2023年四川省泸州市泸县重点中学高考数学适应性试卷（文科）-普通用卷

2023年四川省泸州市泸县重点中学高考数学适应性试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知实数，满足约束条件，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获金银铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的枚金牌中，枚来自雪上项目，枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度单位：小时，并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第百分位数分别是和，方差分别是和，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个千米的跑步健身计划，他第一天跑了千米，以后每天比前一天多跑千米，则他要完成该计划至少需要(    )

A. 天 B. 天 C. 天 D. 天

6.  设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是(    )

A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面
C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一条直线

7.  已知，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若圆上有且只有四个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  将函数其中的图像向右平移个单位长度，所得图像关于对称，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若复数为虚数单位，则 ______ ．

14.  已知数列的前项和为，，，则 ______ ．

15.  函数，若，则 ______ ．

16.  我国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”现有一个刍甍如图所示，底面是边长为的正方形，上棱，四边形，为两个全等的等腰梯形，到平面的距离为，则该刍甍外接球的表面积为          ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
为改善学生的就餐环境，提升学生的就餐质量，保证学生的营养摄入，某校每学期都会对全校名学生进行食堂满意度测试已知该校的男女比例为：，本学期测试评价结果的等高条形图如下：

填写上面的列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为学生对学校食堂的“满意度”情况与性别有关；
按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取人，再从这人中随机选出人交流食堂的问题，求选出的人中恰好没有男生的概率．
附：，．

18.  本小题分
已知中，角、、所对的边分别为、、，且．
求的值；
若的面积，且，求的外接圆半径．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．

20.  本小题分
已知椭圆：的上、下顶点分别为，，左顶点为，是面积为的正三角形．
求椭圆的方程；
过椭圆外一点的直线交椭圆于，两点，已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，直线与交于点，若是钝角，求的取值范围．

21.  本小题分
已知函数，其中是自然对数的底数．
求的最值；
设函数有且只有个不同的零点，求实数的取值范围．

22.  本小题分
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
设点的极坐标为，求面积的最小值．

23.  本小题分
设，，均为正数，已知函数的最小值为．
求的最小值；
证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，

故选：．
先求出集合，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，

，

解得
故选：．
先根据向量的加减和数乘运算求出的坐标，然后根据建立等式，求出的值即可．
本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及向量的加减和数乘运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最大，有最大值为．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：由题意进行数据分析，可得：
，解得：；
，解得：；所以．
比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以得到：，
故选：
分别计算出和，进行比较；由方差的意义比较和，即可得到答案．
本题考查了平均数、方差的求法和意义，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的实际应用、等差数列的前项和公式、判断或证明函数的单调性，属于中档题．
根据题目中的条件推导出每天跑步的里程构成等差数列，利用等差数列的前项和公式求出小林要完成该计划至少需要的天数．

【解答】

解：设小林需要天完成计划，
由题意知小林每天跑步的里程构成以为首项，为公差的等差数列，
则，
化简得，，
函数在上单调递增，
当时，，
当时，，
故使得，的最小正整数为．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：：内有无数条直线与平行推不出，故A不符合，
：，垂直于同一平面，得到或，故B不符合，
：，平行于同一条直线，得到或与相交，故C不符合，
：，垂直于同一条直线，故D符合．
故选：．
利用线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判定、、、的结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的判定和性质，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．
由题意利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．
【解答】
解：因为，
所以，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的实际应用，以及对数的运算性质，属于中档题．
由题意可得大约增加了，再由对数的运算性质求解．

【解答】

解：将信噪比从提升至时，
大约增加了

．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：取的中点，连，，，

则，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以或其补角是异面直线与所成的角，
设正方体的棱长为，则，，
则．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
取的中点，连，，，或其补角是异面直线与所成的角，解三角形可得解．
本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得，解此不等式求得半径的取值范围．
【解答】
解：圆心到直线的距离等于，
由得，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：将函数其中的图像向右平移单位长度，
可得函数的图像．
再根据所得图像关于对称，可得，，即，，
故的最小值为．
故选：．
由条件根据函数的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性可得，，即，，由此求得的最小值．
本题主要考查函数的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
利用对数函数和指数函数的性质求解．

【解答】

解：，，
，
，即，
，即，
又，，
，，，
即，
，即，
，
，
故本题选B．

13.【答案】 

【解析】解：，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
当时，，
由得，即，
当时，，不符合上式，
数列为从第二项开始的等比数列，
．
故答案为：．
根据数列的递推式变形可得，即，利用等比数列的定义，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题得，
，
所以．
故答案为：．
根据题意可得，结合计算即可求解．
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间几何体的外接球，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．
根据几何体的结构特征，得出该刍甍外接球的球心在直线上，结合球的截面性质，列出方程组，求出球的半径，利用表面积公式即可求解．

【解答】

解：如图所示，连接，相交于点，取的中点，连接，

易得平面，则该刍甍外接球的球心在直线上，
设该刍甍外接球的半径为，，则，
解得，
所以该刍甍外接球的表面积为．
故答案为：．

17.【答案】解：该校的男女比例为：，总人数为人，
该校男生数为，该校女生数为，
其中测试评价满意的男生数为，不满意的男生数为，
其中测试评价满意的女生数为，不满意的女生数为，
列联表如下：

，
由独立性检验定义知，有的把握认为学生对学校食堂的“满意度”与性别有关；
按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取人，
由分层抽样的定义可知，抽取的男生人数为，抽取的女生人数为，
设男生为，女生为，，，，基本事件总数为个，如下：
，，，，，，，，，
恰好没有男生的基本事件个数为个，如下：，，，，
所以这人中随机选出人，恰好没有男生的概率为：． 

【解析】根据题意和等高条形图，求出对应的数据，将列联表补充完整，利用卡方公式计算，结合独立性检验的思想即可下结论；
由分层抽样的定义可知抽取的男生人，女生人，利用列举法即可解决该古典概型问题．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：由，可得，





由得：，解得．
由余弦定理，得到，
由正弦定理，
所以． 

【解析】利用同角三角函数的基本关系，利用的值，进而求得和的值，然后利用二倍角公式对原式整理，求得问题的答案．
利用三角形面积公式和三角形的面积求得的值，进而利用余弦定理求得的值，最后利用正弦定理求得．
本题主要考查了余弦定理的应用，二倍角公式的化简求值．考查了基础知识的综合运用．
 

19.【答案】解：，，，则，，
中，，
故AC，故DC，
又因为底面，底面，所以，
又因为，，平面，平面，底面，故平面平面，

作，垂直为，连接，

因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，故为与平面所成的角，
中，，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
另解：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，
所以，
根据三棱锥等体积转换方法可知，即，
中，由可知，，，，，
故，所以，
故，解得，
直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】计算，，根据勾股定理得到，再证明平面，得到答案．
作，垂直为，连接，确定为与平面所成的角，计算，得到答案．
本题主要考查了垂直关系的判断及性质的应用，还考查了直线与平面所成角的求解，属于中档题．
 

20.【答案】解：是面积为的正三角形，，解得：，
椭圆的方程为：；
 
设，，则，，
直线方程为：，即；
由对称性可知：点在轴上，则令，解得：，设直线：，由，
得：，，
，，
又，，，，
为钝角，，解得：或，
即实数的取值范围为． 

【解析】根据的面积及其为正三角形的特征，可构造方程组求得，，由此可得椭圆方程；假设直线方程，利用对称性可知在轴上，由此可得设：，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入中整理可得，根据，由向量数量积的坐标运算可构造不等式求得结果．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．
 

21.【答案】解：，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，无最大值；
，，
则，
若，则，递增，
故不可能有个零点，不合题意；
若，，递增，
故存在唯一，使得，
故时，，递减，
时，，递增，
故，
又时，，时，，
故有且只有个不同的零点等价于，
由题意得：，，
若，则，故，
当时，，递增，
故，成立，
若，则，，
故，不合题意，
若，则，由于，故，
当时，，递减，
故，成立，
综上：的取值范围是． 

【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
 

22.【答案】解：设，，
为曲线上的动点，点在线段上，且满足，
则，，
，即．
，
，，
；
，
到的距离，
，
当时，面积取得最小值． 

【解析】跟已知条件，推得再结合极坐标公式，即可求解；
先求出，再求出到的距离，再结合三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：，
，则，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，
，即，仅当时取等号，
故的最小值为．
证明：，，，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，
又，仅当时等号成立，
同理，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
即． 

【解析】应用绝对值三角不等式及基本不等式求目标式最小值，注意取值条件；
利用基本不等式证明不等式即可．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．