6.4.2数列与不等式（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第六章 数列
6.4.2数列与不等式（针对练习）
针对练习
针对练习一 直接求和证明不等式
1．已知数列的前n项和为，，，其中.
(1)记，求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.

【分析】（1）应用的关系，结合构造法可得，根据已知条件及等比数列的定义即可证结论.
（2）由（1）得，再应用错位相减法求，即可证结论.
(1)
证明：对任意的，，，
时，，解得，
时，因为，，两式相减可得：，即有，
∴，又，则，
因为，，所以，
对任意的，，所以，
因此，是首项和公比均为3的等比数列
(2)
由（1）得：，则，
，，
两式相减得：，
化简可得：，又，
∴.
2．已知数列的前n项和为，，，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析

【分析】根据题意变形为，得到，进而根据等比数列的定义，证得数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，求得数列的通项；
（2）由，得到，结合裂项法求得，结合函数的单调性，即可求解.
(1)
解：当时，由可变形为，
即，即，所以，
又因为，，可得，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，所以数列的通项公式为.
(2)
解：由，可得，
所以
，
因为，所以，即，
又因为，单调递增，
所以，所以.
3．已知数列中，，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）当时计算，当时，结合已知条件可得，由等差数列的定义可得是公差为的等差数列，由等差数列的通项公式可得的通项公式；
（2）求出的通项公式，由裂项求和可得，再由不等式放缩即可求证.
(1)
当时，，
当时，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列通项公式为.
(2)
因为，
所以
，
因为，
所以.
4．设数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析

【分析】（1）对变形得到，故可以得到是公比为2，首项为4的等比数列，进而利用累加法求出，进而得到数列的通项公式；（2）在第一问的基础上，得到，利用错位相减法求和，再利用，证明，从而得到证明.
(1)
当时，，即，且，所以当时，是公比为2，首项为4的等比数列，故，所以当时，

所以当时，，又因为，所以.
(2)
，所以①；②；
①－②得：，所以，显然，又，所以，综上：.
5．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）设数列的公差为，利用等比中项性质和等差数列通项公式，即可得答案；
（2）由（1）得，再利用错位相减求和得到，利用数列的单调性，即可得答案；
【详解】解：设数列的公差为，
由已知得，∴．
（2）证明：因为，所以，
；
两式相减得
，
∴，因为，所以，
，
所以，
又，，因为，
故最小，综上所述．

针对练习二 先放缩再求和证明不等式
6．已知数列满足，且,是的前项和.
(1)求；
(2)若为数列的前项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】(1)先用累加法求通项公式，再由裂项相消法可得；
(2)由(1)可得的通项公式为，放缩得，再由裂项相消法可证.
(1)
∵，
∴，，…
由上述个等式相加得
∴，
∴，
.
(2)
令，
∴，
又因为，且
∴，
综上，，得证.
7．已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）分析可知数列是首项为，公比为的等比数列， 数列是首项为，公比为的等比数列，求出、的表达式，即可得出数列的通项公式；
（2）利用放缩法可得出，结合等比数列的求和公式可证得原不等式成立.
(1)
解：由得．             
所以，当时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，            
故，即．       
当时，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
所以．
(2)
证明：由（1）知，        
所以.
故原不等式成立.
8．已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)证明不等式32-1n+1<1S1+1S2+1S3+⋯+1Sn<2-1n(n⩾2且
【答案】(1)（）
(2)证明见解析

【分析】（1）根据，，成等比数列，可得到，从而可求出等差数列的公差，进而求得通项公式和前项和；
（2）由（1）写出的表达式，可利用放缩法得到，进而利用裂项求和的方法证明结论.
(1)
解：设数列公差为，       
因为，，成等比数列.
所以，即,
得,又，所以.
故 （）,
(2)
证明：由（1）得   ，
因为当时，.，
即.，
所以 ,
即.
9．已知数列（）是公比为的等比数列，其中，.
（1）证明数列是等差数列；
（2）求数列的前项和；
（3）记数列，（），证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的定义结合递推公式即可证出结论；
（2）错位相减法求数列的前项和；
（3）利用放缩法结合等比数列的前项和公式即可证出结论.
【详解】（1）由已知得，
两端同除得：，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
（2）由（1）知，
所以，，
则，相减得：，
所以，即.
（3），（）


又，（），
当时，

所以原不等式得证.
10．已知数列{}满足a₁=1，(n≥2，n∈)
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用和与项的关系，作差消和得到项的递推关系，进而根据等比数列的定义证明，并求得通项公式；
（2）利用放缩法转化成等比数列求和问题，进而证明.
【详解】（1）由题意得，
，
两式相减得，
化简得，
，
，，
∴，
故是等比数列，公比为3，
，；
（2）由（1）知，，
，
当时，恒成立，∴恒成立，
.

针对练习三 数列的恒成立问题
11．已知数列中，，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.
(2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.
(1)
由，可得，即
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
(2)
不等式对于恒成立
即对于恒成立
即对于恒成立
设，
由
当时，，即
即
当时，，即
即
所以最大，
所以，故的最小值为
12．已知数列 ​， 前​项和为​， 满足​.
(1)求数列 ​的通项公式;
(2)若 ​， 求数列​的前​项和​;
(3)对任意 ​， 使得​恒成立， 求实数​的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】(1)利用前n项和法求通项(要注意讨论)
(2)利用错位相减法求数列前n项和
(3)恒成立问题利用分离参数法进行处理.
(1)
​，
​时有​，
​时有​，
​
​，
​
又 ​， 也符合上式，
故数列 ​是首项为 1 ， 公比为 2 的等比数列，
​
(2)
由（1）知 ​，
​，①
​，②
由①-②有：​
​
​
​
(3)
​​
而当 ​时，​有最大值​，
故 ​的最小值是​.
13．已知数列的前n项和为，且.
(1)证明数列是常数列，并求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若对任意恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)或．

【分析】（1）利用得出递推关系，变形后可证明数列是常数列，由此可求得；
（2）由错位相减法求得，得出的范围后解相应不等式可得的范围．
(1)
，则，
两式相减得，，
即，所以是常数列．
，，，
所以，；
(2)
，
，
易知是递增数列，且，
若对任意恒成立，则，解得或．
14．已知正项数列的前n项和为，且和满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和；
(3)在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数m的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)7

【分析】（1）依题意可得，根据，作差整理得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求出的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得；
（3）利用作差法说明的单调性，即可求出，从而求出参数的取值范围，即可得解；
(1)
解：∵，
∴，①
∴，②
①－②得.
∴，化简.
∵，∴.
∴是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴.
(2)
解：由（1）可得.
∴.
(3)
解：由（2）知，
所以.
∴数列是递增数列，则，
∴，解得，∴整数的最大值是7.
15．已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即得；
（2）利用错位相减法求出，然后分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
(1)
当时，，解得，
当时，由有，两式相减可得，
即是以为首项，以为公比的等比数列，
所以．
(2)
由得，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
由，得，
即恒成立．
当时，，所以；
当时，不等式恒成立；
当时，，所以；
综上，．

针对练习四 数列的能成立问题
16．已知数列中，，前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列1an的前n项和为，求满足不等式的n值．
【答案】（1） ；（2）或.
【分析】（1）根据题意，时得到，结合等比数列定义写出通项公式；
（2）由（1）可得，结合题设有，即可得解.
【详解】（1）由得：当时，
所以，即，故，
又，则，可得， 则，
综上，数列是首项为1，公比为的等比数列，故；
（2）由（1）知：数列1an是首项为1，公比为的等比数列，
所以，又，
所以不等式，即，则或.
17．已知数列的前项和为，；等差数列中，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，最小值为.
【分析】（1）利用与的递推关系得，由题设易知，即是首项为1公比为3的等比数列，写出通项公式，再求等差数列的基本量，写出通项即可.
（2）由（1）得，应用错位相减法求得，结合不等关系求n的范围，即可判断是否存在正整数n并写出其最小值.
【详解】（1）由题设，，得，
又，即，
∴对都成立，则，
∴，又且为等差数列，
∴若公差为 ，则，得，即，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，则，
∴，即，若时，有，
∴且，故存在，的最小值为4.
【点睛】关键点点睛：
（1）利用与求通项时，注意验证是否满足所得关系，进而写出通项公式.
（2）利用错位相减法求前n项和，再由不等式成立求n的范围，进而判断存在性.
18．在数列中，
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）若存在成立，求实数的最大值．
【答案】(Ⅰ)an＝1,      n=12n·3n-2,n≥2；(Ⅱ).
【详解】试题分析：
(Ⅰ)由可得，两式相减整理得到，故数列 为等比数列，求得通项后再验证是否满足即可得到所求．(Ⅱ)由条件可得存在成立，设
，则．然后根据的单调性求出最值即可．
试题解析：
（Ⅰ）∵，①
∴，②
①-②，得
，即
∴ ．
∴数列 是以为首项，3为公比的等比数列．
．
，
又不满足上式．
．
（Ⅱ）∵存在成立，
∴存在成立．
令，则．
由（Ⅰ）可知当，
当，
则，
所以当时，数列是递减数列，
∴当时，．
∴当时，．
∴ ．
故所求实数的最大值为．
点睛：数列中的恒成立或能成立的问题是函数问题在数列中的具体体现，解决此类问题时仍要转化为最值问题处理．解题中通过分离参数在不等式的一端得到关于正整数n的函数，然后通过判断函数的单调性得到函数的最值，从而可求得参数的值或其范围．
19．已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，其中，求；
（3）若存在，使得成立，求出实数的取值范围
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据与之间关系，由题中条件，即可求出结果；
（2）根据题意，得到，再由（1）的结果，根据裂项求和的方法，即可求出结果；
（3）先由题意，得到存在，使得成立，求出 的最小值，即可得出结果.
【详解】（1）因为数列的前n项和为，
当时，，
当时，也符合上式，；
（2），

.
（3）存在，使得成立，
存在，使得成立，即有解，
，
而，当或时取等号，
的取值范围为.
【点睛】本题主要考查由前项和求通项公式，数列的求和问题，以及数列不等式能成立的问题，熟记与之间关系，以及裂项求和的方法求数列的和即可，属于常考题型.
20．已知数列前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）已知已知求，通常用求通项.（2）用裂项相消法求数列的前项和，列出不等式，参变分离得，因为存在，由基本不等式求的最大值即可.
【详解】解：(1) 时， ,
时，，
时，也适合上式，
所以数列的通项公式.
(2) 因为，
所以
因为存在，使得成立，
所以存在，使得成立，
即存在，使成立
又，，
（当且仅当时取等号），
所以.
即实数的取值范围是.
【点睛】本题考查已知求、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属中档题.

针对练习五 数学归纳法
21．已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
【答案】(1);
(2)证明见解析.

【分析】（1）分别将、2、3代入递推式中求，进而总结归纳出的表达式；
（2）应用数学归纳法，首先判断时是否成立，再假设时成立，最后结合已知条件推导出时成立即可.
(1)
时，，则，
时，，则，
时，，则，
猜想.
(2)
由（1）得：时，成立．
假设时，成立，
那么当时，，而，
所以，即，
故时，也成立．
综上，对一切n∈N*，都成立，得证．
22．设正项数列满足，且______．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，并求解下列问题：
（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】若选①，（1）由已知条件可得，，，可得，（2）用数学归纳法证明，当时，利用可求出即可，
若选②，（1）由已知条件求出，从而可猜想得，（2）利用数学归纳法证明时，当时，利用求出即可，
【详解】若选①，
（1）由，，可得，，，
猜想．
（2）下面用数学归纳法证明．
当时，，猜想成立；
假设当时，猜想成立，即；
则当时，，
即当时，猜想也成立，
所以数列的通项公式为．
若选②，
（1）由，可得，因为是正项数列，所以，
由，解得，
由，解得，
猜想．
（2）下面用数学归纳法证明．
当时，，猜想成立；
假设当时猜想成立，即；
则当时，由，可得，
因为是正项数列，所以，得到，
所以，
即当时，猜想也成立，
所以数列的通项公式为．
23．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．
（1）求，，的值，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．
【答案】（1），，，，；（2）证明见解析．
【分析】（1）时，可求出，时，利用可得到关于的递推关系，即可求出，的值，进而猜想出的表达式；
（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.
【详解】（1）当时，，∴，
当时，，∴，
∴，，
猜想，；
（2）下面用数学归纳法证明：
①当时，，，猜想正确；
②假设时，猜想正确，即，
那么当时，
可得，
即时，猜想也成立．
综上可知，对任意的正整数，都成立．
【点睛】本题考查数学猜想和数学归纳法的应用，属于中档题.
24．在数列中，已知，.
（1）计算，，；
（2）根据计算结果猜想出的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
【答案】（1），，；（2），证明见解析.
【分析】（1）利用，分别取可求出，并由此猜想数列的通项公式的表达式；
（2）根据计算结果猜想数列的通项公式的表达式，用数学归纳法证明①当时，，猜想成立；②假设成立，利用，可证得当时猜想也成立，故可得结论.
【详解】（1）∵，
∴，
同理可得：，.
（2）由（1）计算结果猜想，
下面用数学归纳法证明：
①当时，，猜想成立，
②假设当时，猜想成立，即：.
则当时，，
所以，当时，猜想成立.
根据①②可知猜想对任何都成立.
【点睛】本题主要考查了以数列递推式为载体，考查了数列的通项的猜想与证明，解题的关键是利用数学归纳法证明，尤其第二步的证明.属于中档题．
25．用数学归纳法证明：．
【答案】见解析
【分析】利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，假设当时成立，证明当时等式成立即可.
【详解】解：（1）当时，左边=，右边=，等式成立，
（2）假设当时，等式成立，即＋…＋＝，
当时，
＋…＋+



，
即当时等式也成立.，
由（1）（2）可知：等式对任何都成立，
故.