2021北京大兴高一（上）期中数学（教师版）

2021北京大兴高一（上）期中

数    学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（4分）已知，则一定成立的是　　

A． B． C． D．

2．（4分）若集合，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

3．（4分）下列函数中是奇函数且定义域为的是　　

A． B． C． D．

4．（4分）函数，，的值域是　　

A．， B．， C．， D．，

5．（4分）若与是同一个函数，且，则可以是　　

A． B． C． D．

6．（4分）已知函数的定义域为，，则“（2）”是“在定义域上是增函数”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（4分）令，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

8．（4分）设函数，且（3），（4），则（5）　　

A．24 B．24.2 C．26 D．26.5

9．（4分）若任意的正数，都能使成立，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

10．（4分）某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量以每小时的速度呈直线上升；注射结束后，血液中的药物含量每小时以的衰减率呈指数衰减．若该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，则该药物对病人有疗效的时长大约为　　（参考数据：，，，

A．2小时 B．3小时 C．4小时 D．5小时

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）命题“，”的否定是 　　．

12．（5分）已知，则当　　时，取得最小值，且最小值为 　　．

13．（5分）已知函数满足对任意实数，都有（a）（b），则函数可能的一个解析式是 　　．

14．（5分）在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第位上的数字为，那么你认为：　　（填“是”或“不是” 的函数，理由是 　　．

15．（5分）已知函数是偶函数．

（1）　　；

（2）若在区间，上单调递减，则的取值范围是 　　．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（14分）已知集合，集合．

（Ⅰ）当时，求，；

（Ⅱ）写出一个值，使得．

17．（14分）①计算：；

②已知，，求的值．

18．（14分）已知二次函数，．

（Ⅰ）当时，求二次函数的零点；

（Ⅱ）求关于的不等式的解集；

（Ⅲ）若对一切实数都成立，求的取值范围．

19．（14分）已知函数．

（Ⅰ）用定义证明在区间上单调递减；

（Ⅱ）求函数在区间，上的最大值；

（Ⅲ）若，求的取值范围．

20．（14分）已知函数，函数．

（Ⅰ）在同一直角坐标系中画出，的图象；

（Ⅱ），用表示，中的较小者，记为，．

①用解析法表示函数，并写出函数的值域；

②讨论关于的方程的根的个数．（直接写出结论）

21．（15分）如果函数满足：存在非零常数，对于，都有成立，则称函数为函数．

（Ⅰ）判断是否是函数，并说明理由；

（Ⅱ）已知（其中的图象过点，证明：是函数；

（Ⅲ）若，，，写出是函数的充要条件，并证明．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】根据已知条件，结合特殊值法和函数的单调性，即可求解．

【解答】解：对于，令，，满足，但，故错误，

对于，在上单调递增，又，

（a）（b），即，故正确，

对于，令，，满足，但，故错误，

对于，令，，满足，但，故错误．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．

2．【分析】由元素与集合、集合与集合间关系的表示法直接写出即可．

【解答】解：，，

，，，，

故选：．

【点评】本题考查了元素与集合、集合与集合间关系的正确表示，属于基础题．

3．【分析】根据函数的图像性质来选择即可．

【解答】解：选项中为偶函数，故选项错误；

选项中为奇函数，定义域为，，，故选项错误；

选项中为奇函数且定义域为，故选项正确；

选项中为指数函数，非奇非偶函数，故选项错误．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和定义域，属于基础题．

4．【分析】配方法化简，再求值域即可．

【解答】解：，

，，

，，

，，

故选：．

【点评】本题考查了二次函数的性质及配方法的应用，属于基础题．

5．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．

【解答】解：对于，函数的定义域是，，函数的定义域是，两个函数的定义域不同，不是同一函数；

对于，函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；

对于，函数的定义域为，函数的定义域是，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；

对于，函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数的定义域不同，不是同一函数．

故选：．

【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．

6．【分析】利用充要条件的定义进行判断．

【解答】解：由函数的定义域为，，

若“（2）”不能够推出“在定义域上是增函数”，

故函数的定义域为，，则“（2）”是“在定义域上是增函数”的不充分条件，

由函数的定义域为，，若“在定义域上是增函数”，能够推出“（2）”，

故函数的定义域为，，则“（2）”是“在定义域上是增函数”的必要条件，

综上，函数的定义域为，，则“（2）”是“在定义域上是增函数”的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．

7．【分析】利用指数函数的单调性比较大小．

【解答】解：，，

，

故选：．

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．

8．【分析】根据题意，由函数的解析式可得，又由，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，且（3），（4），

则，

又由，变形可得（5），

故选：．

【点评】本题考查函数解析式的计算，注意函数解析式的形式，属于基础题．

9．【分析】易知对任意的正数，都成立，再结合基本不等式求出的最小值，即可得解．

【解答】解：因为对任意的正数，都成立，

所以，

因为，当且仅当时，等号成立，此时的最小值为4，

所以．

故选：．

【点评】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

10．【分析】设时间为，血液中药物的浓度为，得到，分类讨论，列出不等式，求解的取值范围即可．

【解答】解：设时间为，血液中药物的浓度为，

则，

当时，，解得；

当时，，即，即，

解得．

综上所述，，

故该药物对病人有疗效的时长大约为4小时．

故选：．

【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题“，”的否定是：，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．

12．【分析】变形可得，再由基本不等式，得解．

【解答】解：因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为1．

故答案为：0；1．

【点评】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

13．【分析】本题是一个开放性题，只需写出符合要求的答案即可；

【解答】解：令，则对任意实数，都有（a）（b），

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题考查了函数的解析式，属于开放型题目，也是基础题．

14．【分析】根据函数的定义，即可推理出圆周率小数点后第位上的数字为存在函数关系．

【解答】解：根据函数的定义，可知对于任意的一个自变量都有唯一的一个函数值与之对应，

因此数字与存在函数关系，这位少年能准确的说出数字．

故答案为：是；函数关系任意的一个自变量都有唯一的一个函数值与之对应．

【点评】本题考查了函数的定义，逻辑推理能力，合情推理，属于基础题．

15．【分析】（1）由函数是偶函数，利用偶函数的对称性，即可解出的值；

（2）由（1）知函数的单调递减区间，只需，是的递减区间的子集即可解出的范围．

【解答】解：（1）由函数是偶函数，所以（1），

，

；

（2）由（1）知，

所以的单调递减区间为，和，，

又在区间，上单调递减，

或，

或

故答案为：；，，．

【点评】本题考查了偶函数的性质，函数的单调性，学生的数学运算能力．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．【分析】（Ⅰ）根据集合的基本运算即可求解

（Ⅱ）只要满足即可求出一个值．

【解答】解：（Ⅰ）当时，，

，

，，

（Ⅱ）当时，，则，

．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

17．【分析】①根据指数幂的运算性质即可求出；

②根据指数幂的运算性质即可求出．

【解答】解：①原式；

②，，

则．

【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．

18．【分析】（Ⅰ）首先求出函数解析式，再令解方程，即可求出函数的零点；

（Ⅱ）依题意可得，再对参数分类讨论，即可求出不等式的解集；

（Ⅲ）依题意可得恒成立，则△，即可得到不等式，解得即可；

【解答】解：（Ⅰ）因为，当时，令，即，解得或，即函数的零点为1和2；

（Ⅱ）依题意，即，

当时，解得或；

当时，即，解得；

当时，解得或；

综上可得，当时，原不等式的解集为，，；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为，，；；

（Ⅲ）因为对一切实数都成立，即恒成立，即恒成立，所以△，解得，即，．

【点评】本题考查了二次函数的零点、恒成立问题及分类讨论思想，其中恒成立问题还可以利用函数的最值来解答，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）根据题意，利用作差法分析可得结论；

（Ⅱ）根据函数单调性即可求出函数最大值；

（Ⅲ）根据函数单调性可得，再根据指数函数单调性可得，解得即可．

【解答】证明：（Ⅰ），

设，，且，

，

，

，，

，

即，

在区间上单调递减；

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数在区间，上单调递减，

（1）；

（Ⅲ）由（Ⅰ）在区间上单调递减；

，

，

即，

解得，

故不等式的解集为．

【点评】本题考查了单调性的证明，单调性的应用，指数函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．

20．【分析】（Ⅰ）根据函数解析式，作出函数和的图象即可；

（Ⅱ）①根据（1）中的图象，求出函数的解析式，进而作出图象即可得到答案；

②根据的图象即可得到答案．

【解答】解：（Ⅰ）函数，函数，

在同一直角坐标系中画出，的图象如图所示：

（Ⅱ）①由（1）中的图象可知，，

作出函数的图象如图所示：

由图象可知，函数的值域为，；

②由①中的图象可得，

当时，方程无实数根；

当或时，方程只有一个实数根；

当时，方程有两个实数根．

【点评】本题考查了函数图象的理解与应用，函数与方程的应用，函数值域以及函数解析式的求解，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）由得恒成立，从而可判断．

（Ⅱ）由题意可得，由得，则，即可证明．

（Ⅲ）由得到，再对比系数即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）不是函数，理由如下：

若函数是函数，则，

即恒成立，故恒成立，

上式不可能恒成立，

故不是函数．

（Ⅱ）证明：（其中的图象过点，

，，，

若函数是函数，则，

即恒成立，故成立，，

时，为函数．

（Ⅲ）是函数的充要条件为，理由如下，

证明：若函数是函数，则，

即恒成立，

，

故，，，

此时，，

是是函数的充要条件．

【点评】本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题，属于中档题．