2021-2022学年北京五十七中高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年北京五十七中高二（下）期末数学试卷

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在的展开式中，若二项式系数的和为，则的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若、为实数，则下列命题正确(    )

A. 若且则
B. 若且，则
C. 若，则 
D. 若，则

4. 将函数图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则实数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列选项中，说法正确的是(    )

A. 若，则
B. 若向量满足，则与的夹角为钝角
C. ，的最小值为
D. “”是“”的必要条件

6. 等比数列的公比为，前项和为设甲：，乙：是递增数列，则(    )

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7. 已知函数，，记，，，则，，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知三角形外接圆的半径为为圆心，且，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，下面三个命题真命题的个数是(    )
   ；
   在区间单调递减
   满足的正整数的最小值为

A.  B.  C.  D.

10. 对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11. 复数满足，则______．
12. 数列是首项为，公差大于零的等差数列，，，成等比数列，则等差数列的通项公式为______，，则数列的前项和为______
13. 若实数、满足方程组，则的一个值是          ．
14. 已知函数函数
    若在区间内有且仅有一个零点，则的取值范围是______；
    若在区间内有且仅有两个不同的零点，则的取值范围是______．
15. 对任意两实数，，定义运算“”：给出下列三个结论：
    存在实数，，使得成立；
    函数的值域为；
    不等式的解集是．
    其中正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 在中，角，，的对边分别为，，，．
    求；
    再从条件、条件这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求．
    条件：，；
    条件：；
17. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于年在北京市和张家口举行为了调查学生对冬奥会知识的了解情况，某校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了名学生成绩百分制，并对数据成绩进行了整理、描述和分析下面给出了整理的相关信息：
    高一年级成绩分布表

从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于分的概率是多少？
分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取人，这三人中成绩不低于分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望？
若按照得分从高到底分为、、、、，学校为提高对冬奥会知识的了解情况需要在高一或高二进行一场讲座，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个级别，那么若要想高一和高二学生的平均分尽可能的高，需要在高一讲座还是高二讲座？

18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点．
    当点为线段的中点时，证明直线平面
    求证：；
    点在线段上，且，求直线与平面的夹角的正弦值

19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，右焦点为，且．
    Ⅰ求椭圆的方程；
    Ⅱ过点做互相垂直的两条直线，分别交直线：于，两点，直线，分别交椭圆于，两点，求证：，，三点共线．
20. 已知函数，，．
    若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
    若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围；
    若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围．
21. 已知集合，且中的元素个数大于等于若集合中存在四个不同的元素，，，，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．
    分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
    已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得若，求证：，，，，是等差数列；
    若集合是“独立的”，求证：存在，使得．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
，，
则．
故选：．
先求出集合，，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：二项式系数的和为，所以，
展开式的通项为，
令，则，
所以的系数为．
故选：．
根据二项式系数的和为，可得，再利用展开式的通项，即可得解．
本题考查二项式定理，熟练掌握展开式的通项，二项式系数的性质是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，取，，满足且，但此时，故选项A错误；
对于，取，，满足且，但此时，故选项B错误；
对于，取，满足，但此时，故选项C错误；
对于，由于，则，于是，故选项D正确．
故选：．
取反例即可判断选项ABC的正误；对于，易知，再由不等式的性质可判断．
本题考查不等式的基本性质，考查推理能力及运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，正弦函数的图象性质，属于基础题．
由条件根据诱导公式、函数的图象变换规律，求得的解析式，利用正弦函数的单调性即可得解． 
【解答】
解：将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
令，，解得：，，
故当时，在区间上单调递增，
由于在区间上单调递增，
可得：，即实数的最大值为．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：对于，若，，也成立，但，故A错误；
对于，，夹角为时，，但夹角不是钝角，故B错误；
对于，，当且仅当时，等号成立．此时无实数解，故C错误；
对于，一定可以推出，故“”是“”的必要条件，故D正确．
故选：．
对于，举反例即可，对于，根据基本不等式的性质判断即可，对于，根据必要条件判断即可．
本题考查命题的判断，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查数列的函数特性，充分条件和必要条件，属于中档题．
根据等比数列的求和公式和充分条件和必要条件的定义即可求出．

【解答】

解：若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
当时，是递增数列，且满足
当时，
，
则，
，
若是递增数列，
，
则，，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：很显函数是定义在上的偶函数，
由于的导函数单调递增，
且时，，则，
函数在上单调递增，
故函数在上单调递增，
，
，，
故选：．
首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后根据函数的单调性以及奇偶性求解即可．
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，属于中等题．
 

8.【答案】 

【解析】解：三角形外接圆的半径为为圆心，，
为的中点，故是直角三角形，为直角．
又，
，，
，
，

故选：
由题意可得三角形是以角为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查直角三角形中的边角关系，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，针对函数的性质，只须考虑当时的函数值即可，

如图，在单位圆中，有，连接，则，
设弧的长为，则，
，即，
又，
，
，故正确；
对于，作出图象，如下图：

根据图象，在区间单调递减，故正确；
对于，当时，，，根据的图象，不满足，
当时，，，根据的图象，不满足，

当时，，，根据的图象，不满足，
当时，，，根据的图象，满足，
故满足的整数的最小值为，故错误．
故选：．
对于，作出单位圆图象，得到，进而，对于，作出图象，即可判断，对于，结合图象，逐次讨论，，直到找到满足的整数的最小值即可．
本题考查命题的判断，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题属于新定义题，准确理解“阶准偶函数”概念是解题关键，属于中档题．
根据新定义，分类讨论，即可求出的取值范围．

【解答】

解：函数是“阶准偶函数”，则集合中恰有个元素，
当时，，则，即，解得或，此时函数是“阶准偶函数”，
当，如图所示

，由于，当无解，
所以，即，解得或，
此时函数是“阶准偶函数”，则，即，
当时，如图所示

由于有无数个解，故函数不是“阶准偶函数”，
综上所述的取值范围为．
故选B．

11.【答案】 

【解析】解：，
，
 故
，
故，
故答案为：
由模的定义知，再利用复数的运算化简即可．
本题考查了复数的定义及运算，属于基础题．
 

12.【答案】  

【解析】解：设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，
所以，
因为，
所以，
解得，负值舍去，
所以；
所以，
其前项和，
故答案为：；．
设等差数列的公差为，，根据条件列出方程，求出公差，代入通项公式计算即可；
求出，代入等比数列的前项和公式计算可得结果．
本题考查了等差数列的通项公式以及等比数列的求和计算，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用同角三角函数基本关系化简和辅助角公式，属于较易题．
由题意结合同角三角函数基本关系和辅助角公式，求得，进而求得的取值集合，即可得到的一个值．

【解答】

解：实数、满足方程组，
则
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以或，
所以满足或，，
故的一个值可以是．
故答案为：．

14.【答案】  ， 

【解析】解：由，即，
分别作出函数和的图象如图：

由图象可知，表示过定点的直线，
当过时，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的的取值范围是，
当过时，，解得，此时两个函数有两个交点，
当与相切时，两个函数只有一个交点，
此时，
即，
当时，，只有解，
当，由得，此时直线和相切，
故要使函数有一个零点，
则或，
要使函数有两个零点，
则或，
故答案为：；，
由，即，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查函数零点的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，故错误；
根据绝对值不等式定理可知；
即正确；
函数；
最大值为；故错误；
根据绝对值不等式的性质可转化为，解得：解集是，故正确；
故答案为：．
新定义实际为的绝对值的倍，根据绝对值定理和性质进行判断即可．
本题主要考查新定义的应用和绝对值函数的性质，以及不等式的求解，属于中档题目．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
又，；
若选条件：，
，
，则，
故无解；
若选条件：，，
，
，
，
，
又，
，，
，
． 

【解析】根据已知条件代入二倍角的余弦公式，即可求解；
若选条件：根据余弦定理得到，则，无解；
若选条件：根据，，得到，又根据正弦定理得到，解得，后代入正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：设从高一样本中抽取一人成绩不低于分为事件，从高二抽取一人成绩不低于分为事件；
两人成绩都不低于分的概率为：；
由题意可知从高一年级中抽取一人此人成绩不低于分的概率为；从高二年级中抽取一人此
人成绩不低于分的概率为；的可取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列如下表

所以．
需要在高二讲座． 

【解析】设从高一样本中抽取一人成绩不低于分为事件，从高二抽取一人成绩不低于分为事件；然后求解概率即可．
的可取值为，，，，求出概率，得到分布列，然后求解期望．
利用已知条件判断讲座所在位置．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

18.【答案】解：当点为线段的中点时，取的中点，连接，，
则，且，又为的中点，底面是边长为的菱形，
，且，，且，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
连接，底面是边长为的菱形，，
又为正三角形为正三角形，为的中点，
，，又，
平面，又平面，
，又，
；
平面平面，为正三角形，为的中点，
，平面平面，平面，
底面，
建立如图的空间右手直角坐标系，根据题意可得：
，，，，，
又，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
，设直线与平面的夹角为，
则，
直线与平面的夹角的正弦值为． 

【解析】当点为线段的中点时，取的中点，连接，，先证明四边形为平行四边形，从而得，从而可得直线平面；
先证明平面，从而得，又，从而得；
建系，将线面角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题，最后再利用向量夹角公式计算即可求解．
本题考查线面平行的判定定理，线面垂直判定定理，线面角，坐标法，空间向量夹角公式的利用，属中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ设椭圆的半焦距为，依题意：，解得：，
所以，
所以椭圆的方程是．
Ⅱ证明：由题意可知，直线，的斜率均存在且不为，
设，的斜率分别为，，则．
则直线的方程为，则点坐标为，，设直线的方程为，
由得：
因为是方程的根，
所以，．
同理可得．
当，即时，可得
又的坐标为 所以 ，，三点共线；
当，即，时，
，
所以所以 ，，三点共线，
综上所述，，三点共线 

【解析】Ⅰ根据离心率和，可得，，从而求出椭圆的方程；
Ⅱ联立直线和椭圆的方程，表示出，坐标，求出直线，的斜率，判断即可
本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系，考查直线的斜率问题，是一道综合题．
 

20.【答案】解：，
，即曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线与直线垂直，
；
若方程在上恰有两个不同的实数根，
即在上恰有两个不同的实数根，
当时，等式不成立，
故在上有个实数根，
令，则恒成立，
故在和上均为增函数；
当时，；
当时，，
综上可得：
由中得：
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数；
故当时，函数取最小值，
当时，函数
当时，函数；
当时，由得：，
由对任意，总存在唯一的，使得得：
，，
解得：；
当时，由得：，
满足对任意，总存在唯一的，使得
当时，由得：，
由对任意，总存在唯一的，使得得：
，，
解得：；
综上可得： 

【解析】本题考查的知识点是利用导数研究函数最值，直线的位置关系，恒成立问题与存在性问题，难度较大．
若曲线在点处的切线与直线垂直，则，解得的值；
若方程在上恰有两个不同的实数根，故在上有两个实数根，进而得到答案；
若对任意，总存在唯一的，使得，则的值域满足，进而得到答案．
 

21.【答案】解：是“关联的”，关联子集有，，．
是“独立的”．
证明：记集合的含有四个元素的子集分别为：，，，，，
所以，至多有个“关联子集”，
若为“关联子集”，则，不是“关联子集”，否则，
同理可得若为“关联子集”，则，不是“关联子集”，
所以集合没有同时含有元素，的“关联子集”，与已知矛盾．
所以一定不是“关联子集”，
同理一定不是“关联子集”，
所以集合的“关联子集”至多为，，，
若不是“关联子集”，则此时集合一定没有同时含有元素，的“关联子集”，与已知矛盾；
若不是“关联子集”，则此时集合一定没有同时含有元素，的“关联子集”，与已知矛盾；
若不是“关联子集”，则此时集合一定没有同时含有元素，的“关联子集”，与已知矛盾；
所以，，都是“关联子集”，
所以有，即；
，即；
，即；
所以，所以，，，，是等差数列．
证明：不妨设集合，，，，，，且，
记，
因为集合是“独立的”，所以容易知道中恰好有个元素，
假设结论错误，即不存在，使得，
则任取，，因为，所以，
所以，
所以任取，，任取，，
所以，且中含有个元素，
若，则必有，成立，
因为，所以一定有成立，所以，
所以，而中含有个元素，
所以，所以，，
因为，所以，所以有，矛盾；
若，则，而中含有个元素，所以，
所以，，
因为，所以，，
因为，所以，
所以，所以，矛盾，
综上，可知假设不成立，原命题成立． 

【解析】本题属于信息题，考查集合的新定义问题，反证法，等差数列，组合，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，属于困难题．
根据题意，利用新定义即可求解；
根据题意，集合的含有四个元素的子集分别为：，，，，，进而利用反证法和等差数列的定义进行证明；
不妨设集合，，，，，，且，记，进而利用反证法求解；