2022北京海淀高一（上）期末数学（教师版）

2022北京海淀高一（上）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合，1，2，3，，，则　　

A．， B． C． D．，1，

2．命题“，都有”的否定为　　

A．，使得 B．，使得 

C．，都有 D．，使得

3．已知，则　　

A． B． 

C． D．

4．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是　　

A． B． C． D．

5．米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是　　

A． B． 

C． D．

6．下列函数中，在上为增函数的是　　

A． B． 

C． D．

7．已知某产品的总成本（单位：元）与年产量（单位：件）之间的关系为，设该产品年产量为时的平均成本为（单位：元件），则的最小值是　　

A．30 B．60 C．900 D．1800

8．逻辑斯蒂函数二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数的说法错误的是　　

A．函数的图象关于点，对称 

B．函数的值域为 

C．不等式的解集是 

D．存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根

9．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是　　

A．甲得分的极差大于乙得分的极差 

B．甲得分的分位数大于乙得分的分位数 

C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数 

D．甲得分的标准差小于乙得分的标准差

10．已知函数，为实数），．若方程有两个正实数根，，则的最小值是　　

A．4 B．2 C．1 D．

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11．函数的定义域是 　　．

12．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则的值是 　　．

13．定义域为，值域为的一个减函数是 　　．

14．已知函数，若，则的取值范围是 　　．

15．已知函数且，给出下列四个结论：

①存在实数，使得有最小值；

②对任意实数且，都不是上的减函数；

③存在实数，使得的值域为；

④若，则存在，使得．

其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．（9分）已知集合，．

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围．

17．（10分）已知函数且，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，说明理由；

（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；

（Ⅲ）若不大于（2），直接写出实数的取值范围．

条件①：，；

条件②：，．

18．（10分）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．

（Ⅰ）写出，的值；

（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；

（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论）

19．（11分）已知定义域为的函数，若存在实数，使得，都存在满足，则称函数具有性质（a）．

（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质，说明理由；

①；

②，．

（Ⅱ）若函数的定义域为，且具有性质，则“存在零点”是“”的 　　条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”

（Ⅲ）若存在唯一的实数，使得函数，，具有性质（a），求实数的值．

选做题：（本题满分0分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）

20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖．屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用．

当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度” 的峰值（最大值）太低，导致药物无效．后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用．已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值．人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变，现用表示时间（单位：，在时人体服用青蒿素药片；用表示青蒿素的血药浓度（单位：，根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，是的函数．已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值．请根据以上描述完成下列问题：

（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是 　　；

①

②

③

④

（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于，则称青蒿素药片是合格的．基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片 　　；（填“合格”、“不合格”

（Ⅲ）记血药浓度的峰值为，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是 　　．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】利用交集的定义直接求解．

【解答】解：集合，1，2，3，，，

，．

故选：．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】根据题意，由全称命题和特称命题的关系，可得答案．

【解答】解：根据题意，命题“，都有”是全称命题，

其否定为：，使得．

故选：．

【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．

3．【分析】根据不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出正确的选项．

【解答】解：，

，．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

4．【分析】判断函数的单调性，求出（2），（3）函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．

【解答】解：函数，是减函数，又（2），

（3），

可得（2）（3），由零点判定定理可知：函数，包含零点的区间是：．

故选：．

【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．

5．【分析】根据对立事件和独立事件求概率的方法可求得答案．

【解答】解：该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，

三次交接棒不失误的概率分别为，，，

假设三次交接棒相互独立，

则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件和独立事件求概率的方法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域和单调性，即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，是指数函数，在上为减函数，不符合题意，

对于，，是二次函数，在上为减函数，不符合题意，

对于，，在上为增函数，符合题意，

对于，，是对数函数，定义域为，不符合题意，

故选：．

【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．

7．【分析】先求出的解析式，然后根据基本不等式即可求解．

【解答】解：由题意可得该产品年产量为时的平均成本为，

则，当且仅当，即时取等号，

此时的最小值为60，

故选：．

【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．

8．【分析】选项，代入，计算和，可得对称性；

选项，由和分式函数的值域可求出结果；

选项，判断函数的单调性即可判断正误．

【解答】解：对于，，，

所以函数的图象关于点对称，又，所以函数的图象关于点，对称，故正确；

对于，易知，所以，则，即函数的值域为，故正确；

对于：由容易判断，函数在上单调递增，且，所以不等式的解集是，故正确；

对于：因为函数在上单调递增，所以方程不可能有两个不相等的实数根，故错误．

故选：．

【点评】本题考查了函数的基本性质（对称性、单调性、值域），属于基础题．

9．【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解．

【解答】解：对于，乙组数据最大值为29，最小值为5，极差为24，

甲组数据最大值小于29，最小值大于5，故错误；

对于，甲得分的分位数是，

乙得分的分位数是17，故正确；

对于，甲组具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故错误；

对于，乙组数据更集中，标准差更小，故错误．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10．【分析】根据题意，由二次函数的性质可得的对称轴为，由此可得，又由，由基本不等式的性质分析可得答案．

【解答】解：根据题意，函数为二次函数，

若，则的对称轴为，

若方程有两个正实数根，，则有，

则，

当且仅当时等号成立，即的最小值是2，

故选：．

【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11．【分析】根据对数函数成立的条件建立不等式进行求解即可．

【解答】解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据对数函数成立的条件是解决本题的关键，是基础题．

12．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．

【解答】解：当时，，且是奇函数，

，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，是基础题．

13．【分析】根据题意，结合指数函数的性质以及函数图象的变换，分析可得答案．

【解答】解：根据题意，要求函数可以为指数函数变换形式，

如；

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题考查函数解析式的求法，注意函数的定义域、值域和单调性．

14．【分析】由函数的定义域可得，再分，，三种情况讨论，结合对数的运算性质即可求出结果．

【解答】解：函数的定义域为，

，，

①当时，，不符合题意，

②当时，，

则等价于，

，

，即，

，

，此方程无解，

③当时，，

则等价于，

，

，即，

，

，即，

则符合题意，

综上所述，的取值范围是．

【点评】本题主要考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质，属于中档题．

15．【分析】举例说明①正确；由是上的减函数列式求解的范围判断②；由的值域为列关于的不等式组，求解的范围判断③；画出图形，数形结合判断④．

【解答】解：对于①，当时，函数，函数有最小值，故①正确；

对于②，若是上的减函数，则，解得，

对任意实数且，都不是上的减函数，故②正确；

对于③，若的值域为，需，得，故③错误；

对于④，若，函数的图象如图所示：

直线与曲线一定有交点，即存在，使得，故④正确．

正确结论的序号是①②④．

故答案为：①②④．

【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．【分析】（Ⅰ）求出集合，，利用交集的定义求出；

（Ⅱ）由集合或，，，得到，由此求出的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）集合或，．

当时，，

或；

（Ⅱ）集合或，，，

，解得，

实数的取值范围是，．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

17．【分析】（Ⅰ）定义域为，代入化简可得出与的关系，从而判断奇偶性；

（Ⅱ）任取，，且，作差判断的正负，可得出单调性；

（Ⅲ）根据奇偶性和单调性可得到与2的不等关系，求解可得的取值范围．

【解答】解：选择条件①：

（Ⅰ），，

函数是偶函数，理由如下：

的定义域为，对任意，则，

，

函数是偶函数．

（Ⅱ）在上是增函数．

证明如下：

任取，，且，则，

，，，

，

，函数在上是单调增函数．

（Ⅲ）实数的取值范围是，，．

选择条件②：，，

（Ⅰ）函数是奇函数，理由如下：

的定义域为，对任意，则，

，

函数是奇函数．

（Ⅱ）在上是减函数．

证明如下：

任取，，且，

，，

，

，函数在上是单调减函数．

（Ⅲ）实数的取值范围是，，．

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与求法，考查函数的奇偶、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18．【分析】（Ⅰ）根据题意列出方程组，由此能求出，的值．

（Ⅱ）为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案．

（Ⅲ）根据样本中甲、乙产品中一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，

解得，．

（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为，，，，乙生产线的2件二等品为，，

从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，分别为：

，，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，，，

记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果只有一个，是，，

至少有1件为甲生产线产品的概率为．

（Ⅲ）．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19．【分析】（Ⅰ）①根据举例说明当时，不存在，从而函数不具有性质；

②取，得到，从而，具有性质；

（Ⅱ）分存在零点，证明，，，具有性质（1）时，，由此推导出“存在零点”是“”的充分而不必要条件；

（Ⅲ）令函数，，的值域为，，，的值域，．若函数有性质（a），则对，，，，使得成立，所以，分情况讨论的取值范围，能求出实数的值．

【解答】解：（Ⅰ）①函数不具有性质．理由如下：

对于，，，，

不存在满足，

函数不具有性质．

②函数，具有性质．理由如下：

对于，取，则，

，

函数，具有性质．

（Ⅱ）“存在零点”是“”的充分而不必要条件．理由如下：

若存在零点，令，，，则，

，，取，则，且，

具有性质（1），但，．

若，具有性质（1），

取，则存在，使得，

，存在零点，

综上，“存在零点”是“”的充分而不必要条件．

故答案为：充分而不必要．

（Ⅲ）记函数，，的值域为，函数，，的值域为，，

存在唯一的实数，使得函数成立，．

当时，，，，其值域，，

由，得．

当，且时，，，是增函数，

其值域，，

由，得，舍去．

当时，，，的最大值为，最小值为4，

的值域为，．

由，得，舍去．

当时，，，的最大值为，最小值为（2），

的值域为，，

由，得（舍去．

【点评】本题考查函数性质的判断，考查充分条件、必要条件、充要条件、实数值的求法，考查函数性质、最值、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

选做题：（本题满分0分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）

20．【分析】（Ⅰ）先分析函数 同时满足的条件，再逐一对每个函数进行验证；

（Ⅱ）作差比较进行判断；

（Ⅲ）令．，分段解不等式，再取并集即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得函数同时满足以下条件：

．函数在，上单调递增，在上单调递减；

．当时，函数取得最大值；函数的最小值非负；

．函数是一个连续变化的函数，不会发生骤变．

选择①：，

因为（3）不满足条件，

所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；

选择②：

当时，，

当时，函数取得最大值，不满足条件，

所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；

选择③：，

因为，

，

所以不满足条件，

所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；

选择④：，

因为，

且当时，，

所以同时满足三个条件，

即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；

综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④．

（Ⅱ）由 （Ⅰ）得：函数④：，

因为，

即血药浓度的峰值大于，

所以此青蒿素药片合格，

即答案为：合格；

（Ⅲ）当时，令．，

所以，

即，

即，

解得或，

即

当时，令，

则，

解得，

即；

综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间为．

【点评】本题考查了函数模型在实际中的应用，属于中档题．