贵州省遵义市2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

贵州省遵义市2022-2023学年高三第三次模拟考试

数学（文）试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（   ）

A． B． C． D．

2．命题任意圆的内接四边形是矩形，则为（    ）

A．每一个圆的内接四边形是矩形

B．有的圆的内接四边形不是矩形

C．所有圆的内接四边形不是矩形

D．存在一个圆的内接四边形是矩形

3．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．实轴上 C．第三象限 D．虚轴上

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．

6．已知实数，满足约束条件则的最大值为（    ）

A．10 B．8 C．4 D．20

7．如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（    ）．

A．180 B．160 C．96 D．60

8．若向量=(1，0)，||=2，·(+)=2，则向量与的夹角为（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，则(    )

A． B．

C． D．

10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

11．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．在中，若是边上的高，，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

二、填空题

13．已知，则__________．

14．函数的图象在点处的切线方程为________.

15．已知函数满足：①；②；③在上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数_________．

16．已知椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆上顶点，是的中点，若，则椭圆的离心率为________.

三、解答题

17．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，．

(1)求数列与数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

18．某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．

(1)请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；

(2)根据频率分布直方图估计该班级的平均分．

19．已知菱形的边长为，，如图1．沿对角线将向上折起至，连接，构成一个四面体，如图2．

(1)求证：；

(2)若，求四面体的体积．

20．设小张每次投篮的命中率为，每次投篮的结果相互独立.当时，小张投篮5次恰好命中2次的概率取得最大值.

(1)求；

(2)若，记他投篮8次恰好命中3次的概率为，他投篮10次恰好命中4次的概率为，试问，哪个更大?说明你的理由.

21．平面内定点，定直线，P为平面内一动点，作，垂足为Q，且．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点R，试判断是否为定值．

22．在极点为O的极坐标系中，经过点的直线l与极轴所成角为，且与极轴的交点为N．

(1)当时，求l的极坐标方程；

(2)当时，求面积的取值范围．

23．已知定义在上的函数的最小值为.

(1)求的值；

(2)设，，求证：.

参考答案

1．B

【分析】利用集合的交集和补集运算法则计算即可.

【详解】因为，

所以或，

又，

所以.

故选：B.

2．B

【分析】全称命题的否定特称命题，任意改为存在，把结论否定.

【详解】全称量词命题的否定是特称命题，需要将全称量词换为存在量词，答案A，C不符合题意，同时对结论进行否定，所以：有的圆的内接四边形不是矩形，

故选：B.

3．B

【分析】求得，以及对应点的坐标，从而确定正确答案.

【详解】由于，

所以，

所以对应点的坐标为，在实轴上.

故选：B

4．D

【分析】先通过化同指数比较和的大小，再通过化同底数比较和的大小.

【详解】先比较和的大小：

，，

，，.

然后比较和的大小：

，，

综上，.

故选：D.

5．A

【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，

结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.

故选：A.

6．A

【分析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出

向可行域平移即可求解.

【详解】作出可行域，如图所示

转化为，令则，

作出直线并平移使它经过可行域的点，经过时，

，解得，所以

此时取得最大值，即有最大值，即．

故选：A.

7．A

【分析】按照①②③④的顺序，结合乘法计数原理即可得到结果.

【详解】首先对①进行涂色，有5种方法，

然后对②进行涂色，有4种方法，

然后对③进行涂色，有3种方法，

然后对④进行涂色，有3种方法，

由乘法计数原理可得涂色方法种数为

种

故选:A

8．C

【分析】先求出，直接利用夹角公式求夹角.

【详解】由已知可得，得，设向量与的夹角为θ，

则，

因为，所以向量与的夹角为.

故选：C.

【点睛】（1）求向量夹角通常用夹角公式；

（2）要注意夹角的范围：.

9．D

【分析】根据图像的平移和伸缩变换对解析式的影响即可求的g(x)解析式﹒

【详解】将函数的图象向右平移，可得函数的图象；

再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象．

故选：D﹒

10．B

【详解】设塔顶的a1盏灯，

由题意{an}是公比为2的等比数列，

∴S7==381，

解得a1=3．

故选B．

11．A

【分析】由，但由，当时，，故“”是“”的充分不必要条件.

【详解】，所以“”是“”的充分条件；

又，当时，，所以“”是“”的不必要条件；

故选：A

12．B

【分析】利用余弦定理求得角，再利用基本不等式可求得的最大值，再根据，即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以，

又，所以，

则，

所以，当且仅当时取等号，

又是边上的高，

则，

所以，

所以的最大值为.

故选：B.

13．

【分析】由，利用诱导公式可得，根据同角三角函数间的关系列方程组，从而可得结果.

【详解】因为，

所以，即

结合与可解得，故答案为.

【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.

14．

【分析】求出导函数，得到切线斜率，结合点斜式得到方程.

【详解】由，得，所以切线的斜率为，

又，所以切线方程为即

故答案为：

15．（答案不唯一）

【分析】根据条件①②③结合二次函数的基本性质可得出一个满足条件的函数的解析式.

【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，且在上单调递减，且，

可取满足条件.

故答案为：（答案不唯一）.

16．

【分析】在中，由是的中点，且得，可得 既是的中线、也是它的高.可得，即，即可求得答案.

【详解】在中，

是的中点，且由得，

既是的中线、也是它的高.

.

即.故.

椭圆的离心率为.

【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．

17．(1)，.

(2)

【分析】（1）直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案.

（2），利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案.

【详解】（1），，解得，（舍去）.

故，.

（2），

故.

18．(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；

（2）根据频率分布直方图，和平均数计算方法，即可求出结果.

（1）

根据折线图，频率分布直方图如下图：

（2）

平均分为：；

所以该班级的平均分约为.

19．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到，，从而得到平面，即可得证；

（2）首先求出，即可得到，从而求出，再根据计算可得.

(1)

取的中点，连接，，因为菱形的边长为，，所以与为等边三角形，所以，，又，平面，所以平面，因为平面，所以；

(2)

因为菱形的边长为，所以，又，所以，所以，所以，所以

20．(1)

(2)更大

【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式求得，再利用导数求出函数的单调区间，即可得出答案；

（2）由（1）结合独立重复试验的概率公式求得，再比较与的大小，即可得出结论.

(1)

解：，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，

所以；

(2)

解：当时，

，

，

则，

所以，

即更大.

21．(1)

(2)为定值．

【分析】（1）设，利用可得到，化简即可；

（2）设，与椭圆的方程进行联立可得，可求出的坐标，继而求出线段的垂直平分线的方程，通过距离公式和弦长公式即可求解

【详解】（1）设，因为，即，

所以

化简整理，得，

所以动点P的轨迹方程为

（2）法一：由条件可得直线的斜率必存在且不为0，可设，

联立方程组消去y，得，

设，则，

设中点为，知，，

∴线段的垂直平分线的方程为，

令，得，所以，

而，

∴为定值．

法二：设直线的方程为，

联立方程组整理得，

设中点为，则，

由可得，

∴，

，

又线段的垂直平分线方程为，

令，得，

∴，

∴为定值．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．(1)

(2)

【分析】（1）先求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.

（2）对直线的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得面积的取值范围.

【详解】（1）点，则，

所以点的直角坐标为，

当时，直线的直角坐标方程为，

转化为极坐标方程为.

（2）在极坐标系下：经过点的直线l与极轴所成角为，

在直角坐标系下：经过点的直线的倾斜角为或.

即直线的倾斜角是或.

当直线的倾斜角为时，

直线的方程为，

令得，

，，

，

所以

.

当直线的倾斜角为时，

直线的方程为，

令得，

，

所以

.

综上所述，面积的取值范围是.

23．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用绝对值不等式得，求出的范围，则得到的值.

（2）由（1）得，利用柯西不等式即可证明.

【详解】（1）.

当且仅当，即时，有，

所以.

（2）由（1）知应用柯西不等式，得：

，

所以.

当且仅当，且，即时，等号成立.