2023-2024学年湖南省郴州市明星高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年湖南省郴州市明星高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃x≥0，2x+x−a≤0”的否定是( )
A. ∀x≤0，2x+x−a≤0B. ∀x≥0，2x+x−a>0
C. ∃x≤0，2x+x−a>0D. ∃x≥0，2x+x−a>0
2.已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2A. (2,7]B. (2,10]C. [3,7]D. [3,10)
3.已知x>0，y>0，且2x+y=xy，则x+2y的最小值为( )
A. 8B. 8 2C. 9D. 9 2
4.函数f(x)=(12)x−x3−2在区间(−1,0)内的零点个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.“2x2−3x−2<0”的一个必要不充分条件可以是( )
A. x>−1B. 06.已知函数f(x)=lg32−x2+x，若f(a)+f(a−1)>0，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,12)B. (−1,12)C. (−2,2)D. (−1,2)
7.函数f(x)=csx−cs3x的图像大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)的定义域是R，函数f(x+1)的图象的对称中心是(−1,0)，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0成立，f(1)=1，则不等式f(x)−x>0的解集为( )
A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (−1,1)
C. (−∞,−1)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数通过变换得到的解析式与函数y=cs(2x+π5)解析式相同的有( )
A. 函数y=cs(x+π5)横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变
B. 函数y=sin(2x+π10)向左平移3π10个单位长度
C. 函数y=cs(3x+π10)横坐标变为原来的32倍，纵坐标不变，再向左平移π10个单位长度
D. 函数y=cs(3x+π10)向左平移π10个单位长度，再横坐标变为原来32倍，纵坐标不变
10.下列函数中，既是偶函数又在区间(−∞,0)上是增函数的是( )
A. y=x−23B. y=x3C. y=3−|x|D. y=lnx2+1
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. (π6,0)是y=f(x)图像的一个对称中心
C. f(x)在区间[π2,11π12]上单调递增
D. 把y=f(x)图像上所有点向右平移π12个单位长度后得到函数g(x)=2cs2x的图像
12.已知5a=3，8b=5，则( )
A. a2C. a+1a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.半径为2cm，圆心角为2π3的弧长为______cm．
14.已知常数a>0，a≠1，假设无论a为何值，函数y=lga(x−2)+1的图像恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______．
15.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过______小时才能驾驶.(注：不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时.)
参考数据：取lg0.2=−0.699，lg0.3=−0.523，lg0.6=−0.229，lg0.7=−0.155．
16.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(45,35)．
(1)求sin(π+α)+2sin(π2−α)2cs(π−α)的值；
(2)求cs2α的值．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|a(1)当a=3时，求A∪B；
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x−a3x+1为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断f(x)在R上的单调性(不必证明)；
(3)解关于t的不等式f(t2−2t)+f(2t2−1)<0．
20.(本小题12分)
某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合的销售收入为G(x)万元，G(x)=240−3x,020．
(1)求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入−成本)
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2csxcs(x−π6)− 3sin2x+sinxcsx+1．
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)将f(x)的函数图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)是偶函数，求φ的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg14(−1+2ax)，其中a>0且a≠1．
(1)当a=2时，求函数定义域；
(2)设函数g(x)=f(x)+2xlg14a，试求函数y=g(x)的零点；
(3)任取x1，x2∈[t,t+2]，若不等式|f(x1)−f(x2)|≤1对任意的t∈[0,2]恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为命题“∃x≥0，2x+x−a≤0”的否定是“∀x≥0，2x+x−a>0”．
故选：B．
利用含有量词的命题否定方法可得答案．
本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：A∩B={x|3≤x≤7}∩{x|2故选：C．
由交集运算的定义即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：x>0，y>0，且2x+y=xy，可得：1x+2y=1，
则x+2y=(x+2y)(1x+2y=)=5+2xy+2yx≥5+2 2xy⋅2yx=5+4=9，当且仅当x=y=3，取得最小值9．
故选：C．
由条件可得1x+2y=1，x+2y=(x+2y)(1x+2y=)=5+2xy+2yx，运用基本不等式即可得到所求最小值．
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查变形的技巧和运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=(12)x−x3−2在区间(−1,0)内连续且单调递减，
又f(0)=−2<0，f(−1)=1>0，
根据零点判定定理可得，f(x)在(−1,0)内有1个零点．
故选：B．
结合零点判定定理即可判断函数的零点个数．
本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．
5.【答案】A
【解析】解：由2x2−3x−2<0，得(2x+1)(x−2)<0，解得−12∵选项是“−12∴(−12,2)是正确选项所对应集合的真子集，
故选：A．
由2x2−3x−2<0，得(2x+1)(x−2)<0，即−12本题考查充分、必要条件，涉及一元二次不等式的求解，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，难度中等．
根据对数函数的性质分别判断的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
【解答】
解：由2−x2+x>0得−2f(−x)+f(x)=lg32+x2−x+lg32−x2+x=lg3(2+x2−x⋅2−x2+x)=lg31=0，
即f(−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，
f(x)=lg3⋅2−x2+x=lg3(4x+2−1)，
则f(x)在(−2,2)上单调递减，
则由f(a)+f(a−1)>0得f(a−1)>−f(a)=f(−a)，
则−2即实数a的取值范围是(−1,12)，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：f(x)=csx−cs3x，f(−x)=cs(−x)−cs3(−x)=csx−cs3x=f(x)，所以f(x)是偶函数，故排除选项AD；
当x=5π6时，f(5π6)=−12−(−12)3=−38<0，故排除选项C．
故选：B．
先判断函数的奇偶性，再计算f(5π6)的大小，进行排除即可求得答案．
本题主要考查函数图象的判断，排除法的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为f(x+1)是f(x)向左平移1个单位长度得到，且函数f(x+1)的图象的对称中心是(−1,0)，
所以f(x)的图象的对称中心是(0,0)，故f(x)是R上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)=−1，
对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0成立，
所以x2f(x1)−x1f(x2)x1x2(x1−x2)=f(x1)x1−f(x2)x2x1−x2>0，
令g(x)=f(x)x，所以根据单调性的定义可得g(x)在(0,+∞)上单调递增，
由f(x)是R上的奇函数可得g(x)是(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数
所以g(x)在(−∞,0)上单调递减，
当x=0时，不等式f(x)−x>0得到0−0>0，矛盾；
当x>0时，f(x)−x>0转化成f(x)x>1=f(1)1即g(x)>g(1)，
所以x>1；
当x<0时，f(x)−x>0转化成f(x)x<1=f(−1)−1，g(x)综上所述，不等式f(x)−x>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)．
故选：D．
利用函数f(x+1)的图象的对称中心是(−1,0)可得f(x)是R上的奇函数，由x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0可得f(x1)x1−f(x2)x2x1−x2>0，故可得g(x)=f(x)x在(0,+∞)上单调递增，然后分x=0，x>0和x<0三种情况进行求范围即可．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A：数y=cs(x+π5)横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cs(2x+π5)的解析式，故A正确；
对于B：函数y=sin(2x+π10)向左平移3π10个单位长度得到y=sin(2x+6π10+π10)=cs(2x+π5)的解析式，故B正确；
对于C：函数y=cs(3x+π10)横坐标变为原来的32倍，纵坐标不变得到y=cs(2x+π10)，再向左平移π10个单位，得到y=cs(2x+3π10)的解析式，故C错误；
对于D：函数y=cs(3x+π10)向左平移π10个单位长度得到y=cs(3x+2π5)，再横坐标变为原来32倍，纵坐标不变得到y=cs(2x+2π5)的解析式，故D错误．
故选：AB．
直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：y=f(x)=x−23=13x2，定义域为{x|x≠0}，
且f(−x)=13(−x)2=13x2=f(x)，即y=x−23为偶函数，
函数在(0,+∞)上单调递减，所以函数在(−∞,0)上单调递增，故A正确；
对于B：y=x3为幂函数，其定义域为R，y=x3奇函数，且在定义域上单调递增，故B错误；
对于C：y=f(x)=3−|x|，其定义域为R，有f(−x)=3−|−x|=3−|x|=f(x)，即函数y=3−|x|为偶函数，
又f(x)=3−|x|=3−x,x≥03x,x<0，故函数y=3−|x|在(−∞,0)上单调递增，故C正确；
对于D：y=f(x)=lnx2+1定义域为{x|x≠0}，
且f(−x)=ln(−x)2+1=lnx2+1=f(x)，故y=lnx2+1为偶函数，
又y=x2与y=lnx在(0,+∞)上单调递增，则y=lnx2+1在(0,+∞)上单调递增，
所以y=lnx2+1在(−∞,0)上单调递减，故D错误．
故选：AC．
根据题意，由基本初等函数的单调性、奇偶性分析选项，综合可得答案．
本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：由题意得A=2，T=43(5π12+π3)=π，A正确；
所以ω=2，f(x)=2sin(2x+φ)，
因为f(5π12)=2sin(5π6+φ)=2，|φ|<π2，
所以φ=−π3，f(x)=2sin(2x−π3)，
显然函数的一个对称中心为(π6,0)，B正确；
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
故函数在间[π2,11π12]上不单调，C错误；
把y=f(x)图像上所有点向右平移π12个单位长度后得到函数g(x)=2sin(2x−π6−π3)=−2cs2x的图像，D错误．
故选：AB．
根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质，以及指数式与对数式的互化，同时考查了作差法比较大小，属于基础题．
先将指数式转化成对数式表示出a、b，然后利用作差法比较大小以及不等式的性质进行判定．
【解答】
解：∵5a=3，8b=5，
∴a=lg53，b=lg85，
则a−b=lg3lg5−lg5lg8≈−0.6993×0.3010≈−0.09<0，故a01，1b>1，所以1a+1b>2，选项B正确；
因为a0，1ab>1，此时a+1a−(b+1b)=(a−b)+b−aab=(b−a)(1ab−1)>0，
所以a+1a>b+1b，故选项C不正确；
因为0故选：ABD．
13.【答案】4π3
【解析】解：半径为2cm，圆心角为2π3的弧长为2×2π3=4π3cm．
故答案为：4π3．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
14.【答案】(3,1)
【解析】解：因为y=lgax的图象必过点(1,0)，即lga1=0，
y=lga(x−2)+1中，当x−2=1，x=3时，y=1，
从而y=lga(x−2)+1图象必过定点(3,1)．
故答案为：(3,1)．
利用对数函数性质，令x−2=1，则函数y=lga(x−2)+1的取值与a无关，可得恒过定点．
本题考查函数恒过定点问题，属于基础题．
15.【答案】5
【解析】解：∵1小时后血液中酒精含量为(1−30%)mg/mL，
∴x小时后血液中酒精含量为(1−30%)xmg/mL，
∵100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，
∴(1−30%)x<0.2，两边取对数可得，lg0.7x∴x>lg0.2lg0.7≈4.5，
故至少经过5个小时才能驾驶汽车．
故答案为：5．
根据题意先求出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出不等式，再结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
16.【答案】[83,163)
【解析】解：令函数f(x)=2sin(ωx+φ)−1=0⇒sin(ωx+φ)=12，
作出y=sinx的图象如下：
当x∈[0,2π]时，sinπ6=sin5π6=12，
函数y=sinx与y=124个相邻交点的横坐标(相邻4个零点)为x1、x2、x3、x4满足：
x2−x1=x4−x3=5π6−π6=2π3，
x3−x1=x4−x2=2π，
所以x3−x2=(x3−x1)−(x2−x1)=2π−2π3=4π3，
即相邻两零点最大距离d1=4π3，
相邻四个零点占区间长度最短为
d2=x4−x1=(x4−x3)+(x3−x1)=2π3+2π=8π3，
x∈[π4,3π4]上时，ωx∈[π4ω,3π4ω]，
区间宽度为[3π4−π4]ω=π2ω，
所以4π3≤π2ω<8π3(π2ω=d1至少有2个零点，π2ω=d2至多有3个零点)，
解得83≤ω<163，所以ω的取值范围是[83,163).
故答案为：[83,163).
令函数f(x)=0得sin(ωx+φ)=12，根据正弦函数y=sinx的图象与性质，得出函数y=sinx相邻零点满足的条件，求出相邻2个零点的最大距离和相邻3个零点占区间长度的最小值，从而可求得ω的取值范围．
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合解题思想，属于难题．
17.【答案】解：(1)∵角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(45,35)，
∴csα=45，tanα=34，
则sin(π+α)+2sin(π2−α)2cs(π−α)=−sinα+2csα−2csα=sinα−2csαcsα=tanα−2=34−2=−54；
(2)cs2α=2cs2α−1=2×(45)2−1=725．
【解析】(1)由任意角的三角函数的定义求得csα与tanα的值，再由三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式求解；
(2)直接利用二倍角的余弦求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．
18.【答案】解：(1)当a=3时，集合A={x|3(2)若A∩B=A，则A⊆B，
因为a2+1−a=(a−12)2+34>0，所以A≠⌀，
由A⊆B，可得a≥1a2+1≤5，解得1≤a≤2，即实数a的取值范围为[1,2]．
【解析】(1)当a=3时，算出集合A，再根据并集的运算法则求出A∪B；
(2)根据题意，可得集合A是集合B的子集，从而列式算出实数a的取值范围．
本题主要考查集合的概念与运算、集合的包含关系及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=3x−a3x+1为奇函数，
∴f(0)=1−a2=0，解得a=1，检验符合题意；
(2)f(x)=3x−13x+1=1−23x+1是R上的增函数，证明如下：
设x1，x2∈R，且x123x2+1，
f(x1)−f(x2)=23x2+1−23x1+1<0，
∴f(x1)∴f(x)是R上的增函数；
(3)∵f(x)是R上的奇函数，且是R上的增函数，
∴由f(t2−2t)+f(2t2−1)<0得，f(t2−2t)∴t2−2t<1−2t2，解得−13∴原不等式的解集为(−13,1)．
【解析】(1)根据f(x)是R上的奇函数可得出f(0)=0，求出a=1；
(2)分离常数可看出f(x)是R上的增函数，根据增函数的定义证明即可；
(3)根据f(x)的单调性和奇偶性可得t2−2t<1−2t2，解之即可．
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，考查利用增函数的定义证明函数单调性的方法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当0当x>20时，s=xG(x)−(60x+50)=−10x+300(x−2)x+1−50，
所以函数解析式为s=−3x2+180x−50,020．
(2)当0又因为函数s在(0,20]上单调递增，
所以当x=20时，s取最大值，smax=s(20)=2350；
当x>20时，s=−10x+3000(x−2)x+1−50=−10x−9000x+1+2950=−10(x+1)−9000x+1+2960≤−2 9000x+1⋅10(x+1)+2960=2360，
(当且仅当9000x+1=10(x+1)，即x=29时等号成立)
因为2360>2350，所以x=29时，s的最大值为2360万元．
所以当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润2360万元．
【解析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分020两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解；
(2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意：f(x)=2csxcs(x−π6)− 3sin2x+sinxcsx+1
= 3cs2x+sinxcsx− 3sin2x+sinxcsx+1
= 3cs2x+sin2x+1=2sin(2x+π3)+1，
则f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
f(x)的最大值为3．
(2)由题意可知：g(x)=2sin[2(x+φ)+π3]+1=2sin(2x+π3+2φ)+1，
因为g(x)为偶函数，所以π3+2φ=kπ+π2(k∈Z)，
∴φ=kπ2+π12(k∈Z)，
又因为φ>0，
所以当k=0时，φ取得最小值为π12．
【解析】本题主要考查三角函数的性质以及图象变换，三角恒等变换，属于基础题．
(1)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，得出结论．
(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用三角函数的奇偶性，求φ的最小值．
22.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=lg14(−1+22x)，
由−1+22x>0，得x<1，
故函数定义域(−∞,1)；
(2)g(x)=lg14(−1+2ax)+2xlg14a=lg14(−a2x+2ax)，
由g(x)=0，得lg14(−a2x+2ax)=lg141，
∴−a2x+2ax=1，
解得ax=1，即x=0，故函数y=g(x)的零点为0；
(3)(3)问题转化为：f(x)max−f(x)min≤1在x∈[t,t+2]时对任意的t∈[0,2]恒成立，
当a>1时，可知函数f(x)=lg14(−1+2ax)单调递增，
故f(t+2)≤f(t)+1在t∈[0,2]恒成立，
即lg14(−1+2at+2)≤lg14[14(−1+2at)]在t∈[0,2]恒成立，即−1+2at+2≥14(−1+2at)>0在t∈[0,2]恒成立⇔3at+2+2a2−8≤0在t∈[0,2]恒成立，
∵y=3at+2+2a2−8在[0,2]上单调递增，
∴当t=2时，3a4+2a2−8≤0，解得1当0解得 105≤a<1，
综上，a∈[ 105,1)∪(1,2 33].
【解析】(1)当a=2时，令f(x)=lg14(−1+22x)的真数大于0，可求得其定义域；
(2)化简得g(x)=lg14(−a2x+2ax)，由−a2x+2ax=1，可求得函数y=g(x)的零点；
(3)问题转化为：∀x∈[t,t+2]，f(x)max−f(x)min≤1对任意的t∈[0,2]恒成立，分a>1与0本题考查函数恒成立问题，考查函数的定义域及零点个数的确定，考查复合函数的单调性，突出等价转化思想与化简运算能力的考查，属于难题．

2023-2024学年湖南省郴州市明星高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

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