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2021年辽宁省盘锦市大洼区中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年辽宁省盘锦市大洼区中考数学二模试卷 解析版，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省盘锦市大洼区中考数学二模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡上。每小题3分，共30分）
1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7 B．a6÷（﹣a）2＝a4
C．a2⋅（﹣a）3＝﹣a6 D．（2a+1）2＝4a2+1
4．石墨烯是世界上目前最薄却也最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×10﹣9米 B．34.0×10﹣11米
C．3.4×10﹣10米 D．3.4×10﹣9米
5．甲、乙两班分别有10名选手参加学校健美操比赛，两班参赛选手身高的方差分别是＝1.5，＝2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班选手比乙班选手身高整齐
B．乙班选手比甲班选手身高整齐
C．甲、乙两班选手身高一样整齐
D．无法确定哪班选手身高更整齐
6．学习全等三角形时，数学兴趣小组设计组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如表所示：
则得分的众数、中位数分别为（ ）
得分/分
60
70
80
90
100
人数/人
7
12
10
8
3
A．70分，70分 B．80分，80分 C．80分，70分 D．70分，80分
7．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
8．甲、乙两地相距约500千米，随着铁路线路的不断完善，乘坐动车组列车从甲地到乙地比乘坐普通列车节省约1.5小时，已知动车组列车的平均速度是普通列车平均速度的1.8倍，设普通列车的平均速度为x千米/时，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，等边△ABC内接于⊙O，AD⊥BC交⊙O于D，⊙O的半径为3，劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．π
10．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA﹣﹣BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．因式分解：x3﹣4x＝ ．
12．化简﹣＝ ．
13．如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，∠BAC＝45°，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
14．不等式组的解集是 ．
15．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲离开A地的路程y（km）和行走时间x（h）之间的函数关系用图中直线l1表示，乙距离A地的路程y（km）和行走时间x（h）之间的函数关系用图中直线l2表示，则甲的速度比乙的速度快 km/h．
16．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径作弧交AD于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD内交于点G，作射线AG交BC于点F，若BE＝6，AB＝5，则AF的长为 ．
17．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）．
18．菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A'MN，若△A'DC恰为等腰三角形，则AP的长为
三、（19小题8分，20小题14分，共22分）
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．
20．（14分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人．
（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
四、（21小题8分，22小题12分，共20分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
22．（12分）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED＝3，cosF＝，求⊙O的半径．
五、（本题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式和直线BC解析式；
（2）将△COB沿直线BC平移，得到△EGF（∠EGF＝90°）．
①如图1，延长GF与抛物线交于点H，当x等于多少时，线段HF有最大值？最大值为多少？
②如图2，当点G平移到（﹣1，﹣1）点时，将△EGF绕点G旋转得到△NGM，MN与EG相交于点Q，当MG经过点B时，求点N的坐标．
六、（本题满分12分）
24．（12分）已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连接AF，H为AF的中点，连接EH，正方形EBGF绕点B旋转．
（1）如图1，当点E落在AB边上、点G落在BC边上时，写出线段EH与CF的数量关系；
（2）如图2，当F点落在BC上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点E落在BC上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
七、（本题满分14分）
25．（14分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为n米．
（1）用含n的式子表示通道的面积x1；
（2）学校选定该项目由某园林公司承建，已知该园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示．
①求出修建花圃造价y2与花圃面积x2之间的函数关系式；并写出自变量x2的取值范围；
②设修建通道、花圃的总造价为y，求出y与通道面积x1之间的函数关系式，并写出自变量x1的取值范围；
③要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
八、（本题满分14分）
26．（14分）已知：如图，▱ABCD中，AD＝3cm，CD＝1cm，∠B＝45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）
解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成：1的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
2021年辽宁省盘锦市大洼区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡上。每小题3分，共30分）
1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【分析】根据绝对值的定义直接求得．
【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：A．
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7 B．a6÷（﹣a）2＝a4
C．a2⋅（﹣a）3＝﹣a6 D．（2a+1）2＝4a2+1
【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则和完全平方公式解答即可．
【解答】解：A、（a2）5＝a10，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷（﹣a）2＝a4，原计算正确，故此选项符合题意；
C、a2⋅（﹣a）3＝﹣a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（2a+1）2＝4a2+4a+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．石墨烯是世界上目前最薄却也最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×10﹣9米 B．34.0×10﹣11米
C．3.4×10﹣10米 D．3.4×10﹣9米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为3.4×10﹣10米，
故选：C．
5．甲、乙两班分别有10名选手参加学校健美操比赛，两班参赛选手身高的方差分别是＝1.5，＝2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班选手比乙班选手身高整齐
B．乙班选手比甲班选手身高整齐
C．甲、乙两班选手身高一样整齐
D．无法确定哪班选手身高更整齐
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵＝1.5，＝2.5
∴＜＝2.5
则甲班选手比乙班选手身高更整齐．
故选：A．
6．学习全等三角形时，数学兴趣小组设计组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如表所示：
则得分的众数、中位数分别为（ ）
得分/分
60
70
80
90
100
人数/人
7
12
10
8
3
A．70分，70分 B．80分，80分 C．80分，70分 D．70分，80分
【分析】根据众数和中位数的定义解答．
【解答】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；
处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．
故选：D．
7．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
【分析】连接AE并延长交x轴于H，根据相似三角形的性质列出比例式，求出OH，得到答案．
【解答】解：连接AE并延长交x轴于H，则点H为位似中心，
∵点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1），
∴OF＝1，OB＝4，EF＝1，AB＝2，
∵正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，
∴EF∥AB，
∴△HEF∽△HAB，
∴＝，即＝，
解得，OH＝2，
∴点H的坐标为（2，0），
故选：A．
8．甲、乙两地相距约500千米，随着铁路线路的不断完善，乘坐动车组列车从甲地到乙地比乘坐普通列车节省约1.5小时，已知动车组列车的平均速度是普通列车平均速度的1.8倍，设普通列车的平均速度为x千米/时，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据乘坐动车组列车从甲地到乙地比乘坐普通列车节省约1.5小时，可以列出相应的分式方程．
【解答】解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则动车组列车的平均速度平均速度是1.8x千米/小时，
由题意可得：，
故选：C．
9．如图，等边△ABC内接于⊙O，AD⊥BC交⊙O于D，⊙O的半径为3，劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．π
【分析】根据等边三角形的性质得到∠DAC＝BAC＝30°，根据圆周角定理得到∠DOC＝2∠DAC＝60°，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠DAC＝BAC＝30°，
∴∠DOC＝2∠DAC＝60°，
∴劣弧的长为＝π，
故选：D．
10．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA﹣﹣BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】依题意，可以知道路程逐渐变大，然后从B到O中逐渐变小直至为0．则可以知道A，B，D不符合题意．
【解答】解：本题考查函数图象变化关系，可以看出从O到A逐渐变大，而弧AB中的半径不变，从B到O中OP逐渐减少直至为0．
故选：C．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．因式分解：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
12．化简﹣＝ ﹣ ．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：原式＝2﹣3＝﹣．
13．如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，∠BAC＝45°，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据圆周角定理计算圆心角度数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°．
∴小球落在阴影部分的概率为＝．
故答案为：．
14．不等式组的解集是 1≤x＜4 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出解集．
【解答】解：，
由①得：x≥1；由②得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4．
故答案为：1≤x＜4．
15．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲离开A地的路程y（km）和行走时间x（h）之间的函数关系用图中直线l1表示，乙距离A地的路程y（km）和行走时间x（h）之间的函数关系用图中直线l2表示，则甲的速度比乙的速度快 1 km/h．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以分别计算出甲、乙的速度，然后即可得到甲的速度比乙的速度快多少．
【解答】解：由图象可得，
甲的速度为6÷1.5＝4（km/h），乙的速度为6÷2＝3（km/h），
则甲的速度比乙的速度快4﹣3＝1（km/h），
故答案为：1．
16．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径作弧交AD于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD内交于点G，作射线AG交BC于点F，若BE＝6，AB＝5，则AF的长为 8 ．
【分析】如图，设AF交BE于点O．证明四边形ABFE是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：如图，设AF交BE于点O．
由作图可知：AB＝AE，AF⊥BE，
∴OB＝OE，∠BAF＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF＝AE，∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB＝AE，
∴四边形ABFE是菱形，
∴OA＝OF，OB＝OE＝3，
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∴AF＝2OA＝8．
故答案为：8．
17．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 12 m（结果不作近似计算）．
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE是矩形，
根据题意得：∠ACB＝β＝60°，∠ADE＝α＝30°，BC＝18m，
∴DE＝BC＝18m，CD＝BE，
在Rt△ABC中，AB＝BC•tan∠ACB＝18×tan60°＝18（m），
在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝18×tan30°＝6（m），
∴DC＝BE＝AB﹣AE＝18﹣6＝12（m）．
故答案为：12．
18．菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A'MN，若△A'DC恰为等腰三角形，则AP的长为 或
【分析】△A'DC恰为等腰三角形，分两种情况进行讨论：当A'D＝A'C时，当CD＝CA'＝4时，分别通过解直角三角形，求得AA'的长，即可得到AP的长．
【解答】解：①如图，当A'D＝A'C时，∠A'DC＝∠A'CD＝30°，
∴∠AA'D＝60°，
又∵∠CAD＝30°，
∴∠ADA'＝90°，
∴Rt△ADA'中，AA'＝＝＝，
由折叠可得，AP＝AA'＝；
②如图，当CD＝CA'＝4时，连接BD交AC于O，则
Rt△COD中，CO＝CD×cos30°＝4×＝2，
∴AC＝4，
∴AA'＝AC﹣A'C＝4﹣4，
由折叠可得，AP＝AA'＝；
故答案为：或．
三、（19小题8分，20小题14分，共22分）
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．
【分析】利用平方差公式、通分将原式化简成，代入x＝﹣1即可求出结论．
【解答】解：原式＝÷，
＝×，
＝．
∵x＝﹣1，
∴原式＝＝．
20．（14分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 72 度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 640 人．
（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（4）用2000乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可；
（5）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）14÷28%＝50，
所以本次共调查了50名学生；
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数＝360°×＝72°；
（3）最喜欢舞蹈类的人数为50﹣10﹣14﹣16＝10（人），
补全条形统计图为：
（4）2000×＝640，
估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人；
故答案为50；72；640；
（5）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，
所以抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率＝＝．
四、（21小题8分，22小题12分，共20分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
【分析】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，首先得出A点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D′点处，得出点D′的纵坐标为3，求出其横坐标，进而得出菱形ABCD平移的距离．
【解答】解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝5，
∴AD＝5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k＝xy＝4×8＝32，
∴k＝32；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D′点处，
过点D′做x轴的垂线，垂足为F′．
∵DF＝3，
∴D′F′＝3，
∴点D′的纵坐标为3，
∵点D′在的图象上
∴3＝，
解得：x＝，
即OF′＝，
∴FF′＝﹣4＝，
∴菱形ABCD平移的距离为．
22．（12分）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED＝3，cosF＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD＝90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE＝BE，所以∠BCE＝∠CBE，所以OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；
（2）CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，利用cosF＝＝，得出tanF＝＝，可计算出BF＝4，再利用勾股定理可计算出EF＝5，所以CF＝CE+EF＝8，然后在Rt△OCF中，利用正切定义可计算出OC．
【解答】（1）证明：连CB、OC，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∵E为BD的中点，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠CBE，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：CE＝BE＝DE＝3，
在Rt△BFE中，cosF＝，tanF＝＝，
∴BF＝4，
∴EF＝＝5，
∴CF＝CE+EF＝8，
在Rt△OCF中，tanF＝＝，
∴OC＝6，
即⊙O的半径为6．
五、（本题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式和直线BC解析式；
（2）将△COB沿直线BC平移，得到△EGF（∠EGF＝90°）．
①如图1，延长GF与抛物线交于点H，当x等于多少时，线段HF有最大值？最大值为多少？
②如图2，当点G平移到（﹣1，﹣1）点时，将△EGF绕点G旋转得到△NGM，MN与EG相交于点Q，当MG经过点B时，求点N的坐标．
【分析】（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，可得出抛物线解析式，再求出C点坐标即可求解；
（2）①设H（x，﹣x2﹣2x+3），则F（x，x+3），由二次函数的性质可得出答案；
②过点N作ND⊥EG垂足为D，证明△GFB≌△GNQ（ASA），由全等三角形的性质得出QG＝BG＝，QN＝BF＝2，根据勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0）两点分别代数入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x+3；
（2）①设H（x，﹣x2﹣2x+3），则F（x，x+3），
∴HF＝，
∴当x＝时，线段HF有最大值，最大值为；
②解：过点N作ND⊥EG垂足为D，
设DG＝x，
∵B（﹣3，0），点G（﹣1，﹣1），
∴BF＝，BG＝，
由旋转不变性得∠EFG＝∠MHG＝45°，FG＝NG，∠FGB＝∠NGE＝90°﹣∠BGE，
∴△GFB≌△GNQ（ASA），
∴QG＝BG＝，QN＝BF＝2，
∴DN2＝GN2﹣DG2＝9﹣x2，
∴，
∴，
解得x＝，
∴DN＝，
∴．
六、（本题满分12分）
24．（12分）已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连接AF，H为AF的中点，连接EH，正方形EBGF绕点B旋转．
（1）如图1，当点E落在AB边上、点G落在BC边上时，写出线段EH与CF的数量关系；
（2）如图2，当F点落在BC上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点E落在BC上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和SAS证明△AEF和△CGF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）延长FE交AB于点Q，利用正方形的性质解答即可；
（3）延长EH交AB于点N，利用正方形的性质和SAS证明△EBN≌△FEC，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】（1）解：，理由如下：
∵四边形ABCD，BEFG是正方形，
∴∠BEF＝∠CGF＝90°，AB＝BC，BE＝BG，EF＝FG，
∴AE＝CG，
在△AEF和△CGF中，
，
∴△AEF≌△CGF（SAS），
∴AF＝CF，
∵H为AF的中点，∠AEF＝90°，
∴EH＝AF，
∴EH＝CF；
（2）解：（1）中结论成立，延长FE交AB于点Q，
∵四边形EBGF是正方形，
∴EF＝EB，∠EFB＝∠EBF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BQF＝∠QBE＝45°，
∴QE＝EB，
∴QE＝EF，
又∵AH＝FH，
∴EH＝AQ，
∵∠BQF＝∠BFQ＝45°，
∴BQ＝FB，
∴QA＝CF，
∴EH＝CF；
（3）解：延长EH交AB于点N，
∵四边形EBGF是正方形，
∴EF∥BG，EF＝EB＝BG，
∵EF∥AG，
∴∠FEH＝∠ANH，∠EFH＝∠NAH．
又∵AH＝FH，
∴△ANH≌△FEH（AAS），
∴NH＝EH，AN＝EF＝BE．
∴EH＝EN，BN＝EC，
∵四边形ABCD和四边形EBGF都是正方形，
∴∠ABC＝∠CEF＝90°，EF＝EB，
∴△EBN≌△FEC（SAS），
∴NE＝CF，
∴EH＝CF．
七、（本题满分14分）
25．（14分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为n米．
（1）用含n的式子表示通道的面积x1；
（2）学校选定该项目由某园林公司承建，已知该园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示．
①求出修建花圃造价y2与花圃面积x2之间的函数关系式；并写出自变量x2的取值范围；
②设修建通道、花圃的总造价为y，求出y与通道面积x1之间的函数关系式，并写出自变量x1的取值范围；
③要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
【分析】（1）用含n的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；
（2）①根据y2＝kx2+b经过（800，4800）和（1200，6200），列方程组，即可得到结论；
②由已知图像得到y1＝40x1且x1+x2＝2400，根据花圃的总造价为y＝y1+y2即可得到结论；
③根据2≤n≤10，，求得384≤x1≤1600，得到函数解析式y＝5x1+104000，根据一次函数的性质即可的结论．
【解答】解：（1）由图可知，通道的面积x1；；
（2）①∵y2＝kx2+b经过（800，4800）和（1200，6200），
∴，
解得，
∴y2＝35x2+2000；
又∵y2＝ax2经过（800，4800），
∴48000＝800a，
解得a＝60，
∴y2＝60x2；
∴；
②由已知图像得y1＝40x1且x1+x2＝2400，
∴，
∴；
③∵2≤n≤10，，
∴384≤x1≤1600，
当384≤x1≤1600时，y＝5x1+104000，
∵k＝5＞0，
∴y随x1的增大而增大，
∴当x1＝384时，y有最小值105920，即总造价最低为105920元，
当x1＝384时，有﹣4n2+200n＝384，解得n1＝2，n2＝48（舍去），
所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为105920元．
八、（本题满分14分）
26．（14分）已知：如图，▱ABCD中，AD＝3cm，CD＝1cm，∠B＝45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）
解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成：1的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分得出AP＝DP，代入求出即可；
（2）求出AP和MN的值，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值；
（4）假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，证△APW∽△CNW，得出＝，代入求出即可．
【解答】解：（1）连接AQ，MD．
∵当AP＝PD时，四边形AQDM是平行四边形，
即3t＝3﹣3t，
t＝，
∴当t＝s时，四边形AQDM是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝t，
∵MN⊥BC，
∴∠MNB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BMN＝45°＝∠B，
∴BN＝MN，
∵BM＝1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN＝MN＝（1+t），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
∴y＝×AP×MN
＝•3t•（1+t）
即y与t之间的函数关系式为y＝t2+t（0＜t＜1）．
（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
此时t2+t＝×3×，
整理得：t2+t﹣1＝0，
解得t1＝，t2＝（舍去）
∴当t＝s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
（4）存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，
理由是：假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△APW∽△CNW，
∴＝，
即＝或＝，
∴t＝或，
∵两数都在0＜t＜1范围内，即都符合题意，
∴当t＝s或s时，NP与AC的交点把线段AC分成的两部分．
2021年辽宁省盘锦市大洼区中考数学二模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡上。每小题3分，共30分）
1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7 B．a6÷（﹣a）2＝a4
C．a2⋅（﹣a）3＝﹣a6 D．（2a+1）2＝4a2+1
4．石墨烯是世界上目前最薄却也最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×10﹣9米 B．34.0×10﹣11米
C．3.4×10﹣10米 D．3.4×10﹣9米
5．甲、乙两班分别有10名选手参加学校健美操比赛，两班参赛选手身高的方差分别是＝1.5，＝2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班选手比乙班选手身高整齐
B．乙班选手比甲班选手身高整齐
C．甲、乙两班选手身高一样整齐
D．无法确定哪班选手身高更整齐
6．学习全等三角形时，数学兴趣小组设计组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如表所示：
则得分的众数、中位数分别为（ ）
得分/分
60
70
80
90
100
人数/人
7
12
10
8
3
A．70分，70分 B．80分，80分 C．80分，70分 D．70分，80分
7．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
8．甲、乙两地相距约500千米，随着铁路线路的不断完善，乘坐动车组列车从甲地到乙地比乘坐普通列车节省约1.5小时，已知动车组列车的平均速度是普通列车平均速度的1.8倍，设普通列车的平均速度为x千米/时，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，等边△ABC内接于⊙O，AD⊥BC交⊙O于D，⊙O的半径为3，劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．π
10．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA﹣﹣BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．因式分解：x3﹣4x＝ ．
12．化简﹣＝ ．
13．如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，∠BAC＝45°，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
14．不等式组的解集是 ．
15．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲离开A地的路程y（km）和行走时间x（h）之间的函数关系用图中直线l1表示，乙距离A地的路程y（km）和行走时间x（h）之间的函数关系用图中直线l2表示，则甲的速度比乙的速度快 km/h．
16．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径作弧交AD于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD内交于点G，作射线AG交BC于点F，若BE＝6，AB＝5，则AF的长为 ．
17．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）．
18．菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A'MN，若△A'DC恰为等腰三角形，则AP的长为
三、（19小题8分，20小题14分，共22分）
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．
20．（14分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人．
（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
四、（21小题8分，22小题12分，共20分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
22．（12分）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED＝3，cosF＝，求⊙O的半径．
五、（本题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式和直线BC解析式；
（2）将△COB沿直线BC平移，得到△EGF（∠EGF＝90°）．
①如图1，延长GF与抛物线交于点H，当x等于多少时，线段HF有最大值？最大值为多少？
②如图2，当点G平移到（﹣1，﹣1）点时，将△EGF绕点G旋转得到△NGM，MN与EG相交于点Q，当MG经过点B时，求点N的坐标．
六、（本题满分12分）
24．（12分）已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连接AF，H为AF的中点，连接EH，正方形EBGF绕点B旋转．
（1）如图1，当点E落在AB边上、点G落在BC边上时，写出线段EH与CF的数量关系；
（2）如图2，当F点落在BC上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点E落在BC上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
七、（本题满分14分）
25．（14分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为n米．
（1）用含n的式子表示通道的面积x1；
（2）学校选定该项目由某园林公司承建，已知该园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示．
①求出修建花圃造价y2与花圃面积x2之间的函数关系式；并写出自变量x2的取值范围；
②设修建通道、花圃的总造价为y，求出y与通道面积x1之间的函数关系式，并写出自变量x1的取值范围；
③要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
八、（本题满分14分）
26．（14分）已知：如图，▱ABCD中，AD＝3cm，CD＝1cm，∠B＝45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）
解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成：1的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
2021年辽宁省盘锦市大洼区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡上。每小题3分，共30分）
1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【分析】根据绝对值的定义直接求得．
【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：A．
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7 B．a6÷（﹣a）2＝a4
C．a2⋅（﹣a）3＝﹣a6 D．（2a+1）2＝4a2+1
【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则和完全平方公式解答即可．
【解答】解：A、（a2）5＝a10，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷（﹣a）2＝a4，原计算正确，故此选项符合题意；
C、a2⋅（﹣a）3＝﹣a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（2a+1）2＝4a2+4a+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．石墨烯是世界上目前最薄却也最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×10﹣9米 B．34.0×10﹣11米
C．3.4×10﹣10米 D．3.4×10﹣9米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为3.4×10﹣10米，
故选：C．
5．甲、乙两班分别有10名选手参加学校健美操比赛，两班参赛选手身高的方差分别是＝1.5，＝2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班选手比乙班选手身高整齐
B．乙班选手比甲班选手身高整齐
C．甲、乙两班选手身高一样整齐
D．无法确定哪班选手身高更整齐
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵＝1.5，＝2.5
∴＜＝2.5
则甲班选手比乙班选手身高更整齐．
故选：A．
6．学习全等三角形时，数学兴趣小组设计组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如表所示：
则得分的众数、中位数分别为（ ）
得分/分
60
70
80
90
100
人数/人
7
12
10
8
3
A．70分，70分 B．80分，80分 C．80分，70分 D．70分，80分
【分析】根据众数和中位数的定义解答．
【解答】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；
处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．
故选：D．
7．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
【分析】连接AE并延长交x轴于H，根据相似三角形的性质列出比例式，求出OH，得到答案．
【解答】解：连接AE并延长交x轴于H，则点H为位似中心，
∵点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1），
∴OF＝1，OB＝4，EF＝1，AB＝2，
∵正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，
∴EF∥AB，
∴△HEF∽△HAB，
∴＝，即＝，
解得，OH＝2，
∴点H的坐标为（2，0），
故选：A．
8．甲、乙两地相距约500千米，随着铁路线路的不断完善，乘坐动车组列车从甲地到乙地比乘坐普通列车节省约1.5小时，已知动车组列车的平均速度是普通列车平均速度的1.8倍，设普通列车的平均速度为x千米/时，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据乘坐动车组列车从甲地到乙地比乘坐普通列车节省约1.5小时，可以列出相应的分式方程．
【解答】解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则动车组列车的平均速度平均速度是1.8x千米/小时，
由题意可得：，
故选：C．
9．如图，等边△ABC内接于⊙O，AD⊥BC交⊙O于D，⊙O的半径为3，劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．π
【分析】根据等边三角形的性质得到∠DAC＝BAC＝30°，根据圆周角定理得到∠DOC＝2∠DAC＝60°，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠DAC＝BAC＝30°，
∴∠DOC＝2∠DAC＝60°，
∴劣弧的长为＝π，
故选：D．
10．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA﹣﹣BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】依题意，可以知道路程逐渐变大，然后从B到O中逐渐变小直至为0．则可以知道A，B，D不符合题意．
【解答】解：本题考查函数图象变化关系，可以看出从O到A逐渐变大，而弧AB中的半径不变，从B到O中OP逐渐减少直至为0．
故选：C．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．因式分解：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
12．化简﹣＝ ﹣ ．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：原式＝2﹣3＝﹣．
13．如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，∠BAC＝45°，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据圆周角定理计算圆心角度数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°．
∴小球落在阴影部分的概率为＝．
故答案为：．
14．不等式组的解集是 1≤x＜4 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出解集．
【解答】解：，
由①得：x≥1；由②得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4．
故答案为：1≤x＜4．
15．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲离开A地的路程y（km）和行走时间x（h）之间的函数关系用图中直线l1表示，乙距离A地的路程y（km）和行走时间x（h）之间的函数关系用图中直线l2表示，则甲的速度比乙的速度快 1 km/h．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以分别计算出甲、乙的速度，然后即可得到甲的速度比乙的速度快多少．
【解答】解：由图象可得，
甲的速度为6÷1.5＝4（km/h），乙的速度为6÷2＝3（km/h），
则甲的速度比乙的速度快4﹣3＝1（km/h），
故答案为：1．
16．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径作弧交AD于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD内交于点G，作射线AG交BC于点F，若BE＝6，AB＝5，则AF的长为 8 ．
【分析】如图，设AF交BE于点O．证明四边形ABFE是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：如图，设AF交BE于点O．
由作图可知：AB＝AE，AF⊥BE，
∴OB＝OE，∠BAF＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF＝AE，∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB＝AE，
∴四边形ABFE是菱形，
∴OA＝OF，OB＝OE＝3，
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∴AF＝2OA＝8．
故答案为：8．
17．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 12 m（结果不作近似计算）．
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE是矩形，
根据题意得：∠ACB＝β＝60°，∠ADE＝α＝30°，BC＝18m，
∴DE＝BC＝18m，CD＝BE，
在Rt△ABC中，AB＝BC•tan∠ACB＝18×tan60°＝18（m），
在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝18×tan30°＝6（m），
∴DC＝BE＝AB﹣AE＝18﹣6＝12（m）．
故答案为：12．
18．菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A'MN，若△A'DC恰为等腰三角形，则AP的长为 或
【分析】△A'DC恰为等腰三角形，分两种情况进行讨论：当A'D＝A'C时，当CD＝CA'＝4时，分别通过解直角三角形，求得AA'的长，即可得到AP的长．
【解答】解：①如图，当A'D＝A'C时，∠A'DC＝∠A'CD＝30°，
∴∠AA'D＝60°，
又∵∠CAD＝30°，
∴∠ADA'＝90°，
∴Rt△ADA'中，AA'＝＝＝，
由折叠可得，AP＝AA'＝；
②如图，当CD＝CA'＝4时，连接BD交AC于O，则
Rt△COD中，CO＝CD×cos30°＝4×＝2，
∴AC＝4，
∴AA'＝AC﹣A'C＝4﹣4，
由折叠可得，AP＝AA'＝；
故答案为：或．
三、（19小题8分，20小题14分，共22分）
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．
【分析】利用平方差公式、通分将原式化简成，代入x＝﹣1即可求出结论．
【解答】解：原式＝÷，
＝×，
＝．
∵x＝﹣1，
∴原式＝＝．
20．（14分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 72 度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 640 人．
（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（4）用2000乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可；
（5）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）14÷28%＝50，
所以本次共调查了50名学生；
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数＝360°×＝72°；
（3）最喜欢舞蹈类的人数为50﹣10﹣14﹣16＝10（人），
补全条形统计图为：
（4）2000×＝640，
估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人；
故答案为50；72；640；
（5）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，
所以抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率＝＝．
四、（21小题8分，22小题12分，共20分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
【分析】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，首先得出A点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D′点处，得出点D′的纵坐标为3，求出其横坐标，进而得出菱形ABCD平移的距离．
【解答】解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝5，
∴AD＝5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k＝xy＝4×8＝32，
∴k＝32；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D′点处，
过点D′做x轴的垂线，垂足为F′．
∵DF＝3，
∴D′F′＝3，
∴点D′的纵坐标为3，
∵点D′在的图象上
∴3＝，
解得：x＝，
即OF′＝，
∴FF′＝﹣4＝，
∴菱形ABCD平移的距离为．
22．（12分）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED＝3，cosF＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD＝90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE＝BE，所以∠BCE＝∠CBE，所以OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；
（2）CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，利用cosF＝＝，得出tanF＝＝，可计算出BF＝4，再利用勾股定理可计算出EF＝5，所以CF＝CE+EF＝8，然后在Rt△OCF中，利用正切定义可计算出OC．
【解答】（1）证明：连CB、OC，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∵E为BD的中点，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠CBE，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：CE＝BE＝DE＝3，
在Rt△BFE中，cosF＝，tanF＝＝，
∴BF＝4，
∴EF＝＝5，
∴CF＝CE+EF＝8，
在Rt△OCF中，tanF＝＝，
∴OC＝6，
即⊙O的半径为6．
五、（本题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式和直线BC解析式；
（2）将△COB沿直线BC平移，得到△EGF（∠EGF＝90°）．
①如图1，延长GF与抛物线交于点H，当x等于多少时，线段HF有最大值？最大值为多少？
②如图2，当点G平移到（﹣1，﹣1）点时，将△EGF绕点G旋转得到△NGM，MN与EG相交于点Q，当MG经过点B时，求点N的坐标．
【分析】（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，可得出抛物线解析式，再求出C点坐标即可求解；
（2）①设H（x，﹣x2﹣2x+3），则F（x，x+3），由二次函数的性质可得出答案；
②过点N作ND⊥EG垂足为D，证明△GFB≌△GNQ（ASA），由全等三角形的性质得出QG＝BG＝，QN＝BF＝2，根据勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0）两点分别代数入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x+3；
（2）①设H（x，﹣x2﹣2x+3），则F（x，x+3），
∴HF＝，
∴当x＝时，线段HF有最大值，最大值为；
②解：过点N作ND⊥EG垂足为D，
设DG＝x，
∵B（﹣3，0），点G（﹣1，﹣1），
∴BF＝，BG＝，
由旋转不变性得∠EFG＝∠MHG＝45°，FG＝NG，∠FGB＝∠NGE＝90°﹣∠BGE，
∴△GFB≌△GNQ（ASA），
∴QG＝BG＝，QN＝BF＝2，
∴DN2＝GN2﹣DG2＝9﹣x2，
∴，
∴，
解得x＝，
∴DN＝，
∴．
六、（本题满分12分）
24．（12分）已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连接AF，H为AF的中点，连接EH，正方形EBGF绕点B旋转．
（1）如图1，当点E落在AB边上、点G落在BC边上时，写出线段EH与CF的数量关系；
（2）如图2，当F点落在BC上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点E落在BC上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和SAS证明△AEF和△CGF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）延长FE交AB于点Q，利用正方形的性质解答即可；
（3）延长EH交AB于点N，利用正方形的性质和SAS证明△EBN≌△FEC，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】（1）解：，理由如下：
∵四边形ABCD，BEFG是正方形，
∴∠BEF＝∠CGF＝90°，AB＝BC，BE＝BG，EF＝FG，
∴AE＝CG，
在△AEF和△CGF中，
，
∴△AEF≌△CGF（SAS），
∴AF＝CF，
∵H为AF的中点，∠AEF＝90°，
∴EH＝AF，
∴EH＝CF；
（2）解：（1）中结论成立，延长FE交AB于点Q，
∵四边形EBGF是正方形，
∴EF＝EB，∠EFB＝∠EBF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BQF＝∠QBE＝45°，
∴QE＝EB，
∴QE＝EF，
又∵AH＝FH，
∴EH＝AQ，
∵∠BQF＝∠BFQ＝45°，
∴BQ＝FB，
∴QA＝CF，
∴EH＝CF；
（3）解：延长EH交AB于点N，
∵四边形EBGF是正方形，
∴EF∥BG，EF＝EB＝BG，
∵EF∥AG，
∴∠FEH＝∠ANH，∠EFH＝∠NAH．
又∵AH＝FH，
∴△ANH≌△FEH（AAS），
∴NH＝EH，AN＝EF＝BE．
∴EH＝EN，BN＝EC，
∵四边形ABCD和四边形EBGF都是正方形，
∴∠ABC＝∠CEF＝90°，EF＝EB，
∴△EBN≌△FEC（SAS），
∴NE＝CF，
∴EH＝CF．
七、（本题满分14分）
25．（14分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为n米．
（1）用含n的式子表示通道的面积x1；
（2）学校选定该项目由某园林公司承建，已知该园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示．
①求出修建花圃造价y2与花圃面积x2之间的函数关系式；并写出自变量x2的取值范围；
②设修建通道、花圃的总造价为y，求出y与通道面积x1之间的函数关系式，并写出自变量x1的取值范围；
③要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
【分析】（1）用含n的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；
（2）①根据y2＝kx2+b经过（800，4800）和（1200，6200），列方程组，即可得到结论；
②由已知图像得到y1＝40x1且x1+x2＝2400，根据花圃的总造价为y＝y1+y2即可得到结论；
③根据2≤n≤10，，求得384≤x1≤1600，得到函数解析式y＝5x1+104000，根据一次函数的性质即可的结论．
【解答】解：（1）由图可知，通道的面积x1；；
（2）①∵y2＝kx2+b经过（800，4800）和（1200，6200），
∴，
解得，
∴y2＝35x2+2000；
又∵y2＝ax2经过（800，4800），
∴48000＝800a，
解得a＝60，
∴y2＝60x2；
∴；
②由已知图像得y1＝40x1且x1+x2＝2400，
∴，
∴；
③∵2≤n≤10，，
∴384≤x1≤1600，
当384≤x1≤1600时，y＝5x1+104000，
∵k＝5＞0，
∴y随x1的增大而增大，
∴当x1＝384时，y有最小值105920，即总造价最低为105920元，
当x1＝384时，有﹣4n2+200n＝384，解得n1＝2，n2＝48（舍去），
所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为105920元．
八、（本题满分14分）
26．（14分）已知：如图，▱ABCD中，AD＝3cm，CD＝1cm，∠B＝45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）
解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成：1的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分得出AP＝DP，代入求出即可；
（2）求出AP和MN的值，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值；
（4）假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，证△APW∽△CNW，得出＝，代入求出即可．
【解答】解：（1）连接AQ，MD．
∵当AP＝PD时，四边形AQDM是平行四边形，
即3t＝3﹣3t，
t＝，
∴当t＝s时，四边形AQDM是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝t，
∵MN⊥BC，
∴∠MNB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BMN＝45°＝∠B，
∴BN＝MN，
∵BM＝1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN＝MN＝（1+t），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
∴y＝×AP×MN
＝•3t•（1+t）
即y与t之间的函数关系式为y＝t2+t（0＜t＜1）．
（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
此时t2+t＝×3×，
整理得：t2+t﹣1＝0，
解得t1＝，t2＝（舍去）
∴当t＝s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
（4）存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，
理由是：假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△APW∽△CNW，
∴＝，
即＝或＝，
∴t＝或，
∵两数都在0＜t＜1范围内，即都符合题意，
∴当t＝s或s时，NP与AC的交点把线段AC分成的两部分．
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