2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集的定义即可求.
【详解】
故选：C.
2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.
【详解】依题意可得，分别是关于的一元二次方程的两根，根据韦达定理可得：.
故选：A.
3．下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论.
【详解】函数为非奇非偶函数；函数为非奇非偶函数；
函数为奇函数，函数为偶函数.
故选：D.
4．已知则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值0，1进得判断即可．
【详解】因为，，，所以.
故选：A．
5．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可.
【详解】由得，
因为若，则，反之不成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义得，再运用二倍角公式解决即可.
【详解】由题得，角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，
所以,
所以，
所以，
故选：A
7．2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（ ）
A．吨B．吨C．吨D．吨
【答案】B
【分析】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.
【详解】因为当时，，
所以，
由，
得，
所以，
解得（吨），
即至少约为吨.
故选：B
8．已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可
【详解】令，即,解得,
所以，
当时，由在定义域内单调递减可得，
当时，由二次函数的性质可得,
综上，函数的最大值为，
故选：D
二、多选题
9．下列选项中其值等于的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：BD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．若正数满足，则
C．函数的最小正周期是
D．半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于
【答案】BCD
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；利用基本不等式可判断B；利用三角函数的周期公式可判断C；利用扇形的弧长公式可判断D.
【详解】命题“”的否定是“”，故A错误；
，当且仅当时，等号成立，故B正确；
函数的最小正周期，故C正确；
半径为1，圆心角为的扇形的弧长为，故D正确.
故选：BCD.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称
B．函数在区间上单调递增
C．
D．
【答案】BC
【分析】由函数的定义可判断A；由函数与都是上的增函数可判断B；计算等式的两边进行验证可判断C、D.
【详解】由函数的定义可知，函数的图象不关于轴对称，故A错误；
因为函数与都是上的增函数，则是上的增函数，所以函数在区间上单调递增，故B正确；
，故C正确；
，，故D错误．
故选：BC.
12．已知正实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】令，得出．选项A，根据换底公式计算即可判断；选项B，结合作差法和换底公式即可判断；选项C、D，利用换底公式进行化简，再结合基本不等式即可判断．
【详解】令，则，可得：，，．
对于A，，故A正确；
对于B，因为，故，
，即；
，即，故B错误．
对于C，，，，
因为，（因为所以等号不成立），
所以，则，即，故C错误；
对于D，，，，
因为，（因为所以等号不成立），
所以，则，即，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．若幂函数的图象经过点，则的值等于_________.
【答案】
【解析】设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可求解.
【详解】设，函数图像经过，
可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
14．__________.
【答案】
【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.
【详解】解：.
故答案为：3.
15．若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则__________.（写出满足这些条件的一个函数即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由条件（1）可判断函数在上单调递增；条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且），即可得解.
【详解】由条件（1）对于任意实数，当时，都有，可得函数在上单调递增，
条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且），
故可选一个单调递增的指数函数：．
故答案为：（答案不唯一）．
16．已知，函数，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据分段函数，得函数图象，求得是所有可能的根，结合图象可的方程恰有2个实数解时的取值范围.
【详解】解：函数，函数图象如下图所示：
方程，若，即；若，得，；
结合图象可知：
当时，方程仅有一个实数解；
当时，方程恰有两个实数解，；
当时，方程恰有三个实数解，，；
当时，方程恰有两个实数解，；
综上，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由交集的定义求解即可；
（2）根据题意列出不等式组求解．
【详解】（1）当时，
因为
所以.
（2），
恒成立，，
，解得：，
故实数的取值范围为.
18．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数，求的零点.
【答案】(1)
(2)零点为.
【分析】（1）根据函数有意义，建立不等式组，求解即可；
（2）令，得，解方程即可．
【详解】（1）由题意得，解得.
所以的定义域为.
（2）令
，解得，
故的零点为.
19．（1）已知，求的值；
（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
已知为第四象限的角，__________.求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题意得，所求式子弦化切代入计算即可；
（2）选择①：由同角的三角函数关系式求得，然后利用两角差的正弦计算即可；选择②：利用结合角的范围求得，然后利用两角差的正弦计算即可.
【详解】（1）由，得，
（2）选择①：，即，
为第四象限的角，，
又，
，
.
选择②：，，
，
为第四象限的角，，
，
.
20．为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务，推动“一极六区”建设走深走实，郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略，加大科技创新力度，以科技创新催生高质量发展．某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中，计划该技术全年需投入固定成本600万元，每生产百件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品销售单价为万元/件，且每年生产的产品当年能全部销完．
(1)求全年的利润万元关于年产量百件的函数关系式；
(2)试求该企业全年产量为多少百件时，所获利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．
【分析】（1）根据题意分为，两种情况，求得函数解析式；
（2）结合二次函数的性质和基本不等式，分段讨论得出最大值．
【详解】（1）（1）当时，
当时，
则
（2）（2）若，，
则当时，（万元）
若（万元），
当且仅当时“＝”成立．
则当时，（万元）
万元万元，
故当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．
21．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案；
（2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.
【详解】（1）由图像可知，周期，
，
因为点在函数图像上，
所以，即，
又，
，
则，即，
因为点在函数图像上，所以，即，
故函数的解析式为.
（2）由题意可得，
设
，当时，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
在区间上单调递减，
令，解得，
因为，所以，则，
故，解得，
所以最大值为.
22．已知函数为奇函数.
(1)利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；
(2)若正数满足，求的最小值；
(3)解不等式.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用函数的奇偶性得出，然后利用函数单调性的定义证明即可；
（2）由已知条件求得，即，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可；
（3）令，易知是奇函数，且在上单调递增，又，不等式，从而，求解即可．
【详解】（1）函数的定义域是，由题意得，解得：，则，
，为奇函数，故，
任取，且，
则，
因为，且，所以，
所以，故，
所以函数在上单调递增；
（2）因为为奇函数，
所以，又函数在上单调递增，
所以正实数满足，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
（3）令，
因为和都是奇函数，且在上单调递增，所以是奇函数，且在上单调递增.
又，不等式.
从而，解得或.
故不等式的解集为.