2023年江苏省镇江市扬中重点中学高考数学考前模拟试卷-普通用卷

2023年江苏省镇江市扬中重点中学高考数学考前模拟试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在的二项展开式中，含的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若幂函数的图象过点，则函数的递减区间为(    )

A.  B. 和
C.  D.

5.  现实世界中的很多随机变量遵循正态分布例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布若某物理量做次测量，最后结果的误差，，则为使的概率控制在以下，至少要测量的次数为(    )
【附】随机变量，则，，．

A.  B.  C.  D.

6.  若，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题中，正确的是(    )

A. 若事件与事件互斥，则事件与事件独立
B. 已知随机变量的方差为，则
C. 已知随机变量服从二项分布，若，则
D. 已知随机变量服从正态分布，若，则

10.  如图，已知函数其中，，的图象与轴交于点，，与轴交于点，，，，则下列说法正确的有(    )

A. 的最小正周期为
B.
C. 的最大值为
D. 在区间上单调递增

11.  已知圆台上、下底面的半径分别为和，母线长为正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则(    )

A. 与底面所成的角为
B. 二面角小于
C. 正四棱台的外接球的表面积为
D. 设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则

12.  已知数列满足，，则下列结论正确的有(    )

A. 为等比数列 B. 的通项公式为
C. 为递增数列 D. 的前项和

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取名学生，得到如下列联表：

已知，根据表中数据，得到则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为______ ．

14.  已知数列首项，，则数列的通项公式 ______ ．

15.  某艺校在一天的节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔节艺术课的概率为______ 用数字作答．

16.  若函数，，则的最小值为______；若，，且，则的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若为线段延长线上一点，且，，求．

18.  本小题分
在，；，；，这三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于的等比数列，且____．
求数列和的通项公式；
记，求使取得最大值时的值．

19.  本小题分
如图，在以，，，，为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面平面，．
求证：平面平面；
若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的大小．

20.  本小题分
为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了份试卷进行调查，这份试卷的成绩卷面共分频率分布直方图如图．
用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
可以认为这次竞赛成绩近似地服从正态分布用样本平均数和标准差分别作为，的近似值，已知样本标准差，如有的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少结果取整数？
从的试卷中用分层抽样的方法抽取份试卷，再从这份样本中随机抽测份试卷抽测的份数是随机的，若已知抽测的份试卷都不低于分，求抽测份的概率．
参考数据：若，则，，．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．
求点的轨迹的方程；
过点且斜率为的直线与交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

22.  本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
根据指数函数和对数函数的单调性可求出集合，，然后进行交集的运算即可．

【解答】

解：，，
．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
则，
故选：．
化简，，即可得出，再利用模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则、复数的周期性、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含项的系数即可．
本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的问题，是基础题目．

【解答】

解：二项展开式的通项公式为：
，
令，解得；
所以展开式中含项的系数为：．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：设幂函数，它的图象过点，
，；
；
，则，
令，即，解得：或，
故在递减区间是和，
故选：．
求出幂函数的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可．
本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，，
而，则，所以．
故选：．
根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则，即，
由，，
则，
又，则，
所以，解得．
故选：．
根据题意可得，，进而得到，由此得解．
本题考查三角函数的求值问题，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．
由题意可得，的关系，再由双曲线及渐近线的对称性，将双曲线的方程和渐近线的方程与抛物线的准线联立求出，的一半的表达式，由题意可得，的关系，进而求出双曲线的离心率．

【解答】

解由题意可得抛物线的准线方程为，设，与轴分别交于，，
由，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得，
由题意可得：，即，
可得解得：，所以，
可得：，所以，
所以可得，
可得，
所以，
解得：，
所以双曲线的离心率，
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数对称性和单调性的应用，根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，是中档题．
根据条件判断函数关于对称，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可．

【解答】

解：，
，
即函数关于对称，
，
当且仅当时取等号，
，，
恒成立，则是增函数，
，
，
则，得．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：对于，事件与事件互斥，事件与事件不一定独立，故A错误，
对于，随机变量的方差为，
则，故B正确，
对于，随机变量服从二项分布，
，
，解得，故C正确，
对于，随机变量服从正态分布，，
，
，故D错误．
故选：．
对于，结合互斥事件，独立事件的定义，即可求解，对于，结合方差公式即可求解，对于，结合期望公式，即可求解，对于，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查命题真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，，判断出结论．

【解答】

解：由题意可得：，，，．
，，
，
，，
把代入上式可得：，．
解得，
，可得周期，故A正确．
，，解得，故B错误．
，，解得．
函数，
故C正确．
时，，
可得：函数在单调递增，故D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：如图，过作，作出截面的平面图，如图，

由题意知是等腰梯形，且，为，中点，
，，，，
，即圆台的高，
，，即四棱台的上下底边长分别为，，
对于，由题意得就是与底面所成角，则，，故A正确；
对于，过作于，连接，由，，平面，
面，，是二面角的平面角，
，，
又，，，故B错误；
对于，设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心，
则，，，，
，解得，
球的表面积为，故C正确；
对于，，，由题意，故D错误．
故选：．
过作，易得即为底面所成角，直接即可判断选项；过作于，即为二面角的平面角，由，即可判断选项；设出球的半径，由勾股定理建立方程，解出半径即可判断选项；直接计算体积即可判断选项．
本题考查命题真假的判断，考查线面角、四棱台性质、二面角、正四棱台的外接球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：数列满足，，整理得：，
转换为，
故：，所以是以为首项，为公比的等比数列．
故：，整理得．
则：为递减数列．
进一步整理得：，
所以的前项和：，
故选：．
首先利用定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前项和的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据表中数据，得到的观测值．
，
认为选修文科与性别有关系出错的可能性为．
故答案为：．
根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据，即可得到认为选修文科与性别有关系出错的可能性为．
本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：数列首项，，
当时，解得，
当时，，
所以得：，
整理得常数，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
由于首项不符合通项，
所以．
故答案为：
直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，
若每个空各插入节艺术课，则排法种数为，
若两个空中只插入节艺术课，则排法种数为，
若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，
然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为，
而所有的排法共有种，
故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔节艺术课的概率为，
故答案为．
三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入节艺术课，则排法种数为，三门文化课中相邻排列，则排法种数为，而所有的排法共有种，由此求得所求事件的概率．
本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最小值，
由于，，且，
所以，
所以，即，，
由得，
令，，
则，
所以在时单调递增，
故由，得，
所以，
令，，
则，
易得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，取得最小值，
故答案为：，．
先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求的最小值，把代入后，结合对数的恒等式进行合理变形，然后结合等式特点构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系可求．
本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，试题具有很强的综合性，解答时要注意对等式合理的变形，属于中档题．
 

17.【答案】解：由正弦定理可得，
，，
或或舍去，；
法一：设，
在中，，
在中，，
，
，
．
法二：设，在中，，
在中，，
，
． 

【解析】由已知可得，进而可得，可求角的大小；
法一：设，在中，，在中，，可求．
法二：设，在中，，在中，，可求．
本题考查正弦定理的应用，三角恒等变换，属中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，
又因为，
所以，
则，
设等比数列的公比为，则，
选，因为，，
所以，
又，
所以；
若选，，所以，
，即，
所以或，
因为，所以，则；
若选，由，得，
又，解得，
因为，所以，
则；
由得，
所以，
因为，
所以当或时，；
当时，；当时，，
所以，
则使得取得最大值时的值为或． 

【解析】本题考查了等差数列的基本量的计算以及数列与函数的综合，属于中档题．
由，得到，再根据求解；
选，根据，，两式相除得到求解；
选，由，得到，再结合求解；
选，由，得，再结合求解．
由得到，再利用作差法，由其单调性求解．
 

19.【答案】证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
解：过作，，垂足分别为，，连接，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，且，，平面，所以平面，
因为平面，所以，即即为二面角的平面角，
不妨设，则可知，且，，
因为，所以，所以，
过作平面，分别以为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即． 

【解析】证明，平面，然后证明平面平面．
过作，，垂足分别为，，连接，即为二面角的平面角，过作平面，分别以为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角为即可．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

20.【答案】解：由频率分布直方图可知，
平均分；
由可知，，
设学校期望的平均分约为，则，
因为，，
所以，即，
所以学校的平均分约为分；
由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为和，
那么按照分层抽样，抽取人，其中分数在，应抽取人，
分数在应抽取人，
记事件：抽测份试卷，，，事件：取出的试卷都不低于分，
，
，
． 

【解析】根据频率分布直方图，结合平均数的公式，即可求解；
首先确定，再根据参考公式，即可求解；
根据全概率公式，和条件概率，列式求解．
本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的概率，是中档题．
 

21.【答案】解：设，由题意，
因为，所以，
即，两边平方并整理得．
故点的轨迹的方程为；
设直线方程为，
联立，消并整理得，，显然，
设，，则，，
又，可得线段中点坐标为，
所以线段中垂线的方程为，
令，可得，
对于直线，令，可得，
所以，
又，
所以，
令，则，
因为在上单调递增，
所以，故． 

【解析】根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可；
根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆弦长公式、对勾函数的单调性进行求解即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，则，
所以，，
则切线方程为：；
当时，，
设，，
令，得，所以单调递减，
令，得，所以单调递增，则，，
又因为，，所以，则，
所以符合题意，
当时，函数，
设，则，所以在上单调递增，
又因为，且，且函数在上图象是不间断的，
所以存在，使得，所以，
所以，
当时，，所以单调递减，
当时，，，所以单调递增，
则的最小值为，又因为，所以，
解得，所以，
综上，实数的取值范围为． 

【解析】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性和最值的关系，导数的几何意义，考查分类讨论思想，函数思想，属于难题．
求导，根据导数的几何意义，即可求得切线方程；
分类讨论，当时，，根据函数的单调性可得，显然成立；当时，求得，去掉绝对值可得，且，根据函数的单调性即可求得的取值范围．