6.4.1数列与不等式（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第六章 数列6.4.1 数列与不等式（题型战法）知识梳理一 关于数列求和的不等式证明对于这类问题我们都需要先求出和的表达式，所以总的来看分两种情况：1.可以直接求和：则先求和再通过和的形式或单调性来证明不等式。2.不能直接求和：则通过放缩，先转换为能求和的形式。关于放缩：①考虑放缩的方向；②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形；③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。二 数列的恒成立与能成立问题1.恒成立问题：分参-背口诀2.能成立问题：分参-背口诀三 数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：归纳奠基→（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.    题型战法题型战法一 直接求和证明不等式典例1．已知数列满足且，且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出即可证明.（1）解：因为，所以，两式相减得，当时，， 又，所以，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以；（2）证明：，所以， 由，得，所以，综上，.变式1-1．等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.(1)求和的值；(2)求=(3)证明: 【答案】(1)；.(2)(3)见解析 【分析】（1）根据等差数列列式求解出与，代入表示，即可求出；（2）由（1）求出，再由裂项相消法求；（3）由（2）知，而，所以，即可证明.(1)∵等差数列中，前三项分别为，，，∴，解得，∴首项，公差．∵，化为：．解得．(2)由（1）可得：，∴，∴．∴(3)因为，而，所以.变式1-2．已知数列中，，（，）．设．(1)求证：数列是等差数列；(2)设，记数列的前项和为．证明，．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）应用作差法，结合等差数列的定义证明结论；（2）由（1）写出的通项公式，再应用裂项相消法求和求，进而证明结论.(1)当时，，所以是等差数列，且首项，公差为1.(2)由（1）可知，，，所以.，得证.变式1-3．设各项均为正数的数列的前项和为，满足，已知等比数列，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）记，数列的前项和．证明：对一切正整数，．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用把题设中的递推关系转化为关于，再利用等差数列的通项公式可求，最后利用等比数列的性质可求等比数列的公比，从而得到.（2）利用错位相减法可求，利用不等式的性质可证明.【详解】（1）因为，故，两式相减得到：，整理得到.因为，故，故是等差数列且公差为2.又即，解得或（舍）.所以.又，故等比数列的公比，所以.故数列，的通项公式分别为，.（2）由（1）得，故，所以，两式相减得到：，化简得到.因为，故.【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.变式1-4．已知数列满足，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）记，是数列前n项的和，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题设递推式可得，根据等比数列的定义，结合已知条件，即可证为等比数列；（2）由（1）有，进而求，利用裂项相消法求，即可证不等式.【详解】（1）由得：，又，∴是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知：，则，∴，∴. 题型战法二 先放缩再求和证明不等式典例2．已知数列中，，数列的前n项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据题意中表达式，令，可求得表达式，两式相减，根据，即可求得数列的通项公式，经检验n=1满足题意，即可得答案；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得，即可进行证明，经检验n=1满足题意，即可得证.【详解】（Ⅰ）由可得，两式相减，所以，又（满足上式），所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，又满足题意，所以对于任意，都有.变式2-1．已知数列的前项和为，当时，.（1）求数列的通项公式；（2）证明:当时， 【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）利用公式当时，进行验证求解即可；（2）对进行常变量分离，然后进行放缩，利用等比数列前项和公式进行证明即可.【详解】（1）解:当时，，当时，满足.综上，当时，.（2）证明:当时，，所以所以综上可得，当时，【点睛】本题考查了已知数列前项和求通项公式，考查了利用放缩法证明数列不等式问题，考查了等比数列前项和公式，考查了数学运算能力.变式2-2．已知数列的前项和为，且满足，(1)求和(2)求证：．【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）利用可得，从而可求及.（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.（1）时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式，所以，（2）当时，，原式成立．当时， 所以．变式2-3．已知数列，，，，，为数列的前n项和，为数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）求证：．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）应用累加法求数列通项即可.（2）利用裂项相消法求.（3）应用放缩法：、，进而求和即可证结论.【详解】（1）由题设，当时， ，又满足上式，所以（2）由（1），，∴.（3）由，则，又，则，综上，得证.变式2-4．已知数列前n项积为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，（2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论（1）因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．（2）因为，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因为，所以． 题型战法三 数列的恒成立问题典例3．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．(1)求数列、的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用等差数列，等比数列代入计算；（2）利用错位相减法可得，讨论n的奇偶结合恒成立问题运算处理．(1)因为数列是等比数列，则可得，解得所以．因为数列是等差数列，且，，则公差，所以．故，(2)由（1）得：，数列的前n项和为①所以②由①-②得：，所以．不等式恒成立，化为成立，令且为递增数列，即转化为当时，恒成立，取，所以．当时，恒成立，取，，所以．综上可得：实数的取值范围是．变式3-1．已知数列的前项和为，且满足．设，数列的前项和为．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用已知等式以及和的关系得到递推关系式，再根据定义证明数列是等比数列；（2）求出的通项公式及，进而求出，最后根据恒成立求出实数的取值范围．【详解】解：（1）因为，①所以，②②-①得，．所以，又，即．在①中，令得，，又，所以．所以，即．所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）可得，，所以，所以时，．当时，适合上式，所以．所以，所以．令，得，即恒成立．令，则．当时，，所以，解得，故实数的取值范围为．【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前项和公式，考查考生的推理论证能力．变式3-2．已知等差数列中，，前12项和.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，记数列的前项和为，若不等式，对所有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）  【分析】（1）根据等差数列中，，前12项和，求出公差，可求数列的通项公式.（2）把数列的通项公式代入，证明数列是等比数列，根据等比数列求和公式求得，求的最大值，从而可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，，，即，，所以数列的通项公式.（2），，，当时，，数列是等比数列，，公比，， 又不等式，对所有恒成立，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的前和项公式、等比数列的前和项公式、数列极限，不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.变式3-3．设数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式．（2）设，是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值．【答案】（1）（2）5【分析】（1）当时，根据求得判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得．（2）根据（1）中求得利用裂项法求得，进而根据，进而根据求得m的范围．判断出m的最大正整数.【详解】（1）依题意，，故， 当时， ①又 ②②―①整理得：，故为等比数列，所以，⑵由⑴知，，， = ，依题意有，解得， 故所求最大正整数的值为5．变式3-4．已知数列的前n项和为，且．（1）求出数列的通项公式；（2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由已知，令可得，又，知数列是等比数列，写出通项公式；（2）已知可求得，当时，，所以数列是递减数列，此时，当时，，又，所以数列中最大的项是，从而即可．试题解析：（1）由已知，令可得，又，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以．（2）有已知可求得，所以，则．考点：1、数列的递推关系；2、等比数列的通项；3、作差比较大小；4、恒成立问题． 题型战法四 数列的能成立问题典例4．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55．(1)求an、Sn；(2)若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n．【答案】(1)an＝4n﹣1，(2)19 【分析】（1）根据基本量求解首项与公差，进而求得an、Sn；（2）裂项相消求和可得，再根据得求解即可(1)设等差数列{an}的公差为d，则，即，解得，故， (2)由（1）得，.故，令有，即，解得，故满足满足的最小正整数为19变式4-1．已知数列的前项和(为常数)，且构成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值.【答案】（1）；（2）11.【分析】（1）由已知得、、，利用等比中项性质，得求b，根据与的关系求通项公式即可.（2）应用裂项求和求，根据数列不等式求的最大值即可.【详解】（1）当时，，由，得，由，得，∴由题设，有：，可得，则，∴当时，，又也满足通项公式，∴的通项公式为.（2）由（1）知：，∴，要使，即，∴，即，，所以的最大值为11.变式4-2．已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据，利用累加法求解；（2）根据存在，成立，由求解.(1)因为，当时，，又满足上式，∴；(2)由（1）知，∴，∵存在，使得成立，∴，即，解得，所以实数的取值范围为.变式4-3．已知数列满足．（1）求数列的前n项和；（2）若存在,使不等式成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由知是等差数列，写出通项公式，再应用裂项相消法求；（2）将问题化为，结合单调性，求t的范围.【详解】（1）由题设有，即是等差数列，又，得，故，则，所以．（2）若存在,使不等式成立，只要．，所以是递增的，对于，，于是只需， 解得或．故满足条件的实数t为或.变式4-4．已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）用基本量法，即用表示已知条件，列出方程组，求出即可求数列的通项公式；（2）用裂项相消法求数列的前项和，列出不等式参变分离得，由基本不等式求的最小值即可.试题解析： （1）设数列的公差为，则即 又因为，所以所以. （2）因为，所以.因为存在，使得成立，所以存在，使得成立， 即存在，使成立. 又，（当且仅当时取等号），所以.即实数的取值范围是.考点：1.等差数列的定义与性质；2.裂项相消法求数列的和；3.基本不等式；4.数列与不等式.【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属中档题；解决数列性质与求和问题，基本量法是最通用的方法，本题在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力. 题型战法五 数学归纳法典例5．设数列满足．(1)求的值并猜测通项公式；(2)证明上述猜想的通项公式．【答案】(1)， ，猜测(2)见解析 【分析】（1）根据递推公式求出，再根据即可得出猜想；（2）利用数学归纳法证明即可.(1)解：由题意得，时，，得，时，，得，故，猜测；(2)证明：当时，，即猜测成立；假设时，猜测成立，即，则时，由，得，所以时也成立，综上可得，成立．变式5-1．设正项数列的首项为4，满足．(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．【答案】(1)，；(2)见解析 【分析】（1）由首项及递推关系式逐次求得，再根据前三项总结规律猜想出数列的通项公式；（2）根据已知条件得到递推关系，利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可.(1)由可得，又，则，，则，猜想；(2)由（1）得，当时，，①当时，猜想显然成立；②假设当时成立，即；当时，，猜想成立，由①②知猜想恒成立，即.变式5-2．已知数列满足，前n项和．(1)求，，的值并猜想的表达式；(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．【答案】(1)，，，；(2)证明见解析. 【分析】（1）用赋值法即可求解，根据根据，，，猜想可得；（2）利用数学归纳法的步骤证明即可.(1)∵，前n项和，∴令，得，∴，令，得，∴．令，得，∴．猜想．(2)用数学归纳法给出证明如下①当时，结论成立；②假设当(，)时，结论成立，即，则当时，，，即，∴，∴，∴当时结论成立．由①②可知，对一切都有成立．变式5-3．已知数列的前项和为，其中且.(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法加以证明.【答案】(1)，，；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据递推关系写出，的值，由所得前3项猜想通项公式即可.（2）应用数学归纳法，首先判断时通项公式是否成立，再假设时通项公式成立，进而利用关系求证是否成立即可.(1)因为且.所以，解得，因为，所以，解得.由，猜想：.(2)①当时，等式成立；②假设当时猜想成立，即那么，当时，由题设，得，，所以，，则.因此，，所以.这就证明了当时命题成立.由①②可知：命题对任何都成立.变式5-4．用数学归纳法证明．【答案】证明见解析【分析】先验证时，等式成立，再验证时的等式成立，最后做出证明【详解】证明：（1）当时，左边，右边，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，则当时，，所以当时等式也成立．由（1）（2），可知对于任意，等式都成立．