2023年辽宁省盘锦市中考数学二模试卷（含解析）

2023年辽宁省盘锦市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若一粒米的质量约是，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

6.  一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

8.  如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点知，，，三点在坐标轴上，，平行四边形的面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知抛物线的对称轴为直线有下列结论：，，，，若，则时的函数值小于时的函数值其中结论正确的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，边长分别为和的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分的面积为，若，则随变化的函数图象大致为(    )

 

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  使式子有意义的的取值范围是______ ．

12.  已知是完全平方式，则 ______ ．

13.  若点在第四象限，则点在第______象限．

14.  北京年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的倍，乘高铁用时比乘班车少分钟，则从北京赛区到延庆赛区乘高铁序需时间约为多少分钟？设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为分钟，列方程为______ ．

15.  如图，是的直径，弦，垂足为点，连结，如果，，那么图中阴影部分的面积是______ ．

16.  在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为        ．

17.  如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接若，则的周长为______ ．

18.  如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，并设其面积分别为，，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简：，再从，，，中选一个你认为合适的数作为的值代入求值．

20.  本小题分
为了贯彻“减负增效”精神，某校掌握学年度九年级名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了学年度九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图，图，请根据统计图中的信息回答下列问题：
本次调查的学生人数有        人；
图中是        度，并将图补充完整；
请估算该校学年度九年级学生自主学习时间不少于小时的有        人；
老师想从学习效果较好的位同学分别记为、、、，其中为小亮中随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或画树状图的方法求出选中小亮的概率．

 

21.  本小题分
如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
连接，，求的面积；
如图，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．

 

22.  本小题分
图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成图是某种工作状态下的侧面结构示意图是基座的高，是主臂，是伸展臂，已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．
参考数据：，，，

求点到地面的高度；
若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数．

23.  本小题分
如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．
求证：是的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为元，该款“中国结”的批发单价元与一次性批发量为正整数件之间满足如图所示的函数关系．
当时，求与的函数关系式．
某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付元，求此次批发量．
某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？

 

25.  本小题分
如图，在中，，，点在线段上，，边上的一点满足将绕点逆时针旋转度得到，，两点的对应点分别为点，，连接，，取的中点，连接．
如图，当时，______，此时和之间的位置关系为______；
画图探究线段和之间的位置关系和数量关系，并加以证明．

 

26.  本小题分
如图，抛物线经过、两点，交轴于，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．

求该抛物线的解析式；
抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由；
抛物线上存在一点，使，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是，
故选：．
根据平方根的定义，即可解答．
本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为，，，，，，，，，
这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】 

【解析】解：点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是：或．
故选：．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可求得答案．
此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标比等于．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用平行线的性质和三角形内角和定理得出答案．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质，正确得出的度数是解题关键．
【解答】
解：如图，，，
，
直尺对边平行，
，
，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
由题意得：，
，
所以
故选项A符合题意，选项B、、不符合题意，
故选：．
根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作轴于点，

四边形为平行四边形，
，
又轴，
为矩形，
，
，
为对角线交点，轴，
四边形为矩形面积为，
即，
设点坐标为，
，
故选：．
将平行四边形面积转化为矩形面积，再得到矩形面积，应用反比例函数比例系数的意义即可．
本题考查了反比例函数的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有个交点，
，

所以错误；
抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴的左侧，
、同号，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，
所以正确；
时，，
即，
对称轴为直线，
，
，
，即，
所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
和时的函数值相等，即时，，
，
，
所以正确．
，
，
由时，随的增大而增大知时的函数值大于时的函数值，
所以错误；
故选：．
利用抛物线与轴有个交点和判别式的意义对进行判断；
由抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴位置确定，由抛物线与轴交点位置得到，则可作判断；
利用时，然后把代入可判断；
利用抛物线的对称性得到和时的函数值相等，即时，，则可进行判断；
根据，得出和的大小及其与的关系，利用二次函数的性质即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．
 

10.【答案】 

【解析】解：随着的增加，由大变小，所以排除；由于边长不同，不能是，且恒定，然后再逐渐变大，所以排除；由于是匀速，所以就对称，所以可以排除；所以只剩下选项A．
故选：．
随着的增加，由大变小，由于边长不同，不能是，且恒定，然后再逐渐变大，由于是匀速，所以就对称，即可求出答案．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的变化趋势，结合实际情况采用排除法求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：式子有意义，
，
解得．
故答案为：．
根据二次根式有意义和分式有意义的条件列不等式，再解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，根据条件列出关于的不等式是解答本题的关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：是完全平方式，
，
或．
故答案为：或．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

13.【答案】二 

【解析】解：点在第四象限，
，
，
，
点在第二象限，
故答案为：二．
根据点在第四象限，求出的取值范围，得到，进而得到点所在的象限．
本题考查了点的坐标，根据点在第四象限，求出的取值范围是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为分钟，
由题意得：，
故答案为：．
设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为分钟，由题意：北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约公里，高铁的平均速度是班车平均速度的倍，乘高铁用时比乘班车少分钟，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积．
故答案为：．
连接，，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】

【分析】
本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．分两种情况；为腰，为底，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半判断出，然后分在内部和外部两种情况求解即可．
【解答】
解：为腰，
于点，，，
在中，，
，
如图，在内部时，顶角，
如图，在外部时，顶角，
为底，如图，
于点，，
，
，，
，
顶角，
综上所述，等腰三角形的顶角度数为或或．
故答案为或或．  

17.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出是解题关键．
【解答】
解：由基本作图方法得出：垂直平分，
则，
可得，，
，
，
的周长为：．
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：设，
则，，，，，
，，，，，
，
，
，
，
，
由此可得，
故答案为：．
设，利用反比例的解析式和反比例函数图象上点的坐标的特征求得点，，，，的坐标用含的代数式表示，进而得到每个小直角三角形的高，依据每个小直角三角形的底均为，利用三角形的面积公式即可求得，，，，的值，依此规律即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度得到相应点的坐标和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

19.【答案】解：



，
当，，时原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的的值代入进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：自主学习的时间是小时的有人，占，
人，
故答案为：；
，
人；
补充图形如图：

故答案为：；
人，
故答案为：；
画树状图得：

共有种等可能的结果，选中小亮的有种，
．
由自主学习的时间是小时的有人，占，即可求得本次调查的学生人数；
由，；即可求得答案；
首先求得这名学生自主学习时间不少于小时的百分比，然后可求得该校九年级学生自主学习时间不少于小时的人数；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：点，点在反比例函数上，
，
，，
反比例函数为，点，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为：；
令，则，
，
；
如图，过点作轴的平行线，作于，于，

设，
，
，，
把线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，
解得或舍去，
 

【解析】用待定系数法即可求解；
求得点的坐标，然后根据求得即可；
过点作轴的平行线，作于，于，设，通过证得≌，得到，代入，即可求得的值，从而求得点的坐标．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：，，，
在中，，，
，
，
点到地面的高度约为；
由题意得：，
在中，，，
，，
，
，
在中，，
，
，
的度数约为． 

【解析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
由题意得：，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用直角三角形的两个锐角互余可求出，然后利用线段的和差关系求出，从而在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，进而求出的度数，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，，
，
，
，
是的直径，
是的切线；
解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答；
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得∽，然后利用相似三角形的性质可得，再证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设当时与的函数关系式为，
把和代入解析式得：，
解得，
当时与的函数关系式为；
由图可知，当时，所付款为元，
当时，所付款为元，
，
购买数量位于与之间，
，
解得，舍去，
答：此次批发量为件；
当时，
，
，
当时，有最大值，最大值为；
当时，批发量固定，批发量越大，则利润越大，
当时，利润最大，最大值为元，
，
当时，小黄获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】由待定系数法即可求解；
首先判断出购买的数量大于小于，则由数量单价付款项，列出关于的一元二次方程，解方程即可；
分和两种情况分别计算所获的最大利润，再比较即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，二次函数的应用等知识，正确理解题意，准确列出方程或函数关系是接替关键．
 

25.【答案】  垂直 
，，
证明：取的中点，连接，延长交于，
的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，，
即，
，
，，
． 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，此时，；
故答案为：，垂直；
见答案．
根据平行线的性质得到，
根据周角的定义即可得到结论；
取的中点，连接，延长交于，根据三角形的中位线的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，，根据垂直的定义即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：把，两点代入抛物线解析式得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为；

存在，理由：
由，
则顶点，对称轴为直线，
，
，，
，，
直线解析式为，
点，
如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则直线的表达式为：，
联立并整理得：，
解得：，
则点的坐标为或；
对于直线，设交轴于点，
令，
解得：，即点，
则，
取点使，过点作的平行线，如图，则点，
则直线的表达式为：，
联立和得：，
则，无解，
故在点的右侧不存在点，
综上，点的坐标为或；

，，
，
，
若点在直线的上方时，

，，
，
，
，
，
，
即，
，
点，
直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
点的坐标为；
若点在直线的下方时，
由对称性可得：点，
直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为：或 

【解析】把、两点坐标代入函数式，列式求得，的值，即求出解析式；
由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标；
分两种情况讨论，由锐角三角函数可求的长，可求点坐标，可得解析式，联立方程组可求点坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，三角形的面积公式，一次函数的性质，联立方程组求点的坐标是本题的关键．