宁夏2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

宁夏2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（理）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知全集，则（    ）

A． B． C． D．

2．如果复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A．0 B．2 C．0或3 D．2或3

3．命题p：若，则；命题：．下列命题为假命题的是

A． B．q C． D．

4．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　）

A．120 B．60 C．160 D．80

5．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是

①已知，由，求得的最小值为2

②由，求得的最小值为2

③已知，由，当且仅当即时等号成立，把代入得的最小值为4.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．以下哪个函数在定义域内既是奇函数，又是增函数（    ）

A． B． C． D．

7．年月日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

8．用数学归纳法证明“”，验证n=1时，左边计算所得式子为

A．1 B．1+2 C． D．

9．第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ）

A．直方图中b的值为0.025

B．候选者面试成绩的中位数约为69.4

C．在被抽取的学生中，成绩在区间之间的学生有30人

D．估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5分

10．设函数，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

11．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是

A． B． C． D．

12．已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．若单位向量，的夹角为120°，则______．

14．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：

①若α∩γ=a，β∩γ=b，且ab，则αβ；

②若a，b相交且都在α，β外，aα，bβ，则αβ；

③若aα，aβ，则αβ；

④若a⊂α，aβ，α∩β=b，则ab.

其中正确命题的序号是________.

15．设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是________．

三、双空题

16．已知，，，成等比数列，且.若，则___________（填“>”或“<”）；___________（填“>”或“<”）

四、解答题

17．在中，延长BA到C，使，在OB上取点D，使，

(1)设，，用，表示向量及向量.

(2)若，，，求的面积.

18．在正方体中，分别是和的中点．

(1)求异面直线和所成角的大小；

(2)求证：平面平面.

19．已知焦点在轴上的双曲线经过点.

（1）求双曲线的离心率；

（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长.

20．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．

（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；

（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．

①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；

②求活动参与者得到纪念品的概率．

21．已知函数，.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值.

23．已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）若，，，且，证明：.

参考答案：

1．B

【分析】根据集合的交并补运算即可求解.

【详解】,所以，

故选：B

2．A

【分析】由纯虚数的概念求得值，注意虚部不能为0．

【详解】根据纯虚数的概念可知:

且，

解，得或；

当时，符合题意，

当时，（舍） ，

所以.

故选：A.

3．A

【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．

【详解】若x为钝角，y为锐角，则x＞y，tanx＜tany，

故命题p：若x＞y，则tanx＞tany，为假命题；

（x﹣y）2≥0恒成立，故命题q：x2+y2≥2xy为真命题；

故命题p∨q，￢p均为真命题，

p∧q为假命题，

故选A．

【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，正切函数，不等式的证明等知识点，难度基础．

4．A

【分析】首先根据等差数列通项公式和前项和公式将题干条件中的等式转化成基本量和，然后联立方程组解出和，最后根据公式求解即可.

【详解】为等差数列，，

，

，解得.

.

故选：A.

5．A

【解析】根据基本不等式求最值得条件：一正、二定、三相等逐一判断即可.

【详解】对于①，当与同号时，；

当与异号时，，故①不正确.

对于②，，

当，即，等号成立的条件不存在，故②不正确.

对于③，，

当且仅当取等号，由于，积不是定值，故③不正确；

故选：A

【点睛】本题考查了基本不等式使用的条件：一正、二定、三相等，属于基础题.

6．A

【分析】探讨函数的奇偶性首先研究函数的定义域是否关于原点对称，由此排出C，根据图象排除B、D，即可得到答案.

【详解】对于A，，所以为奇函数.又当时，，函数单调递增；当，，也单调递增；且与在处都为0.所以在定义域内为增函数，所以A对.

对于B，在其定义域上不是单调函数，所以B错.

对于C，函数的定义域不关于原点对称，所以C错.

对于D，图象既不关于原点对称也不关于y轴对称，所以D错.

故选：A.

7．A

【分析】将所有情况分成三种，利用排列组合的知识分别计算每种情况的情况种数，由分类加法计数原理计算可得结果.

【详解】①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列即可，有种情况；

②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；

③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；

不同的分析情况共有种．

故选：A.

【点睛】方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）平均分组问题先选好人后，平均分了组，则除以；

（5）定序问题采取“缩倍法”.

8．D

【详解】当时,左边计算的式子为，故选D.

9．C

【分析】利用频率之和为求得，由此判断A选项的正确性，根据中位数、平均数的求法判断BD选项的正确性，通过计算成绩在区间之间的频数来判断C选项的正确性.

【详解】对于A，∵，∴，故A正确；

对于B，设候选者面试成绩的中位数为x，则，解得，故B正确；

对于C，成绩在区间的频率为，故人数有，故C错误；

对于D，，故D正确．

故选：C

10．D

【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.

【详解】因，则，而，

所以.

故选：D

11．B

【分析】首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.

【详解】由函数的最小正周期公式可得：，

则函数的解析式为，

将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：

，

函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：

，

则，        ①

令可得：，

其余选项明显不适合①式.

本题选择B选项.

【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．B

【分析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.

【详解】因为实数，满足，

所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），

当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，

当时，其图象不存在，

当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，

作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：

任意一点到直线的距离

所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，

双曲线，其中一条渐近线与直线平行，

通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，

设与其图像在第一象限相切于点，

由

因为或（舍去）

所以直线与直线的距离为

此时，

所以的取值范围是．

故选：B．

【点睛】三种距离公式：

（1）两点间的距离公式：

平面上任意两点间的距离公式为；

（2）点到直线的距离公式：

点到直线的距离;

（3）两平行直线间的距离公式：

两条平行直线与间的距离.

13．

【解析】通过平方结合数量积公式即可求解.

【详解】，故．

故答案为：

14．④

【分析】根据线线、线面、面面之间的位置关系即可得出结果.

【详解】解析：①错误，α与β也可能相交；

②错误，α与β也可能相交；

③错误，α与β也可能相交；

④正确，由线面平行的性质定理可知.

故答案为：④

15．

【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.

【详解】，

圆心M(1，3)，半径r＝，

过定点E(2,1)，

过定点E(2,1)，

且⊥，

如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，

设，，则，

则＝

，当且仅当即时取等号.

故答案为：.

16．     >     <

【分析】根据式子的结构构造函数，判断出，得到，求出.对q进行分类讨论：和不合题意矛盾，得到，即可比较大小.

【详解】因为，所以.

记，则.

令，得：；令，得：；

函数在上单增，在上单减，

所以对任意，都有，即恒成立，

所以，即，

所以，所以.

因为，所以.

当时，则，，与题意矛盾，故舍去；

当时,则,即.又,所以,与题意矛盾,故舍去；

所以,从而,即；

,故，即.

故答案为：>,<

【点睛】数列中比较大小的方法：

（1）根据通项公式，利用函数的单调性比较大小；

（2）利用作差法（作商法）比较.

17．(1)，

(2)

【分析】（1）根据向量的线性运算，利用基底表示向量即可；

（2）由正弦定理求出B，再由三角形的面积公式求解.

【详解】（1）∵A是BC的中点，则

，

故，

，

（2）由正弦定理可得，，解得,

由可知，，故，

所以，

所以.

18．(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量的夹角公式，结合异面直线所成角与向量夹角的关系即可求解；

（2）根据（1）的坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面、平面的法向量，结合两平面的法向量平行即可求解.

（1）

由题意可知，不妨设正方体的棱长为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

所以,,则

.

设异面直线和所成角为，则

，

所以异面直线和所成角为.

（2）

由（1）知，,

，，

由题意可知，平面 ,所以平面的法向量为.

设平面的法向量为，则

，即，令，则，，所以，

由，得平面平面.

19．（1）；（2）8.

【解析】（1）设双曲线方程，用待定系数法可求；

（2）联立双曲线和直线的方程，表示出两根之和，两根之积，利用弦长公式可求.

【详解】解：（1）设双曲线的方程为，则，，

所以，；

（2）由（1）得双曲线的方程为，设，

，，，

，

弦长为8.

【点睛】考查双曲线离心率的求法以及弦长的求法，中档题.

20．（1）5；（2）①证明见解析；②．

【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；

（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；

②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．

【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，

，，

，．

∴X的分布列为：

E（X）＝＝5．

（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：

（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，

（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，

∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．

②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，

∴，

∴，，•••，，

各式相加，得：，

∴，（i＝1，2，•••，19），

∴活动参与者得到纪念品的概率为：

．

【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．

21．（1）； （2）.

【分析】（1）（1）当时，得到，求得，得出，且，结合直线的点斜式方程，即可求解.

（2）把在转化为在恒成立，令，利用导数求得函数的额单调性，零点的存在定理得到在上递减，在上递增，从而求得，即可求得整数的最大值.

【详解】（1）（1）当时，可得，则，

可得，且，

即函数在点处的切线的斜率，

所以切线方程为，即，

函数在点处的切线方程.

（2）由，

因为在恒成立，即在恒成立，

即在恒成立，

令，可得，

令，可得在上单调递增，且，

所以存在，使得，

从而在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为在恒成立，所以，

所以整数的最大值为.

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

22．(Ⅰ) (Ⅱ)

【分析】(Ⅰ)法一：将化为直角坐标方程，根据对称关系用上的点表示出上点的坐标，代入方程得到的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将化为极坐标方程，根据对称关系将上的点用上的点坐标表示出来，代入极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用和的极坐标方程与的极坐标方程经坐标用表示，将所求面积表示为与有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.

【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，的直角坐标方程为：，

设曲线上任意一点关于直线对称点为，

所以

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为：

法二：由题可知，的极坐标方程为： ，

设曲线上一点关于 的对称点为，

所以

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为：

(Ⅱ)直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：

设，

所以解得，解得

因为：，所以

当即时，，取得最大值为：

【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.

23．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）先分段讨论去绝对值，解不等式，再求并集即可；

（2）先利用绝对值不等式求得，再妙用“1”进行代换，利用基本不等式求得即可.

【详解】解：（1）

当时，，则，所以，

当时，，则，所以，

当时，，则，所以，

综上：不等式的解集为；

（2）由绝对值不等式的性质可得，

，

因为，，，且，所以

，

当且仅当，时，等号成立.

故.