贵州省2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

贵州省2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（文）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．若复数z满足，则|z|=（    ）

A． B． C． D．2

3．已知平面向量，若与垂直，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图所示，表示的平面区域是（　　）

A． B．

C． D．

6．若，，则（    ）

A． B． C． D．

7．执行如图所示的程序框图，输出的（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为2 B．的最小正周期为

C．的图象关于直线对称 D．为奇函数

9．已知是圆上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ）

A．9 B．7 C．5 D．3

10．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知双曲线的右焦点为，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（    ）

A．3 B．2 C． D．

二、填空题

13．若圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为___________.

14．如图，是边长为4的等边三角形，点在边上，点在边上， 将分成面积相等的两部分，设，，则关于的函数解析式为__________（要求写出定义域）

15．如图（1）的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图（2）的“正六面体”，则 =___________．

16．写出一条与圆和曲线都相切的直线的方程：___________.

三、解答题

17．已知甲工厂生产一种内径为的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的2000件零件中抽出100件，测得其内径尺寸如下（单位：）：，，，，，，.注：表示有件尺寸为的零件.

(1)求这100件零件内径尺寸的平均数；

(2)设这100件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂2000件零件中其内径尺寸（单位：在内的件数；

(3)若乙工厂也生产同种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的2000件零件中抽出100件，测得其内径（单位：）的方差为，试比较甲､乙两工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性.

18．设数列满足.

(1)求，，，试猜想的通项公式，并证明；

(2)求数列的前n项和.

19．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)点在棱上，满足且三棱锥的体积为，求的值.

20．已知椭圆的两个焦点分别是，其长轴长是短轴长的2倍，P为椭圆上任意一点，且的面积最大值为．

（1）求椭圆M的方程；

（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值．

21．已知函数，．

(1)求的极值；

(2)若存在，使得，求实数的范围．

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，直线l的极坐标方程为，若曲线C的参数方程为，为参数．

(1)求直线l和曲线C的普通方程；

(2)若点P为曲线C上的任一点，求点P到直线l的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)设且的最小值为m，若，求的最小值．

参考答案

1．C

【分析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.

【详解】由得：或，即，

.

故选：C.

2．C

【分析】利用复数除法求复数z，进而求模长即可.

【详解】由则.

故选：C

3．A

【分析】根据向量得坐标运算即可求得的值.

【详解】由题可知：，

因为，

所以

，

故选：A．

4．A

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得答案.

【详解】由对数函数和指数函数的性质可得，

，

又，则，，

故.

故选：A．

5．C

【详解】不等式等价于或把原点代入满足题意，且边界是虚线.故C正确.

6．D

【分析】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】，

由于，所以，

所以.

故选：D

7．A

【解析】模拟运行程序，结合裂项相消法得出输出值.

【详解】

输出

故选：A

8．C

【分析】利用辅助角公式化简后可得 的最值、最小正周期、对称轴方程和奇偶性.

【详解】，

的最大值为，A错；

的最小正周期为，B错；

时，，取得最小值，

的图象关于直线对称，C对；

，不为奇函数，D错，

故选：C．

【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了正弦函数的最值、周期性、奇偶性与对称性，属于中档题．

9．D

【分析】求出点到圆心的距离，减去半径得所求最小值．

【详解】由已知圆心为原点，半径为，，所以．

故选：D．

【点睛】本题考查定点到圆上点的距离的最值问题，平面上定点到圆心距离加或减云半径的值分别为定点到圆上点的距离的最大值，最小值．

10．A

【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D的正误；利用在之间的函数零点的个数即可判断A,B的正误.

【详解】设，

则，

故为奇函数，故C,D错误；

而令时，在之间的函数零点有两个，故B错误，

故选：A

11．C

【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.

【详解】对任意，，都有不等式成立，

，，，则在区间上单调递增，

∴，

，，，则在上单调递增，

，，则在上单调递减，

，，故，

综上，.

故选：C

12．D

【分析】将一条渐近线方程与以实轴为直径的圆方程联立可得出点坐标，进而可得直线的斜率，通过直线与另一条渐近线斜率相等即可得出的关系，从而求得双曲线的离心率.

【详解】不妨设为第一象限的交点.联立方程组可得的坐标为，所以直线的斜率.因为直线与另一条渐近线平行，所以，所以，则，故的离心率.

故选：D.

【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

13．

【解析】由圆锥侧面展开图求出圆锥底面半径，然后可得高．

【详解】设圆锥底面半径为，则，，又圆锥母线长为，∴高为．

故答案为：．

14．

【分析】根据三角形的面积公式以及列方程即可求解.

【详解】因为是边长为4的等边三角形，

所以，

因为 将分成面积相等的两部分，

所以，可得，

由三角形面积公式可得：，即，

由图分析可得：当点在边上中点时，点与点重合，此时取最小值，

所以

所以关于的函数解析式为：.

故答案为：.

15．

【分析】依题意该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，在一个正四面体中求出其高，即可得解.

【详解】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体中，

取的中点，连接，，作平面，垂足在上．

则，，，

所以

故答案为：

16．（答案不唯一）

【分析】设切线与圆相切于点，得到切线的方程，与联立，由判别式为零求解.

【详解】解：设切线与圆相切于点，则，

切线的方程为，即，

将与联立，可得，

令，

联立解得或或或

所以切线的方程为或或或.

故答案为：（答案不唯一）

17．(1)36.5

(2)

(3)乙工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性更好

【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可；

（2）根据方差的公式求解可得，进而根据内的频率估计即可；

（3）根据甲工厂抽检的100个零件内径尺寸的方差与比较判断即可

(1)

=36.5.

(2)

因为，，，，故

所以，故，故1件零件内径尺寸在内的频率为，故估计该厂2000件零件中其内径尺寸在内的件数为

(3)

因为甲工厂抽检的100个零件内径尺寸的方差，所以乙工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性更好.

18．(1)，，，，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知求出，，，猜想数列的通项公式为，当时，，结合已知式子两式相减即可得出当时，，再验证成立即可；

（2）结合第一问结论得出数列的通项，利用错位相减法得出答案.

【详解】（1）因为，

当时，

当时，，可得，

当时，，可得，

所以猜想数列的通项公式为，证明如下：

由题意，当时，，

，得，所以，

当时，上式为，这就是说，当时，上式也成立.

因此，数列的通项公式为；

（2）由（1）知，记的前n项和为，

则，

故，

，得，

，

所以数列的前n项和为.

19．(1)证明见解析.

(2).

【分析】（1）连接，证明，继而证明平面，推得，从而证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）由题意可推得，从而设点到平面的距离分别为，利用三棱锥等体积法分别求得，根据，即可求得答案.

【详解】（1）由题意底面， ,，

则底面为直角梯形，

连接 ，则,故四边形为矩形，

则 ， 所以四边形为正方形，所以 ，

因为侧面为等边三角形，O是 的中点，

所以 ，平面，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，因为平面，

所以，因为平面 ，

所以平面，

因为平面 ，所以平面平面.

（2）因为底面中， ,，

侧面 为等边三角形，O是的中点，

所以,,, ，

因为平面，平面，

所以 ，

所以 ，

因为 ，

所以,所以 ,

设点到平面的距离分别为，

因为 ，所以 ,

即，故，

因为三棱锥的体积为，

所以 所以 ，解得，

所以，即

因为，所以 .

20．（1）；（2）.

【分析】（1）由题意可知的面积最大值最大时点在上（下）顶点处，进而可得，结合和即可求出结果；

（2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理即可求出的值，然后表示出的面积，利用函数的性质即可求出最值..

【详解】解：（1）由椭圆性质知，，

又，解得，

所以椭圆M的方程为．            

（2）显然，直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为，      

联立，消去x得．

设，，则有，①，

又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点C，∴，

由，，得，

将代入上式得，

将①代入上式求得或（舍），

直线l为，  则直线l恒过点．            

∴，

设，则在上单调递增，

当时，取得最大值．

【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

21．(1)当时，取极小值，没有极大值

(2).

【分析】（1）利用导数可得的极值；

（2）存在，使得，等价于当时，，后分两种情况结合导数分析即可得答案.

【详解】（1）由题，可得，

当，当，

则在上单调递减，在上单调递增，

故当时，取极小值，没有极大值；

（2）存在，使得，

等价于当时，.

当，由（1）可得在上单调递减，故此时，.

构造函数，.

则.

令，.

则，令，

当，当，

则在上单调递减，在上单调递增，

故，

即，得在上单调递增.

注意到，，则.

则时，恒成立，即满足条件；

当时，由（1）可得此时，则，即.

综上可知，.

【点睛】关键点点睛：本题涉及求函数极值及用导数研究函数能成立问题，难度较大.

对于能成立问题，常转化为最值问题，本题的关键为利用最值构造有关所求参数的函数.

22．(1)直线，曲线：；

(2)距离最大值是7，．

【分析】（1）由公式化极坐标方程为直角坐标方程，由消参法化参数方程为普通方程；

（2）求出与直线平行的曲线的切线的方程，由平行线间距离得所求距离的最大值，然后切线与曲线联立的方程组的解即为点坐标．

【详解】（1）由得，，

∴，即为直线的直角坐标方程，

由消去参数得，此为曲线的普通方程；

（2）设直线与曲线相切，

由，得，（*）

∴，，或，

切线方程为或，

直线与直线的距离为，

直线与直线的距离为，

因此所求距离的最大值是7，此时，

代入（*）得，，，，

所以点坐标为．

23．(1)

(2)

【分析】（1）分段讨论求解，

（2）由绝对值三角不等式求最小值，再由基本不等式求解，

【详解】（1）当时，，

故即或或，

解得，即原不等式的解集为

（2）由题意得，

即，，即，

而，当且仅当即时等号成立，

故的最小值为