贵州省毕节市2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

贵州省毕节市2022-2023学年高三第二次模拟考试

数学（理）试卷

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足：，则的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．2

3．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

4．已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为，若该双曲线过点，则它的方程为（    ）

A． B． C． D．

5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（    ）

A．36种 B．18种 C．24种 D．30种

6．将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

7．有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图的花海大世界，其中大圆半径为8，大圆内部的同心小圆半径为3，两圆之间的图案是对称的．若在其中阴影部分种植红芍．倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍中的概率是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

9．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

10．在中，，，动点在的内切圆上若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知曲线，曲线，直线与曲线的交点记为，与曲线的交点记为．执行如图的程序框图，当取遍[－1，]上所有实数时，输出的点构成曲线C，则曲线C围成的区域面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知，，则与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不确定

二、填空题

13．已知，则____________.

14．已知点为抛物线上一动点，点为圆：上的动点，记动点到轴距离为，则的最小值为______．

15．已知函数若方程有4个互不相等的实数根，则的值为___．

16．有一解三角形的题，因纸团破损有一个条件不清，具体如下：在中，已知，，__________求角经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试将条件补充完整.

三、解答题

17．已知数列的前项和为.

（1）求的通项公式；

（2）令，求的前项和.

18．某公司组织了丰富的团建活动，为了解员工对活动的满意程度，随机选取了100位员工进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图（这100人的评分值都分布在之间）．

(1)求实数m的值以及这100人的评分值的中位数；

(2)现从被调查的问卷满意度评分值在的员工中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．

19．正方体中，与交于点O，点E为的中点，点F在上，且平面平面．

(1)求的值；

(2)求二面角的余弦值．

20．已知直线，与交点轨迹为.

（1）求的方程；

（2）点是曲线上的点，是曲线上的动点，且满足直线斜率与直线斜率和为，求直线的斜率.

21．已知函数，.

(1)当时，求证：在上单调递减；

(2)当时，，求的取值范围.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线过原点，且倾斜角为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线和直线的极坐标方程；

(2)已知曲线与直线交于，两点，若，求直线的直角坐标方程．

23．已知实数满足.证明：

(1)；

(2).

参考答案：

1．D

【分析】根据集合的并运算直接求解即可.

【详解】根据题意可得.

故选：D.

2．B

【分析】由复数模的几何意义，转化为求原点到直线的距离．

【详解】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为，

的最小值就是原点到直线的距离即为，

故选：B．

3．C

【分析】根据空间中线面、面面、线线位置关系逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，若，，，则或、相交，A错；

对于B选项，若，，，则或、异面，B错；

对于C选项，由于，，可得或，

若，因为，则，

若，过直线作平面，使得，则，

因为，则，，因此，，C对；

对于D选项，若，，，则或、相交（不一定垂直），D错.

故选：C.

4．A

【分析】根据渐近线设双曲线方程为，代入点坐标，计算得到答案.

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为，

该双曲线过点，则，故双曲线方程为，

故选：A

5．D

【分析】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，后分两种方法安排丙、丁.

第一种安排丙、丁到第三个舱中；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中.

【详解】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，有种安排方法.

后分两种方法安排丙、丁，第一种安排丙、丁到第三个舱中，有1种方法；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中，有种方法.则不同的安排方案共有种.

故选：D

6．C

【详解】分析：根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合三角函数的图象进行求解即可.

详解：将函数图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，

得到，然后向左平移，得到，

因为，所以，

当时，，函数的最大值为，

要使在上有两个不相等的实根，则，

即实数的取值范围是，故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中求出函数的解析式以及利用整体转换法是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题.

7．C

【分析】由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解.

【详解】由已知得：大圆的面积为，小圆的面积为.

所以阴影部分的面积为.

设“恰好处在红芍中”为事件，则

故选：C

8．D

【分析】利用指数函数，幂函数，对数函数的单调性即可解出的范围.

【详解】，根据指数函数在上单调递减得，

，根据幂函数在上单调递增知，则，

，根据对数函数在上单调递减得，

综上.

故选：D.

9．D

【分析】利用排除法判断，先由函数的奇偶性分析，再取特殊值分析

【详解】因为

所以是偶函数，排除B.

因为，排除A，C.

故选：D.

10．C

【解析】由题意，以为原点，以、所在直线分别为轴、轴建立直角坐标系，设，求出内切圆方程，再根据直线与圆的位置关系即可求出最值．

【详解】解：由题意，以为原点，以、所在直线分别为轴、轴建立直角坐标系，

则，，，

∵，

∴，

∵的面积为，

∴的内切圆半径，

∴内切圆圆心，

∵点在的内切圆上，设，

∴，

由得，

即，

∴令，

即，

即，

由几何知识，当直线与圆相切时有最值，

此时，

解得，或，

∴的最大值为0，

故选：C．

【点睛】关键点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，通过题意建立以为原点，以、所在直线分别为轴、轴的直角坐标系求出内切圆的方程，利用点到直线的距离公式求解是解决本题的关键.

11．A

【分析】由程序框图结合圆的方程得出曲线C的轨迹，进而得出面积.

【详解】当时，曲线，即.

当时，曲线，即.

由程序框图可知，点在上，

点在上，则曲线C的轨迹如下图所示：

则曲线C围成的区域面积为.

故选：A

12．B

【分析】根据题意构造函数求解出，根据选项构造函数，判断其单调性从而得出选项.

【详解】，又，则，

设，显然为增函数，因为，所以

又，，则

令，设，则，当时单调递增，

则在上单调递增，故，解得.

故选：B

【点睛】思路点睛：①选择题中判断不等式关系：思路一：遇到解析式不相近，可考虑通过作差法进行大小比较；思路二：遇到解析式相近，可考虑构造函数，利用函数单调性与内外函数关系进行大小比较.②选择题中构造函数思路：可根据选项提示，将含同一类字母的的式子写在一般，观察不等号两边式子共性进行构造函数；若原式复杂，在不等式问题中可适当放缩后构造新函数.

13．4

【分析】,得出方程,即可求出.

【详解】.

故答案为:

【点睛】考查同角间的三角函数关系,化弦为切,重点考查计算能力,属于基础题.

14．

【分析】运用数形结合思想确定取值最值时的各点位置关系，再通过计算线段长度即可得出结果.

【详解】如图，连接交圆于M点，交抛物线于 N点，

由抛物线方程，知其焦点坐标为，准线方程为，根据抛物线的定义可知：

当三点共线时 最小，又点 M在圆上

四点共线时，最小，如图所示

此时的最小值为：，

故答案为：.

15．

【分析】利用二次函数对称性即可得，根据对数运用即可得，则可得到答案.

【详解】由题意得，当时，，

则根据二次函数对称性得，

而，当时，，则，则，，

则，

故答案为：.

16．

【分析】先由给定等式求出角B，再由答案提示及一解的条件借助正弦定理计算并判断即得.

【详解】在中，由得，即，

得，解得，而，则，

由答案提示得，由正弦定理得：，

于是有，

若破损处的条件为，则由正弦定理得，又，则或，有两解，不符合要求，

若破损处的条件为，则由余弦定理、正弦定理得，

又，则，有一解，符合要求，

所以破损处的条件为.

故答案为：

17．（1）；（2）.

【分析】（1）根据数列的前项和为，利用数列通项与前n项和的关系求解；

（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.

【详解】（1）因为数列的前项和为，

当时，，

当时，，

适合，

所以数列的通项公式是；

（2）由（1）知，

所以，

则，

两式相减得，

，

，

，

所以，

18．(1)，75

(2)

【分析】（1）分别根据频率之和为1及中位数的估计方法可求解；

（2）先抽取人数，再计算概率即可.

【详解】（1）由，解得．

中位数设为x，则，解得．

（2）易得满意度评分值在内有20人，抽得样本为2人，记为，，

满意度评分值在有30人，抽得样本为3人，记为，，，

记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，

基本事件有，，，，，，，，，共10个，

A包含的基本事件个数为4个，

所以．

19．(1)1

(2)

【分析】（1）连接交于M，连接，，通过平面平面可证明，由此得出，即可得出的值.

（2）以A为坐标原点，为x轴，以为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，根据平面法向量与二面角关系进行求解.

【详解】（1）证明：连接交于M，连接，，

该几何体是正方体，为的中点，

为的中点，，

平面平面，平面平面，平面平面，

，，

是的中点，是的中点，．

（2）以A为坐标原点，为x轴，以为y轴，以为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，，，，

，，，

平面的一个法向量，

平面的一个法向量，

设二面角的大小为，则为锐角，

，

二面角的余弦值为．

20．（1）；（2）.

【分析】(1)联立两直线方程，消去即可得到的方程，但需注意；

(2)根据题意，求出点的坐标，设直线，联立椭圆方程，表示出点，同理表示出点，

根据斜率公式即可求解.

【详解】(1)，，

左右相乘得，化简得.

(2)代入点横坐标入椭圆可得纵坐标为，

设直线斜率为，则直线方程为，联立椭圆，

得，

设， 由于在椭圆上，所以结合韦达定理可得：

，，

由于两直线斜率和为0，所以可设另一条直线斜率为，同样方式联立椭圆，只需将上述结论变为即可，故，，

所以，

又，，

所以.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据导数与函数的单调性关系，结合二阶导讨论导函数的符号即可证明；

（2）构造函数，进而结合将问题转化为证明当时，在上恒成立问题求解即可.

【详解】（1）证明：当时，，

则，令，

则在上单调递减，

且，且，

，使.

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，

，，，

，

在上单调递减.

（2）解：当时，，即（记为*）在上恒成立，

令，，

，

要使（*）式在上恒成立，则必须，.

下面证明当时，在上恒成立.

，，

.

令，则，

故当时，单调递减；

当时，单调递增；

∴，

，

当时，在上单调递增，

，即（*）式在上恒成立，

另外一方面，当时，，

∴存在，使得当时，，在上单调递减，

∴当时，，与题设矛盾，不成立.

∴的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于结合得到，进而再证明时不等式成立即可.

22．(1)曲线的极坐标方程；直线的极坐标方程；

(2)

【分析】（1）根据题意，先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；由题意可得直线的极坐标方程即可；

（2）将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程中，然后根据条件即可得到，从而得到结果.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），化简可得，

即，

根据，得到极坐标方程为；

又因为直线过原点，且倾斜角为，所以直线的极坐标方程为.

（2）将代入可得，

设，两点的极径为，则，

则，即，

故，且，则，所以，

则，

故直线的直角坐标系方程为

23．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）利用完全平方公式，整理平方和与所求代数式，根据取值，可得答案；

（2）根据给出的等式，明确三个字母的取值范围，利用基本不等式，联立不等式，可得答案.

【详解】（1）由于，则，

，且，

，即.

（2）由，且，则，

，，当且仅当时等号成立，

，，，可得，解得.