2021北京朝阳高一（上）期末数学（教师版）

2021北京朝阳高一（上）期末

数    学

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．已知集合，，，0，1，，则　　

A．， B．， C．，0， D．，0，1，

2．命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

4．函数的零点所在的区间是　　

A． B． C． D．

5．已知函数．若，则　　

A． B． 

C． D．

6．已知，，，则　　

A． B． C． D．

7．已知函数可表示为　　

则下列结论正确的是　　

A．（4） B．的值域是，2，3， 

C．的值域是， D．在区间，上单调递增

8．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．声强级（单位：与声强度（单位：之间的关系为，其中基准值．若声强级为时的声强度为，声强级为时的声强度为，则的值为　　

A．10 B．30 C．100 D．1000

9．已知，均为第一象限角，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．设函数，若存在实数，，，，满足当时，，则正整数的最小值为　　

A．505 B．506 C．507 D．508

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．函数的定义域为　　．

12．已知，，且，则的最大值为　　．

13．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则　　．

14．若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为　　．

15．设，给出下列四个结论：

①；

②；

③；

④．

其中所有正确结论的序号是　　．

16．已知函数．

①当时，的值域为　　；

②若对于任意，，，（a），（b），（c）的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

17．（13分）已知全集，集合，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设非空集合，，若，求实数的取值范围．

18．（13分）已知函数只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④．

（Ⅰ）请指出同时满足的三个条件，并说明理由；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）求的单调递增区间．

19．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；

（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值．

20．（15分）设函数，且（2）．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；

（Ⅲ）若关于的方程恰有三个实数解，写出实数的取值范围（不必证明）．

21．（15分）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且当，时，．

（Ⅰ）求（2）的值；

（Ⅱ）设函数．

（ⅰ）证明函数的图象关于点对称；

（ⅱ）若对任意，，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．【分析】进行交集的运算即可．

【解答】解：，，，0，1，，

，．

故选：．

【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．

【解答】解：命题是全称命题，

则否定是特称命题，即，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，是基础题．

3．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可．

【解答】解：．是奇函数，当时，函数为增函数，满足条件

．函数的定义域为，，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．

．当时，函数为减函数，不满足条件．

．函数的定义域为，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．

故选：．

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．

4．【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可．

【解答】解：函数是连续函数，

（2），

（3），

（2）（3），

由零点判定定理可知函数的零点在．

故选：．

【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．

5．【分析】根据奇偶性的定义先判断函数为偶函数，然后利用，得到，再结合为偶函数即可得到答案．

【解答】解：函数，

所以，

故函数为偶函数，

又因为，

所以，

则，

所以．

故选：．

【点评】本题考查了函数性质的应用，涉及了函数奇偶性的判断，解题的关键是判断出函数为偶函数，属于基础题．

6．【分析】根据指数函数的单调性可得、、1的大小，利用对数函数的单调性可得与1的大小，从而可得结论．

【解答】解：根据在上单调递减得，

根据在上单调递减得，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查了指数式、对数式的大小，以及指数函数、对数函数的性质，同时考查了学生分析问题的能力，属于基础题．

7．【分析】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可．

【解答】解：由题意知（4），得（4）（3），故错误，

函数的值域为，2，3，，故正确，错误，

在定义域上不单调，故错误，

故选：．

【点评】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域和值域的关系是解决本题的关键，是基础题．

8．【分析】根据题意，得到且，然后利用对数的运算性质和运算法则进行求解，即可得到答案．

【解答】解：根据题意，声强级（单位：与声强度（单位：之间的关系为，

则有且，

故，

则，

所以．

故选：．

【点评】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了对数的运算，解题关键是利用对数的运算法则和运算性质对等式进行变形，属于基础题．

9．【分析】举例说明前面不能推后面，后面不能推前面，结合充分条件、必要条件的定义进行判定即可．

【解答】解：取、，、均为第一象限角，且，但，

、均为第一象限角，，取、，但，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：．

【点评】本题主要考查了三角不等式，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．

10．【分析】利用函数，得到的值域，从而得到，然后迭加得到，根据选项进行判断即可．

【解答】解：由的值域可得，，即，

故，即，

当时，，

当时，，

故正整数的最小值为507．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数值域的应用，解题的关键是构造绝对值相加的等式，属于中档题．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质，求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意，得，解得，

故函数的定义域是，

故答案为：．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是基础题．

12．【分析】根据基本不等式可知，，进而根据的值求得的最大值．

【解答】解：因为，，且，

所以由基本不等式可得，，

当且仅当时，等号成立，

故最大值为1．

故答案为：1．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力，属于基础题．

13．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．

【解答】解：一个角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，

．

故答案为：．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

14．【分析】余弦函数的图象的对称性，求得常数的一个取值．

【解答】解：函数的图象关于直线对称，

，，令，可得常数，

故答案为：．

【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．

15．【分析】直接利用不等式的性质判定①②④的结论，直接利用指数函数的单调性判定③的结论．

【解答】解：由于，故，

对于①：由于，，所以，，故，故①正确；

对于②：当，时，所以，故②错误；

对于③：由于函数为单调递增函数，所以，故③正确；

④由于，所以，，整理得，所以，故④正确．

故答案为：①③④．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，指数函数的单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

16．【分析】①，变形可得，由指数函数的性质可得，求出的取值范围，即可得答案；

②，由三角形三边关系可得（a）（b）（c）对于，，都恒成立，分三种情况讨论，利用函数的单调性求出函数的值域，然后讨论转化为（a）（b）的最小值与（c）的最大值的不等式，进而求出实数的取值范围．

【解答】解：①当时，，

变形可得，则，解得，

即函数的值域为，

②根据题意，，

若（a），（b），（c）的值总可作为某一个三角形的三边长，

则（a）（b）（c）对于，，都恒成立，

当，，此时，（a）（b）（c），构成一个等边三角形的三边长，满足条件．

当，在上是减函数，

则有（a），同理（b），（c），

由（a）（b）（c），可得，解得．

当，在上是增函数，（a），

同理（b），（c），

由（a）（b）（c），可得，

解得，则，

综上，的取值范围为，．

【点评】本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数单调性的判断以及值域的计算，属于难题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

17．【分析】（Ⅰ）求出集合，，进而求出，由此能求出．

（Ⅱ）由非空集合，，，列出不等式组，能求出实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）全集，集合，

．

或，

．

（Ⅱ）非空集合，，，

或，

解得或．

实数的取值范围是，，．

【点评】本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．【分析】（Ⅰ）若函数满足条件③，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件③；

（Ⅱ）由条件①，利用周期公式可求，由条件②，可得，由条件④，可得，结合范围，可求，可得函数解析式；

（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则，

这与，矛盾，故函数不能满足条件③，

所以函数只能满足条件①，②，④，

（Ⅱ）由条件①，可得，

又因为，可得，

由条件②，可得，

由条件④，可得，

又因为，

所以，

所以；

（Ⅲ）由，，

可得：，，

可得的单调递增区间为，．

【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．

19．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的变换，变形成正弦型函数，进一步求出结果；

（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值；

（Ⅲ）利用函数的图象的平移变换的应用和函数的对应关系的应用求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）函数．

所以．

（Ⅱ）由于，

所以，

所以当时，，

当时，．

（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，

所得函数的图象与函数的图象重合，

故，

解得，

当时，．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，属于基础题．

20．【分析】（Ⅰ）由函数的解析式可得（2），解可得的值，即可得答案，

（Ⅱ）根据题意，利用作差法分析可得结论，

（Ⅲ）原问题等价于的图象与直线有3个交点，由函数的解析式分析的单调区间，分析可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数，

若（2）．则（2），解可得，

故；

（Ⅱ）在区间上的单调性为增函数，

证明：设，

则

，

又由，则，，

则有，

故，

故在区间上的单调性为增函数，

（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论，，

若关于的方程恰有三个实数解，

即的图象与直线有3个交点，

实数的取值范围是．

【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的单调性的性质以及应用，属于难题．

21．【分析】（Ⅰ）由函数的图象关于点对称”的充要条件，计算可得所求和；

（Ⅱ）（ⅰ）计算，由函数的图象关于点对称”的充要条件即可得证；

（ⅱ）求得的值域，记函数，，的值域为．再由二次函数的最值求法和恒成立思想，即可得到所求范围．

【解答】解：（Ⅰ）由函数的图象关于点对称，可得，

则（2）；

（Ⅱ）（ⅰ）证明：，，，，

，

．

即对任意的，，，都有成立．

函数的图象关于点对称．

（ⅱ），

易知在，上单调递增，

在，时的值域为，．

记函数，，的值域为．

若对任意的，，总存在，，使得成立，则，．

，时，，

（1），即函数的图象过对称中心．

（1）当，即时，函数在上单调递增．由对称性知，在上单调递增．

函数在上单调递增．

易知．又（2），（2），则，．

由，，得，解得．

（2）当，即时，函数在上单调递减，在，上单调递增．

由对称性，知在上单调递增，在，上单调递减．

函数在上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减．

结合对称性，知（2），或，．

，，．

又（2），（2）．

易知．又，

，．

当时，，成立．

（3）当，即时，函数在上单调递减．

由对称性，知在上单调递减．

函数在上单调递减．

易知．又（2），

（2），则，．

由，，得．解得．

综上可知，实数的取值范围为，．

【点评】本题考查函数的对称性的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力、推理能力，属于难题．