2023届贵州省毕节市高三诊断性考试（三）数学（理）试题含解析

2023届贵州省毕节市高三诊断性考试（三）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，用列举法表示集合A，再结合韦恩图列式求解作答.

【详解】依题意，，而阴影部分表示的集合是，

又，则，

所以.

故选：C

2．若复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部.

【详解】因为，则，因此，的虚部为.

故选：D.

3．已知等比数列的前n项和为，若，，，则（    ）

A．16 B．18 C．21 D．27

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合数列前n项和的意义及等比数列通项公式求出即可求解作答.

【详解】令等比数列的公比为，，

即有，解得，

所以.

故选：C

4．已知函数的最小正周期为T，若，且是的一个极值点，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用正弦函数的周期确定的范围，再由极值点求出的值作答.

【详解】函数的最小正周期为，于是，解得，

因为是的一个极值点，则，解得，

所以.

故选：D

5．A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.3，则A，B不去同一城市上大学的概率为（    ）

A．0.3 B．0.46 C．0.54 D．0.7

【答案】C

【分析】设事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”，根据A，B不去同一城市上大学的概率为即可求解.

【详解】设事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”，

则,,

则A，B不去同一城市上大学的概率为.

故选:C.

6．已知函数，则对任意非零实数x，有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的函数式，计算及即可判断作答.

【详解】函数，，

则，显然，且，AB错误；

，D正确，C错误.

故选：D

7．若实数a，b满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的等式，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式判断作答.

【详解】，由，得，

于是，整理得，当且仅当时取等号，

解得，A错误，B正确；

又，即，当且仅当时取等号，CD错误.

故选：B

8．直线，直线，给出下列命题：

①，使得；    ②，使得；

③，与都相交；    ④，使得原点到的距离为.

其中正确的是（        ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

【答案】C

【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数的值，可判断②；取可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.

【详解】对于①，若，则，该方程组无解，①错；

对于②，若，则，解得，②对；

对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；

对于④，直线的方程为，

若，使得原点到的距离为，则，整理可得，

，方程有解，④对.

故选：C.

9．已知双曲线M：的焦距为2c，F为抛物线的焦点.以F为圆心，c为半径的圆过双曲线M的右顶点.若圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，则半径r的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线的方程得，写出以F为圆心，c为半径的圆的方程，由题意可得，即，取其中一条渐近线，根据到直线的距离小于等于即可求解.

【详解】由抛物线的方程可得，则以F为圆心，c为半径的圆的方程为.

又过双曲线M的右顶点,所以,

所以.

因为圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，

双曲线M的渐近线方程为，即，

由对称性可取其中一条渐近线，

所以到直线的距离小于等于，即，即.

故选：A.

10．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的条件，探求函数的性质，再逐项分析判断作答.

【详解】函数的定义域为，为偶函数，则，即，

又为奇函数，则，即有，亦即，

因此，即，由，得，

则有，即函数是上的偶函数，又，从而是周期为6的周期函数，

显然，而没有条件能求出，即CD错误；

，没有条件能求出，A错误；

由，得，即，所以，B正确.

故选：B

11．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.

【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，

对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为，

由，得，，

在中，，则，，

由正弦定理得，，解得，则，

所以该椭圆的离心率.

故选：A

12．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.

【详解】由题意，所以，

即，所以，所以，

又，，

则，

所以，即，

由，，，

所以，

所以，当且仅当时等号成立，

又在上单调递减，，

所以当取最大值时，.

故选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.

二、填空题

13．在某市的一次高三测试中，学生数学成绩X服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样抽取100份试卷进行分析，其中120分以上的试卷份数为______.

【答案】15

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出即可求解作答.

【详解】因为学生数学成绩X服从正态分布，且，

则，

所以按成绩分层抽样抽取100份试卷，其中120分以上的试卷份数约为.

故答案为：15

14．写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数______.

①在上恒成立；②是偶函数；③.

【答案】（答案不唯一，形如均可）

【分析】结合①②可联想到函数是奇函数，再由③结合联想幂函数写出解析式作答.

【详解】由②知，函数可以是奇函数，由①知，函数在上可以是减函数，

由③结合①②，令，显然，满足①；是偶函数，满足②；

，满足③，

所以.

故答案为：

15．将正整数排成如图所示的数阵，其中第k行有个数，如果2023是表中第m行的第n个数，则______.

【答案】1011

【分析】根据给定的数阵，求出第k行的左起第一个数的通项公式，建立不等式求出m，进而求出n作答.

【详解】因为数阵的第k行有个数，则数阵的前行共有个数，

依题意，数阵的第k行的左起第一个数为，显然当时此式也成立，

于是，而，则，

数阵的第10行的左起第一个数为，则，

所以.

故答案为：1011.

16．如图，菱形ABCD的边长为2，.将沿AC折到PAC的位置，连接PD得三棱锥.

①若三棱锥的体积为，则或3；

②若平面PAC，则；

③若M，N分别为AC，PD的中点，则平面PAB；

④当时，三棱锥的外接球的体积为.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①③④

【分析】对于②，设，由线面垂直的判定定理及性质定理可得平面，，根据勾股定理即可求解；

对于④，由②可得当时，平面,设为三棱锥的外接球球心，为等边的重心，过作,垂足为，根据勾股定理求出三棱锥的外接球半径为，再由球的体积公式即可求解；

对于①，设在的投影为，由棱锥的体积公式可得，分二面角为锐角与钝角讨论，结合勾股定理及余弦定理即可求解；

对于③，根据中位线定理可得，根据线面平行的判定定理即可判断.

【详解】对于②，设，若平面PAC，平面PAC，所以.

因为菱形ABCD的边长为2，，所以是等边三角形，

所以,即.

因为,平面,所以平面.

因为平面，所以.

又，所以,故②错误.

对于④，由②可得当时，平面,

设为三棱锥的外接球球心，为等边的重心，过作,垂足为，

因为，所以,,

所以三棱锥的外接球半径为,

所以三棱锥的外接球体积为，故④正确.

对于①，设在的投影为，因为，所以在所在的直线上.

又，所以，解得.

因为二面角可能为锐角或钝角，

（i）当二面角为钝角时，

所以,，

所以.

（ii）当二面角为锐角时，

因为,，

所以在中，由余弦定理可得,

即，即,解得.

所以是的中点，所以,

所以.

综上，或3，故①正确.

对于③，若M，N分别为AC，PD的中点，由中位线定理可得,

因为平面,平面,

所以平面，故③正确.

故答案为:①③④.

【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于内切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的外接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.

三、解答题

17．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且.

(1)求B；

(2)若，且的面积为，求a，c.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）利用正弦定理进行边换角，再结合辅助角公式得，再结合得范围即可得到答案；

（2）利用三角形面积公式得，利用余弦定理得，联立即可解出答案.

【详解】（1），

由正弦定理得:，

，

,

，,

即，

，，，

，.

（2）,，①

,且，

②

联立①②解得或

18．三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.

(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)为的中点，证明见解析；

(2).

【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定推理作答.

（2）以点O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

【详解】（1）连接，取的中点为，连接，则平面.

在三棱柱中，四边形是平行四边形，即为的中点，

而为的中点，于是，平面平面，

所以平面.

（2）在三棱柱中， 是等腰三角形，为的中点，

则，而平面平面，平面平面平面，

于是平面，连接，而四边形是菱形，且，，

则，，即有两两垂直，

以为坐标原点，以射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

显然平面的一个法向量为，，

设平面的一个法向量为，则，令，得

，令二面角的平面角为，则，

所以二面角的正弦值为.

19．某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.

(1)通过分析散点图的特征后，计划用作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；

(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量的分布列为：

结合回归方程和的分布列，试问公司的决策是否合理.

参考公式及参考数据：，，.

【答案】(1)；

(2)公司的决策合理.

【分析】（1）令，可得，根据公式求出关于x的回归方程，从而可得y关于x的回归方程；

（2）当时，，根据分布列的性质求出，从而可得，与比较即可得结论.

【详解】（1）因为，令，所以.

由题可得，，

则，，

所以，所以回归方程为.

（2）当时，.

因为且，所以，

所以,

所以公司的决策合理.

20．已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线，使得点A与点B关于直线对称，求的面积的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设椭圆C的标准方程为，由题意可得，再根据即可得椭圆C的标准方程；

（2）根据题意得：的中垂线过点，联立，根据韦达定理可得的中点坐标为，从而可求的中垂线方程，代入点的坐标得

.由弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，故可得，根据函数的单调性即可求解.

【详解】（1）由题设椭圆C的标准方程为，其中，

由题意可得，又N为线段MF的中点，，

所以，即.

因为点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为，

所以，解得，，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）根据题意得：的中垂线过点，

由，消去并化简得，

.

设，

则，

所以，

所以的中点坐标为.

因为，所以的中垂线方程为，

代入点的坐标得：，即，

所以且，解得.

所以， .

又点到直线的距离为，

所以

.

因为在上单调递减，

所以，所以.

【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线求三角形的面积：

1.设出交点的坐标：；

2.联立方程组，根据已知，得出关于或的方程，根据韦达定理，得出两根之和以及两根之积；

3.根据点到直线的距离公式求出；

4.根据弦长公式，整理化简得出弦长；

5.代入面积公式，整理即可得出面积.

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，求出与即可得到切线方程；

（2）由可得，构造，由在上单调递增，可得恒成立，即恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解.

【详解】（1）当时，,则，

所以，即在点处的切线斜率为.

而，所以切点坐标为，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）因为，

所以，即，即.

令，则.

，所以在上单调递增，

所以恒成立，即，即恒成立.

令，则，

令，解得，令，解得,

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

因为恒成立，所以，解得.

所以实数a的取值范围是.

【点睛】方法点睛:对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略:

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

22．直角坐标系xOy中，点，动圆C：.

(1)求动圆圆心C的轨迹；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为：，过点P的直线l与曲线M交于A，B两点，且，求直线l的斜率.

【答案】(1)圆心C的轨迹为线段；

(2).

【分析】（1）设圆心，根据即可得圆心C的轨迹；

（2）将曲线M的极坐标方程化为直角坐标方程，设直线的倾斜角为，得直线的参数方程为（为参数），代入曲线M的直角坐标方程，设，可得，根据韦达定理可求的值，结合即可求解.

【详解】（1）设圆心，因为，所以.

所以圆心C的轨迹方程为，

即圆心C的轨迹为线段.

（2）因为，所以，

因为，所以，即曲线的直角坐标方程为.

设直线的倾斜角为，由点在直线上，

得直线的参数方程为（为参数），

代入曲线的方程得：，

设，由于点在曲线的内部，

所以，

化简得：，解得.

由于，所以，或，

所以，即直线的斜率为.

23．设不等式的解集为，且，.

(1)求的值；

(2)若、、为正实数，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)的最小值为

【分析】（1）根据，可得出实数的取值范围，结合可得出的值；

（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得的最小值.

【详解】（1）因为，，所以，，即，

因为，则.

（2）由（1）可知，，

由柯西不等式可得，

当且仅当时，即当，时，等号成立，

所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立，

因此，的最小值为.