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河北省唐山市迁安市2021-2022学年七年级（下）期末数学试卷(含解析)
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这是一份河北省唐山市迁安市2021-2022学年七年级（下）期末数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省唐山市迁安市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共16个小题，每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将它的代号填在题后的括号内.）
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．6×10﹣7＝0.00000006
C．（﹣1）0＝1 D．25×55＝1010
2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是（ ）
A．AB B．AC C．DC D．BC
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．有且只有一条直线与已知直线垂直
C．相等的角是对顶角
D．两条平行线间的距离处处相等
4．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（ ）
A．15° B．20° C．65° D．95°
5．橘子是我们常见的一种水果，取5个大小均等的橘子放在同一简易天平秤，如图，则估计一个橘子的重量大约是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．45
6．计算+＝（ ）
A．2m+n B．m2+3n C．2m+3n D．2m+3n
7．用代入法解方程组时，用含y的代数式表示x正确的是（ ）
A．x＝1﹣y B．x＝ C．x＝y﹣1 D．x＝
8．如图，下列条件，不能判定AB∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠2+∠3+∠A＝180° D．∠4+∠1＝∠5
9．若m＞﹣6，则下列各式中错误的是（ ）
A．5m＞﹣30 B．m+1＞﹣5 C．﹣m＜1 D．1﹣m＜﹣5
10．将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD＝∠E＝45°，∠C＝30°，AE∥BC，求∠AFD的度数，以下是打乱的推理过程：
①∵∠E＝45°，②∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝45°+30°＝75°
③∵∠C＝30°，AE∥BC，④∴∠EAC＝∠C＝30°．
推理步骤正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④
11．如下图，边长为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（ ）
A．28 B．96 C．192 D．200
12．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CE，则下面的结论
①AC∥BE；
②∠ACB＝∠BED；
③BD＝AB；
④∠CBE＝∠BEC；
⑤CE＝BD；
正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的a4﹣⊕＝（a2﹣b）（a2+b）一部分弄污了，那么你认为式子中的⊕所对应的代数式是（ ）
A．b B．b2 C．2b D．b4
14．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ）
A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0
15．我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
16．在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是
（ ）
嘉琪：添加±8x，16x2+1±8x＝（4x±1）2；
陌陌：添加64x4，64x4+16x2+1＝（8x2+1）2；
嘟嘟：添加﹣1，16x2+1﹣1＝16x2＝（4x）2．
A．嘉琪和陌陌的做法正确
B．嘉琪和嘟嘟的做法正确
C．陌陌和嘟嘟的做法正确
D．三位同学的做法都不正确
二、填空题：（本大题共3个小题，17、18题每小题3分，19题每空2分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．计算：2952+10×295+52＝ ．
18．若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为 ．
19．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 对．
三、解答题：（本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．关于x，y的二元一次方程组；
（1）若a＝1，求二元一次方程组的解；
（2）若方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为 ．
21．如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）量出点C到河边的图上距离是 cm；
（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；
（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．
22．现定义运算“⊗”，对于任意有理数a、b，都有a⊗b＝2a﹣ab+b2，例如：3⊗2＝2×3﹣3×2+22＝4，请根据上述知识解决问题：
（1）化简：（x﹣1）⊗（2+x）；
（2）若（1）的代数式值大于﹣3而小于9，求x的取值范围．
23．动手操作
（1）如图1，在5×5的网格中，将线段AB向右平移，得到线段A'B'，连接AA'，BB'．
①线段AB平移的距离是 ；
②四边形ABB'A'的面积 ；
（2）如图2，在5×5的网格中，将折线ACB向右平移3个单位长度，得到折线A'C'B'．
③画出平移后的折线A'C'B'；
④连接AA'，BB'，多边形ACBB'C'A'的面积 ；
拓展延伸
（3）如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积 ．
24．某班级为表扬学习习惯良好学生，决定对他们进行物质奖励．班长来到某文具店发现，购买2个笔记本和3支碳素笔，共需10.5元；3个笔记本和2支碳素笔共需12元，班长手中共有班费50元．
（1）求每个笔记本和每支碳素笔的单价各多少元；
（2）如果每位获得奖励的学生都能获得1个笔记本和2支碳素笔，最多可以奖励多少名学生．
25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，如图1，∠BPD、∠B、∠D之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
小红：过点P作PH∥AB，如图2
∵AB∥CD（已知），
∴AB∥PH∥CD（ ）．
∴ ， （两直线平行，内错角相等）．
∵∠BPD＝∠BPH+∠DPH（已知），
∴∠BPD＝ （等量代换）．
请把小红的证明过程补充完整；
（2）小明：延长线段DP交AB于点H，根据平行线性质和三角形的相关知识得到三个角的关系，如图3．按小明的思路给出证明过程；
（3）在图4中，AB与CD相交，但由于纸张大小的原因，无法直接测量AB、CD的夹角大小．小亮测得∠PBD＝∠ABD，∠PDB＝∠CDB，∠BPD＝121°请通过计算及说理求AB与CD所夹锐角度数．
参考答案
一、选择题：（本大题共16个小题，每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将它的代号填在题后的括号内.）
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．6×10﹣7＝0.00000006
C．（﹣1）0＝1 D．25×55＝1010
【分析】利用负整数指数幂的意义，科学记数法的定义，零指数幂的意义，积的乘方的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
解：∵，
∴选项A不符合题意；
∵6×10﹣7＝0.0000006≠0.00000006，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣1）0＝1，
∴选项C符合题意；
∵25×55＝105≠1010，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是（ ）
A．AB B．AC C．DC D．BC
【分析】根据垂线段的性质，垂线段最短解答即可．
解：根据垂线段的性质可知：需要测量的线段是DC．
故选：C．
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．有且只有一条直线与已知直线垂直
C．相等的角是对顶角
D．两条平行线间的距离处处相等
【分析】利用平行线的性质、垂线的性质、对角线的性质及两条平行线的距离分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、只有两直线平行同位角才相等，故错误，是假命题；
B、平面内有无数条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题；
C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D、两条平行线间的距离处处相等，正确，是真命题．
故选：D．
4．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（ ）
A．15° B．20° C．65° D．95°
【分析】如图，延长EC交AB于H．利用三角形的外角的性质求出∠AEH，再证明∠DEB＝∠AEH即可解决问题．
解：如图，延长EC交AB于H．
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠EHB＝60°，
∵∠EHB＝∠A+∠AEH，∠A＝45°，
∴∠AEH＝60°﹣45°＝15°，
∵∠AEB＝∠CED，∠DEB+∠CEB＝∠AEH+∠CEB，
∴∠DEB＝∠AEH＝15°，
故选：A．
5．橘子是我们常见的一种水果，取5个大小均等的橘子放在同一简易天平秤，如图，则估计一个橘子的重量大约是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．45
【分析】设每个橘子重x，可得不等式组，根据求解结果可得此题结果．
解：设每个橘子重x，
可得不等式组，
解得25＜x＜33，
故选：B．
6．计算+＝（ ）
A．2m+n B．m2+3n C．2m+3n D．2m+3n
【分析】根据乘法的定义：m个2相加表示为2m，根据乘方的定义：n个3相乘表示为3n，由此求解即可．
解：+＝2m+3n，
故选：D．
7．用代入法解方程组时，用含y的代数式表示x正确的是（ ）
A．x＝1﹣y B．x＝ C．x＝y﹣1 D．x＝
【分析】把y看作已知数表示出x，判断即可．
解：用代入法解方程组时，
用含y的代数式表示x为：x＝y+1或x＝．
故选：D．
8．如图，下列条件，不能判定AB∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠2+∠3+∠A＝180° D．∠4+∠1＝∠5
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故A符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AB∥DC，
故B不符合题意；
∵∠2+∠3+∠A＝180°，
∴∠ADC+∠A＝180°，
∴AB∥DC，
故C不符合题意；
∵∠4+∠1＝∠5，
∴∠ABC＝∠5，
∴AB∥DC，
故D不符合题意；
故选：A．
9．若m＞﹣6，则下列各式中错误的是（ ）
A．5m＞﹣30 B．m+1＞﹣5 C．﹣m＜1 D．1﹣m＜﹣5
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
解：A、∵m＞﹣6，
∴5m＞﹣30，
故A不符合题意；
B、∵m＞﹣6，
∴m+1＞﹣5，
故B不符合题意；
C、∵m＞﹣6，
∴﹣m＜1，
故C不符合题意；
D、∵m＞﹣6，
∴﹣m＜6，
∴1﹣m＜7，
故D符合题意；
故选：D．
10．将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD＝∠E＝45°，∠C＝30°，AE∥BC，求∠AFD的度数，以下是打乱的推理过程：
①∵∠E＝45°，②∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝45°+30°＝75°
③∵∠C＝30°，AE∥BC，④∴∠EAC＝∠C＝30°．
推理步骤正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④
【分析】由平行线的性质可求∠EAC＝∠C＝30°，结合∠E＝45°，由三角形的外角性质即可求∠AFD的度数．
解：∵∠C＝30°，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝30°．
∵∠E＝45°，
∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝45°+30°＝75°．
故推理步骤为：③④①②．
故选：C．
11．如下图，边长为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（ ）
A．28 B．96 C．192 D．200
【分析】直接利用矩形的性质得出ab，a+b的值，进而将原式提取公因式ab分解因式，把数据代入得出答案．
解：∵边长为a、b的长方形周长为16，面积为12，
∴a+b＝8，ab＝12，
则a2b+ab2＝ab（a+b）
＝8×12
＝96．
故选：B．
12．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CE，则下面的结论
①AC∥BE；
②∠ACB＝∠BED；
③BD＝AB；
④∠CBE＝∠BEC；
⑤CE＝BD；
正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平移的性质得到结论．
解：∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AC∥BE，故①正确；△ACB≌△BED，AB＝CE＝BD，故③⑤正确；
∴∠ACB＝∠BED，度②正确；
∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，故④错误；
故选：C．
13．某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的a4﹣⊕＝（a2﹣b）（a2+b）一部分弄污了，那么你认为式子中的⊕所对应的代数式是（ ）
A．b B．b2 C．2b D．b4
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
解：a4﹣b2＝（a2﹣b）（a2+b），
则式子中的⊕所对应的代数式是b2．
故选：B．
14．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ）
A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0
【分析】先根据正方形的性质求出铁丝的总长度，再根据三角形三边关系判断即可．
解：由正方形的性质知，铁丝的总长度为1+1+1+1＝4，
根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，
∴AB边长度小于2，
故选：A．
15．我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意，得：．
故选：D．
16．在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是
（ ）
嘉琪：添加±8x，16x2+1±8x＝（4x±1）2；
陌陌：添加64x4，64x4+16x2+1＝（8x2+1）2；
嘟嘟：添加﹣1，16x2+1﹣1＝16x2＝（4x）2．
A．嘉琪和陌陌的做法正确
B．嘉琪和嘟嘟的做法正确
C．陌陌和嘟嘟的做法正确
D．三位同学的做法都不正确
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可．
解：16x2+1±8x＝（4x±1）2，故嘉琪说法正确；
64x4+16x2+1＝（8x2+1）2，故陌陌说法正确；
16x2+1﹣1不是完全平方公式，故嘟嘟说法错误；
故选：A．
二、填空题：（本大题共3个小题，17、18题每小题3分，19题每空2分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．计算：2952+10×295+52＝ 90000 ．
【分析】根据完全平方公式计算即可．
解：原式＝2952+2×295×5+52
＝（295+5）2
＝3002
＝90000．
故答案为：90000．
18．若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为 ﹣3 ．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p，
∴﹣2﹣1+0＝p，
解得：p＝﹣3．
故答案为：﹣3．
19．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 2 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 6 对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 n2﹣n 对．
【分析】先将图①②③中的对顶角对数求出来，观察规律即可求解．
解：当2条直线相交于一点时对顶角有1×2＝2对，
当3条直线相交于一点时对顶角有2×3＝6对，
当4条直线相交于一点时对顶角有3×4＝12对，
∴对顶角对数与直线条数的关系为：
对顶角对数＝（直线条数﹣1）×直线条数，
∴当n条直线相交于一点时对顶角有（n﹣1）n＝n2﹣n（对），
故答案为：2；6；n2﹣n．
三、解答题：（本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．关于x，y的二元一次方程组；
（1）若a＝1，求二元一次方程组的解；
（2）若方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为 a＜4 ．
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
（2）将所得x、y代入x+y＜2得关于a的不等式，解不等式即可得；
解：（1）由题意，
①×3﹣②，得：8x＝3，x＝，
将x＝代入①，得：+y＝2，
解得y＝，
所以方程组的解为；
（2）将①+②，得：4x+4y＝4+a，
则x+y＝1+，
根据题意，得：1+＜2，
解得：a＜4．
故答案为：a＜4．
21．如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）量出点C到河边的图上距离是 1.5 cm；
（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；
（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．
【分析】（1）点C到AB的图上距离即线段CD的长度，根据长度测量的方法量出即可；
（2）根据比例尺计算C到河边的实地距离即可；
（3）根据直角三角形的锐角互余可求出∠BAC，根据对顶角相等即可求出∠FAE即可．
解：（1）点C到AB的图上距离即线段CD的长度，测量可得点C到AB的图上距离是1.5厘米，
故答案为：1.5；
（2）1.5×10000＝15000（厘米），
15000厘米＝150米，
答：C到河边的实地距离为150米；
（3）∵AC⊥BC，∠ABC＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∴∠EAF＝∠BAC＝62°．
22．现定义运算“⊗”，对于任意有理数a、b，都有a⊗b＝2a﹣ab+b2，例如：3⊗2＝2×3﹣3×2+22＝4，请根据上述知识解决问题：
（1）化简：（x﹣1）⊗（2+x）；
（2）若（1）的代数式值大于﹣3而小于9，求x的取值范围．
【分析】（1）根据新定义列出算式2（x﹣1）﹣（x﹣1）（2+x）+（2+x）2，再进一步计算即可；
（2）结合（1）中的结果列出关于x的不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）原式＝2（x﹣1）﹣（x﹣1）（2+x）+（2+x）2
＝2x﹣2﹣（2x+x2﹣2﹣x）+4+4x+x2
＝2x﹣2﹣2x﹣x2+2+x+4+4x+x2
＝5x+4；
（2）由题意知﹣3＜5x+4＜9，
解不等式5x+4＞﹣3，得：x＞﹣，
解不等式5x+4＜9，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣＜x＜1．
23．动手操作
（1）如图1，在5×5的网格中，将线段AB向右平移，得到线段A'B'，连接AA'，BB'．
①线段AB平移的距离是 4 ；
②四边形ABB'A'的面积 8 ；
（2）如图2，在5×5的网格中，将折线ACB向右平移3个单位长度，得到折线A'C'B'．
③画出平移后的折线A'C'B'；
④连接AA'，BB'，多边形ACBB'C'A'的面积 7 ；
拓展延伸
（3）如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积 （ab﹣bm）米2． ．
【分析】（1）①根据平移的性质即可得到结论；
②根据平行四边形的面积公式即可得到结论；
（2）③根据平移的性质画出图形即可；
④根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论；
（3）利用平移法将小路左边部分向右平移m个单位，进而得出铺设小径后草坪（阴影部分）的面积．
解：（1）①线段AB平移的距离是4；
②四边形ABB'A'的面积＝4×2＝8；
故答案为：4，8；
（2）③如图所示，
多边形ACBB'C'A'的面积＝×+3×2＝7，
故答案为：7；
（3）由题意可得：铺设小径后草坪（阴影部分）的面积＝（a﹣m）•b＝（ab﹣bm）．
答：铺设小径后草坪（阴影部分）的面积为（ab﹣bm）米2．
故答案为：（ab﹣bm）米2．
24．某班级为表扬学习习惯良好学生，决定对他们进行物质奖励．班长来到某文具店发现，购买2个笔记本和3支碳素笔，共需10.5元；3个笔记本和2支碳素笔共需12元，班长手中共有班费50元．
（1）求每个笔记本和每支碳素笔的单价各多少元；
（2）如果每位获得奖励的学生都能获得1个笔记本和2支碳素笔，最多可以奖励多少名学生．
【分析】（1）设每个笔记本的单价是x元，每支碳素笔的单价是y元，根据“购买2个笔记本和3支碳素笔共需10.5元；购买3个笔记本和2支碳素笔共需12元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以奖励m名学生，根据购买奖品的总费用不超过50元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
解：（1）设每个笔记本的单价是x元，每支碳素笔的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个笔记本的单价是3元，每支碳素笔的单价是1.5元．
（2）设可以奖励m名学生，
依题意得：（3+1.5×2）m≤50，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为8．
答：最多可以奖励8名学生．
25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，如图1，∠BPD、∠B、∠D之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
小红：过点P作PH∥AB，如图2
∵AB∥CD（已知），
∴AB∥PH∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ）．
∴ ∠B＝∠BPH ， ∠D＝∠DPH （两直线平行，内错角相等）．
∵∠BPD＝∠BPH+∠DPH（已知），
∴∠BPD＝ ∠B+∠D （等量代换）．
请把小红的证明过程补充完整；
（2）小明：延长线段DP交AB于点H，根据平行线性质和三角形的相关知识得到三个角的关系，如图3．按小明的思路给出证明过程；
（3）在图4中，AB与CD相交，但由于纸张大小的原因，无法直接测量AB、CD的夹角大小．小亮测得∠PBD＝∠ABD，∠PDB＝∠CDB，∠BPD＝121°请通过计算及说理求AB与CD所夹锐角度数．
【分析】（1）过点P作PH∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）延长线段DP交AB于点H，根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可；
（3）根据三角形内角和定理求解即可．
解：（1）过点P作PH∥AB，如图2，
∵AB∥CD（已知），
∴AB∥PH∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠B＝∠BPH，∠D＝∠DPH，（两直线平行，内错角相等），
∵∠BPD＝∠BPH+∠DPH（已知），
∴∠BPD＝∠B+∠D（等量代换）．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；∠B＝∠BPH；∠D＝∠DPH；∠B+∠D；
（2）延长线段DP交AB于点H，如图3，
∵∠BPD是△BPH的外角，
∴∠BPD＝∠B+∠BHP，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BHP，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（3）∵∠BPD＝121°，∠BPD+∠PBD+∠PDB＝180°，
∴∠PBD+∠PDB＝59°，
∵∠PBD＝∠ABD，∠PDB＝∠CDB，
∴∠ABD+∠CDB＝59°×3＝177°，
∴AB与CD所夹锐角度数＝180°﹣177°＝3°．
2021-2022学年河北省唐山市迁安市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共16个小题，每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将它的代号填在题后的括号内.）
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．6×10﹣7＝0.00000006
C．（﹣1）0＝1 D．25×55＝1010
2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是（ ）
A．AB B．AC C．DC D．BC
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．有且只有一条直线与已知直线垂直
C．相等的角是对顶角
D．两条平行线间的距离处处相等
4．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（ ）
A．15° B．20° C．65° D．95°
5．橘子是我们常见的一种水果，取5个大小均等的橘子放在同一简易天平秤，如图，则估计一个橘子的重量大约是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．45
6．计算+＝（ ）
A．2m+n B．m2+3n C．2m+3n D．2m+3n
7．用代入法解方程组时，用含y的代数式表示x正确的是（ ）
A．x＝1﹣y B．x＝ C．x＝y﹣1 D．x＝
8．如图，下列条件，不能判定AB∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠2+∠3+∠A＝180° D．∠4+∠1＝∠5
9．若m＞﹣6，则下列各式中错误的是（ ）
A．5m＞﹣30 B．m+1＞﹣5 C．﹣m＜1 D．1﹣m＜﹣5
10．将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD＝∠E＝45°，∠C＝30°，AE∥BC，求∠AFD的度数，以下是打乱的推理过程：
①∵∠E＝45°，②∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝45°+30°＝75°
③∵∠C＝30°，AE∥BC，④∴∠EAC＝∠C＝30°．
推理步骤正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④
11．如下图，边长为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（ ）
A．28 B．96 C．192 D．200
12．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CE，则下面的结论
①AC∥BE；
②∠ACB＝∠BED；
③BD＝AB；
④∠CBE＝∠BEC；
⑤CE＝BD；
正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的a4﹣⊕＝（a2﹣b）（a2+b）一部分弄污了，那么你认为式子中的⊕所对应的代数式是（ ）
A．b B．b2 C．2b D．b4
14．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ）
A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0
15．我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
16．在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是
（ ）
嘉琪：添加±8x，16x2+1±8x＝（4x±1）2；
陌陌：添加64x4，64x4+16x2+1＝（8x2+1）2；
嘟嘟：添加﹣1，16x2+1﹣1＝16x2＝（4x）2．
A．嘉琪和陌陌的做法正确
B．嘉琪和嘟嘟的做法正确
C．陌陌和嘟嘟的做法正确
D．三位同学的做法都不正确
二、填空题：（本大题共3个小题，17、18题每小题3分，19题每空2分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．计算：2952+10×295+52＝ ．
18．若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为 ．
19．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 对．
三、解答题：（本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．关于x，y的二元一次方程组；
（1）若a＝1，求二元一次方程组的解；
（2）若方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为 ．
21．如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）量出点C到河边的图上距离是 cm；
（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；
（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．
22．现定义运算“⊗”，对于任意有理数a、b，都有a⊗b＝2a﹣ab+b2，例如：3⊗2＝2×3﹣3×2+22＝4，请根据上述知识解决问题：
（1）化简：（x﹣1）⊗（2+x）；
（2）若（1）的代数式值大于﹣3而小于9，求x的取值范围．
23．动手操作
（1）如图1，在5×5的网格中，将线段AB向右平移，得到线段A'B'，连接AA'，BB'．
①线段AB平移的距离是 ；
②四边形ABB'A'的面积 ；
（2）如图2，在5×5的网格中，将折线ACB向右平移3个单位长度，得到折线A'C'B'．
③画出平移后的折线A'C'B'；
④连接AA'，BB'，多边形ACBB'C'A'的面积 ；
拓展延伸
（3）如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积 ．
24．某班级为表扬学习习惯良好学生，决定对他们进行物质奖励．班长来到某文具店发现，购买2个笔记本和3支碳素笔，共需10.5元；3个笔记本和2支碳素笔共需12元，班长手中共有班费50元．
（1）求每个笔记本和每支碳素笔的单价各多少元；
（2）如果每位获得奖励的学生都能获得1个笔记本和2支碳素笔，最多可以奖励多少名学生．
25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，如图1，∠BPD、∠B、∠D之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
小红：过点P作PH∥AB，如图2
∵AB∥CD（已知），
∴AB∥PH∥CD（ ）．
∴ ， （两直线平行，内错角相等）．
∵∠BPD＝∠BPH+∠DPH（已知），
∴∠BPD＝ （等量代换）．
请把小红的证明过程补充完整；
（2）小明：延长线段DP交AB于点H，根据平行线性质和三角形的相关知识得到三个角的关系，如图3．按小明的思路给出证明过程；
（3）在图4中，AB与CD相交，但由于纸张大小的原因，无法直接测量AB、CD的夹角大小．小亮测得∠PBD＝∠ABD，∠PDB＝∠CDB，∠BPD＝121°请通过计算及说理求AB与CD所夹锐角度数．
参考答案
一、选择题：（本大题共16个小题，每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将它的代号填在题后的括号内.）
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．6×10﹣7＝0.00000006
C．（﹣1）0＝1 D．25×55＝1010
【分析】利用负整数指数幂的意义，科学记数法的定义，零指数幂的意义，积的乘方的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
解：∵，
∴选项A不符合题意；
∵6×10﹣7＝0.0000006≠0.00000006，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣1）0＝1，
∴选项C符合题意；
∵25×55＝105≠1010，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是（ ）
A．AB B．AC C．DC D．BC
【分析】根据垂线段的性质，垂线段最短解答即可．
解：根据垂线段的性质可知：需要测量的线段是DC．
故选：C．
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．有且只有一条直线与已知直线垂直
C．相等的角是对顶角
D．两条平行线间的距离处处相等
【分析】利用平行线的性质、垂线的性质、对角线的性质及两条平行线的距离分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、只有两直线平行同位角才相等，故错误，是假命题；
B、平面内有无数条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题；
C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D、两条平行线间的距离处处相等，正确，是真命题．
故选：D．
4．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（ ）
A．15° B．20° C．65° D．95°
【分析】如图，延长EC交AB于H．利用三角形的外角的性质求出∠AEH，再证明∠DEB＝∠AEH即可解决问题．
解：如图，延长EC交AB于H．
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠EHB＝60°，
∵∠EHB＝∠A+∠AEH，∠A＝45°，
∴∠AEH＝60°﹣45°＝15°，
∵∠AEB＝∠CED，∠DEB+∠CEB＝∠AEH+∠CEB，
∴∠DEB＝∠AEH＝15°，
故选：A．
5．橘子是我们常见的一种水果，取5个大小均等的橘子放在同一简易天平秤，如图，则估计一个橘子的重量大约是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．45
【分析】设每个橘子重x，可得不等式组，根据求解结果可得此题结果．
解：设每个橘子重x，
可得不等式组，
解得25＜x＜33，
故选：B．
6．计算+＝（ ）
A．2m+n B．m2+3n C．2m+3n D．2m+3n
【分析】根据乘法的定义：m个2相加表示为2m，根据乘方的定义：n个3相乘表示为3n，由此求解即可．
解：+＝2m+3n，
故选：D．
7．用代入法解方程组时，用含y的代数式表示x正确的是（ ）
A．x＝1﹣y B．x＝ C．x＝y﹣1 D．x＝
【分析】把y看作已知数表示出x，判断即可．
解：用代入法解方程组时，
用含y的代数式表示x为：x＝y+1或x＝．
故选：D．
8．如图，下列条件，不能判定AB∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠2+∠3+∠A＝180° D．∠4+∠1＝∠5
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故A符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AB∥DC，
故B不符合题意；
∵∠2+∠3+∠A＝180°，
∴∠ADC+∠A＝180°，
∴AB∥DC，
故C不符合题意；
∵∠4+∠1＝∠5，
∴∠ABC＝∠5，
∴AB∥DC，
故D不符合题意；
故选：A．
9．若m＞﹣6，则下列各式中错误的是（ ）
A．5m＞﹣30 B．m+1＞﹣5 C．﹣m＜1 D．1﹣m＜﹣5
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
解：A、∵m＞﹣6，
∴5m＞﹣30，
故A不符合题意；
B、∵m＞﹣6，
∴m+1＞﹣5，
故B不符合题意；
C、∵m＞﹣6，
∴﹣m＜1，
故C不符合题意；
D、∵m＞﹣6，
∴﹣m＜6，
∴1﹣m＜7，
故D符合题意；
故选：D．
10．将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD＝∠E＝45°，∠C＝30°，AE∥BC，求∠AFD的度数，以下是打乱的推理过程：
①∵∠E＝45°，②∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝45°+30°＝75°
③∵∠C＝30°，AE∥BC，④∴∠EAC＝∠C＝30°．
推理步骤正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④
【分析】由平行线的性质可求∠EAC＝∠C＝30°，结合∠E＝45°，由三角形的外角性质即可求∠AFD的度数．
解：∵∠C＝30°，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝30°．
∵∠E＝45°，
∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝45°+30°＝75°．
故推理步骤为：③④①②．
故选：C．
11．如下图，边长为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（ ）
A．28 B．96 C．192 D．200
【分析】直接利用矩形的性质得出ab，a+b的值，进而将原式提取公因式ab分解因式，把数据代入得出答案．
解：∵边长为a、b的长方形周长为16，面积为12，
∴a+b＝8，ab＝12，
则a2b+ab2＝ab（a+b）
＝8×12
＝96．
故选：B．
12．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CE，则下面的结论
①AC∥BE；
②∠ACB＝∠BED；
③BD＝AB；
④∠CBE＝∠BEC；
⑤CE＝BD；
正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平移的性质得到结论．
解：∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AC∥BE，故①正确；△ACB≌△BED，AB＝CE＝BD，故③⑤正确；
∴∠ACB＝∠BED，度②正确；
∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，故④错误；
故选：C．
13．某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的a4﹣⊕＝（a2﹣b）（a2+b）一部分弄污了，那么你认为式子中的⊕所对应的代数式是（ ）
A．b B．b2 C．2b D．b4
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
解：a4﹣b2＝（a2﹣b）（a2+b），
则式子中的⊕所对应的代数式是b2．
故选：B．
14．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ）
A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0
【分析】先根据正方形的性质求出铁丝的总长度，再根据三角形三边关系判断即可．
解：由正方形的性质知，铁丝的总长度为1+1+1+1＝4，
根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，
∴AB边长度小于2，
故选：A．
15．我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意，得：．
故选：D．
16．在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是
（ ）
嘉琪：添加±8x，16x2+1±8x＝（4x±1）2；
陌陌：添加64x4，64x4+16x2+1＝（8x2+1）2；
嘟嘟：添加﹣1，16x2+1﹣1＝16x2＝（4x）2．
A．嘉琪和陌陌的做法正确
B．嘉琪和嘟嘟的做法正确
C．陌陌和嘟嘟的做法正确
D．三位同学的做法都不正确
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可．
解：16x2+1±8x＝（4x±1）2，故嘉琪说法正确；
64x4+16x2+1＝（8x2+1）2，故陌陌说法正确；
16x2+1﹣1不是完全平方公式，故嘟嘟说法错误；
故选：A．
二、填空题：（本大题共3个小题，17、18题每小题3分，19题每空2分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．计算：2952+10×295+52＝ 90000 ．
【分析】根据完全平方公式计算即可．
解：原式＝2952+2×295×5+52
＝（295+5）2
＝3002
＝90000．
故答案为：90000．
18．若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为 ﹣3 ．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p，
∴﹣2﹣1+0＝p，
解得：p＝﹣3．
故答案为：﹣3．
19．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 2 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 6 对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 n2﹣n 对．
【分析】先将图①②③中的对顶角对数求出来，观察规律即可求解．
解：当2条直线相交于一点时对顶角有1×2＝2对，
当3条直线相交于一点时对顶角有2×3＝6对，
当4条直线相交于一点时对顶角有3×4＝12对，
∴对顶角对数与直线条数的关系为：
对顶角对数＝（直线条数﹣1）×直线条数，
∴当n条直线相交于一点时对顶角有（n﹣1）n＝n2﹣n（对），
故答案为：2；6；n2﹣n．
三、解答题：（本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．关于x，y的二元一次方程组；
（1）若a＝1，求二元一次方程组的解；
（2）若方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为 a＜4 ．
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
（2）将所得x、y代入x+y＜2得关于a的不等式，解不等式即可得；
解：（1）由题意，
①×3﹣②，得：8x＝3，x＝，
将x＝代入①，得：+y＝2，
解得y＝，
所以方程组的解为；
（2）将①+②，得：4x+4y＝4+a，
则x+y＝1+，
根据题意，得：1+＜2，
解得：a＜4．
故答案为：a＜4．
21．如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）量出点C到河边的图上距离是 1.5 cm；
（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；
（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．
【分析】（1）点C到AB的图上距离即线段CD的长度，根据长度测量的方法量出即可；
（2）根据比例尺计算C到河边的实地距离即可；
（3）根据直角三角形的锐角互余可求出∠BAC，根据对顶角相等即可求出∠FAE即可．
解：（1）点C到AB的图上距离即线段CD的长度，测量可得点C到AB的图上距离是1.5厘米，
故答案为：1.5；
（2）1.5×10000＝15000（厘米），
15000厘米＝150米，
答：C到河边的实地距离为150米；
（3）∵AC⊥BC，∠ABC＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∴∠EAF＝∠BAC＝62°．
22．现定义运算“⊗”，对于任意有理数a、b，都有a⊗b＝2a﹣ab+b2，例如：3⊗2＝2×3﹣3×2+22＝4，请根据上述知识解决问题：
（1）化简：（x﹣1）⊗（2+x）；
（2）若（1）的代数式值大于﹣3而小于9，求x的取值范围．
【分析】（1）根据新定义列出算式2（x﹣1）﹣（x﹣1）（2+x）+（2+x）2，再进一步计算即可；
（2）结合（1）中的结果列出关于x的不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）原式＝2（x﹣1）﹣（x﹣1）（2+x）+（2+x）2
＝2x﹣2﹣（2x+x2﹣2﹣x）+4+4x+x2
＝2x﹣2﹣2x﹣x2+2+x+4+4x+x2
＝5x+4；
（2）由题意知﹣3＜5x+4＜9，
解不等式5x+4＞﹣3，得：x＞﹣，
解不等式5x+4＜9，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣＜x＜1．
23．动手操作
（1）如图1，在5×5的网格中，将线段AB向右平移，得到线段A'B'，连接AA'，BB'．
①线段AB平移的距离是 4 ；
②四边形ABB'A'的面积 8 ；
（2）如图2，在5×5的网格中，将折线ACB向右平移3个单位长度，得到折线A'C'B'．
③画出平移后的折线A'C'B'；
④连接AA'，BB'，多边形ACBB'C'A'的面积 7 ；
拓展延伸
（3）如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积 （ab﹣bm）米2． ．
【分析】（1）①根据平移的性质即可得到结论；
②根据平行四边形的面积公式即可得到结论；
（2）③根据平移的性质画出图形即可；
④根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论；
（3）利用平移法将小路左边部分向右平移m个单位，进而得出铺设小径后草坪（阴影部分）的面积．
解：（1）①线段AB平移的距离是4；
②四边形ABB'A'的面积＝4×2＝8；
故答案为：4，8；
（2）③如图所示，
多边形ACBB'C'A'的面积＝×+3×2＝7，
故答案为：7；
（3）由题意可得：铺设小径后草坪（阴影部分）的面积＝（a﹣m）•b＝（ab﹣bm）．
答：铺设小径后草坪（阴影部分）的面积为（ab﹣bm）米2．
故答案为：（ab﹣bm）米2．
24．某班级为表扬学习习惯良好学生，决定对他们进行物质奖励．班长来到某文具店发现，购买2个笔记本和3支碳素笔，共需10.5元；3个笔记本和2支碳素笔共需12元，班长手中共有班费50元．
（1）求每个笔记本和每支碳素笔的单价各多少元；
（2）如果每位获得奖励的学生都能获得1个笔记本和2支碳素笔，最多可以奖励多少名学生．
【分析】（1）设每个笔记本的单价是x元，每支碳素笔的单价是y元，根据“购买2个笔记本和3支碳素笔共需10.5元；购买3个笔记本和2支碳素笔共需12元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以奖励m名学生，根据购买奖品的总费用不超过50元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
解：（1）设每个笔记本的单价是x元，每支碳素笔的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个笔记本的单价是3元，每支碳素笔的单价是1.5元．
（2）设可以奖励m名学生，
依题意得：（3+1.5×2）m≤50，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为8．
答：最多可以奖励8名学生．
25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，如图1，∠BPD、∠B、∠D之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
小红：过点P作PH∥AB，如图2
∵AB∥CD（已知），
∴AB∥PH∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ）．
∴ ∠B＝∠BPH ， ∠D＝∠DPH （两直线平行，内错角相等）．
∵∠BPD＝∠BPH+∠DPH（已知），
∴∠BPD＝ ∠B+∠D （等量代换）．
请把小红的证明过程补充完整；
（2）小明：延长线段DP交AB于点H，根据平行线性质和三角形的相关知识得到三个角的关系，如图3．按小明的思路给出证明过程；
（3）在图4中，AB与CD相交，但由于纸张大小的原因，无法直接测量AB、CD的夹角大小．小亮测得∠PBD＝∠ABD，∠PDB＝∠CDB，∠BPD＝121°请通过计算及说理求AB与CD所夹锐角度数．
【分析】（1）过点P作PH∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）延长线段DP交AB于点H，根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可；
（3）根据三角形内角和定理求解即可．
解：（1）过点P作PH∥AB，如图2，
∵AB∥CD（已知），
∴AB∥PH∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠B＝∠BPH，∠D＝∠DPH，（两直线平行，内错角相等），
∵∠BPD＝∠BPH+∠DPH（已知），
∴∠BPD＝∠B+∠D（等量代换）．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；∠B＝∠BPH；∠D＝∠DPH；∠B+∠D；
（2）延长线段DP交AB于点H，如图3，
∵∠BPD是△BPH的外角，
∴∠BPD＝∠B+∠BHP，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BHP，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（3）∵∠BPD＝121°，∠BPD+∠PBD+∠PDB＝180°，
∴∠PBD+∠PDB＝59°，
∵∠PBD＝∠ABD，∠PDB＝∠CDB，
∴∠ABD+∠CDB＝59°×3＝177°，
∴AB与CD所夹锐角度数＝180°﹣177°＝3°．
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