6.4.2数列与不等式（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第六章数列
6.4.2数列与不等式（针对练习）
针对练习
针对练习一直接求和证明不等式
1．已知数列的前n项和为，，，其中.
(1)记，求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.

【分析】（1）应用的关系，结合构造法可得，根据已知条件及等比数列的定义即可证结论.
（2）由（1）得，再应用错位相减法求，即可证结论.
(1)
证明：对任意的，，，
时，，解得，
时，因为，，两式相减可得：，即有，
∴，又，则，
因为，，所以，
对任意的，，所以，
因此，是首项和公比均为3的等比数列
(2)
由（1）得：，则，
，，
两式相减得：，
化简可得：，又，
∴.
2．已知数列的前n项和为，，，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析

【分析】根据题意变形为，得到，进而根据等比数列的定义，证得数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，求得数列的通项；
（2）由，得到，结合裂项法求得，结合函数的单调性，即可求解.
(1)
解：当时，由可变形为，
即，即，所以，
又因为，，可得，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，所以数列的通项公式为.
(2)
解：由，可得，
所以
，
因为，所以，即，
又因为，单调递增，
所以，所以.
3．已知数列中，，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）当时计算，当时，结合已知条件可得，由等差数列的定义可得是公差为的等差数列，由等差数列的通项公式可得的通项公式；
（2）求出的通项公式，由裂项求和可得，再由不等式放缩即可求证.
(1)
当时，，
当时，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列通项公式为.
(2)
因为，
所以
，
因为，
所以.
4．设数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析

【分析】（1）对变形得到，故可以得到是公比为2，首项为4的等比数列，进而利用累加法求出，进而得到数列的通项公式；（2）在第一问的基础上，得到，利用错位相减法求和，再利用，证明，从而得到证明.
(1)
当时，，即，且，所以当时，是公比为2，首项为4的等比数列，故，所以当时，

所以当时，，又因为，所以.
(2)
，所以①；②；
①－②得：，所以，显然，又，所以，综上：.
5．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）设数列的公差为，利用等比中项性质和等差数列通项公式，即可得答案；
（2）由（1）得，再利用错位相减求和得到，利用数列的单调性，即可得答案；
【详解】解：设数列的公差为，
由已知得，∴．
（2）证明：因为，所以，
；
两式相减得
，
∴，因为，所以，
，
所以，
又，，因为，
故最小，综上所述．

针对练习二先放缩再求和证明不等式
6．已知数列满足，且,是的前项和.
(1)求；
(2)若为数列的前项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】(1)先用累加法求通项公式，再由裂项相消法可得；
(2)由(1)可得的通项公式为，放缩得，再由裂项相消法可证.
(1)
∵，
∴，，…
由上述个等式相加得
∴，
∴，
.
(2)
令，
∴，
又因为，且
∴，
综上，，得证.
7．已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列，求出、的表达式，即可得出数列的通项公式；
（2）利用放缩法可得出，结合等比数列的求和公式可证得原不等式成立.
(1)
解：由得．
所以，当时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，即．
当时，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
所以．
(2)
证明：由（1）知，
所以.
故原不等式成立.
8．已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)证明不等式32-1n+1