6，当且仅当 2m= n 2，即m=23，n=83时，取到等号．
从而 m+ n≤ 6成立．
【解析】(1)由f(x)≤6，得|x+3|+|x−1|≤6，对x分类讨论即可得出．
(2)由f(x)=|x+3|+|x−1|≥|(x+3)−(x−1)|=4，得f(x)min=4，即c=4.可得2m+n=4，令向量a=( 2m, n)，b=(1 2,1).利用柯西不等式的性质即可证明．
本题考查了绝对值不等式的解法、柯西不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．喜欢统计课程
不喜欢统计课程
合计
男生
20
10
30
女生
10
20
30
合计
30
30
60
P(K2≥k)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
(0, a2)
a2
( a2,+∞)
f′(x)
+
0
−
f(x)
递增
极大值
递减