2022年浙江省杭州市钱塘区九年级中考一模数学试题（解析版）

2022年初中学业水平模拟考试数学

一、选择题：本大题有10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 化简：（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据合并同类项法则，进行计算求解即可．

【详解】解：．

故选B．

【点睛】本题考查的是整式的加减中的合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．

2. 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的左视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据左视图就是从左面观察几何体，得到平面图形进行作答即可．

【详解】解：由题意知，几何体的左视图下面是一个长方形，上面是一个等腰三角形，且长方形的长和三角形的底一致，如图．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键在于熟练掌握几何体的三视图．

3. 2022年4月16日央视新闻网全程直播“神舟十三号”载人飞船返航，截止当天下午五时，全网共2728.9万人在线观看．数据2728.9万用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【详解】解：数据2728.9万用科学记数法表示为

27289000=2.7289×107．

故选：C．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．

4. 一元一次不等式组的解在数轴上表示正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先分别求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式组的解集即可．

【详解】解：

解不等式①，得x≥-1；

解不等式②，得x＜2．

∴不等式组的解集是．

在数轴上表示解集为：

故选：D．

【点睛】本题主要考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．准确的求出不等式组的解集是解题的关键．

5. 若函数的图象经过，两点，则（    ）

A. -4 B. -2 C. 2 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】把，代入建立方程组，再解方程组即可．

【详解】解：函数的图象经过，两点，

，

解得：，

故选D．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“待定系数法”是解本题的关键．

6. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如表格所示．关于这组数据，下列说法正确的是（    ）

A. 众数是16 B. 中位数是2 C. 平均数是2 D. 方差是1

【答案】B

【解析】

【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．

【详解】解：A、由出现次数最多的数据是2册，所以众数是2册，结论错误，故A不符合题意；

B、排在最中间的两个数据分别是2和2，所以中位数是2册，结论正确，故B符合题意；

C、平均数（0×6+1×14+2×16+3×12+4×2）÷50=1.8（册），结论错误，故C不符合题意；

D、方差= ，结论错误，故D不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各自的定义及计算方法是解题关键．

7. 如图，在中，D为BC边上一点（不与点B，点C重合），E，F分别在AB边和AC边上，，连结AD交EF于点G，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由，证明再利用相似三角形的性质可得答案．

【详解】解： ，

故选C

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．

8. 节假期间，几名同学合租了一辆汽车准备从市区到郊外游玩，租金为600元．出发时，又增加了2名同学，此时总人数为x名（不超过车载额定人数）．如果汽车的租金由参加的同学平均分摊，且原先租车的几名同学平均每人少分摊了50元，由题意列方程正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由出发时又增加了2名同学，可得出原计划共（x-2）名同学去郊外游玩，利用人均分摊的车费=租车费用÷乘车人数，结合实际比原计划每名同学少分摊50元，即可得出关于x的分式方程．

【详解】解：∵出发时，又增加了2名同学，且此时总人数为x名（不超过车载额定人数），

∴原计划去郊外游玩的同学共（x-2）名．

依题意得： ．

故选：A．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】利用抛物线与x轴有交点，则Δ≥0，解不等式即可得到m的范围；-1＜0，则抛物线的开口向下，利用题意得到抛物线的对称轴的位置，利用抛物线的性质可得m的范围，综合以上信息即可得出结论．

【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，

∴Δ≥0．

∴（2m）2-4×（-1）×（-m2-m+1）≥0．

解得：m≤1．

∵，

∴二次函数的图象的对称轴为直线x=m．

∵当x＜-3时，y随x的增大而增大，

∴m≥-3．

∴-3≤m≤1．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，解一元一次不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

10. 在菱形ABCD中，已知，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且．若线段AE与AB的比值为，则四边形EFGH与菱形ABCD的面积比可表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】如图，作于 延长CD交NH的延长线于M，设菱形的边长为 再表示四边形EFGH与菱形ABCD的面积，再计算即可．

【详解】解：如图，作于 延长CD交NH的延长线于M，

菱形ABCD，则

设菱形的边长为

则

同理：

而

四边形EFGH与菱形ABCD的面积比为

故选A

【点睛】本题考查是菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分式的化简，设菱形的边长为 再表示四边形EFGH与菱形ABCD的面积是解本题的关键．

二、填空题：本大题有6个小题

11. 当时，分式的值是______．

【答案】-1

【解析】

【分析】把代入分式，计算求解即可．

【详解】解：把代入分式，得

故答案为：-1．

【点睛】本题考查了分式求值问题，正确的计算是解决本题的关键．

12. 已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______．

【答案】2

【解析】

【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积求解即可得出答案．

【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，

∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴舍去，

故答案：2．

【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若，则是的比例中项”是解本题的关键．

13. 已知一个不透明盒子里装有5个只有颜色不同的球，其中3个红球，2个白球．从中任意摸出两个球，则摸出两球颜色相同的概率是______．

【答案】##0.4
 

【解析】

【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以得到从中随机摸出两个球颜色相同的概率．

【详解】解：如图所示，

所有的等可能的结果数为20种，其中颜色相同的有8种，

∴从中随机摸出两个球都颜色相同的概率是：，

故答案为：

【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解题的关键是明确题意，画出相应的树状图、求出相应的概率．

14. 在中，．若，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】先画图，再设 则 再利用勾股定理求解 再利用锐角的正切的含义求解即可．

【详解】解：如图，．，

设 则

故答案为：

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的正切的含义，掌握“锐角的正切的含义”是解本题的关键．

15. 已知点P是⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连结OA，OB．若⊙O的半径为3，劣弧AB的长为，则∠P的度数为______．

【答案】60°##60度

【解析】

【分析】先根据弧长公式求出圆心角∠AOB的度数，进而求出答案．

【详解】根据题意，，

即，

解得n=120°，

即∠AOB=120°．

∵PA，PB是圆O的切线，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠P=360°-∠PAO-∠PBO-∠AOB=60°．

故答案为：60°．

【点睛】本题主要考查了弧长公式，切线的性质等，求出∠AOB的度数是解题的关键．

16. 如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OC，可证得四边形AOEH是平行四边形，OE=AH，可得当点E、点G在OC上时，最小，即最小，再根据勾股定理即可求得．

【详解】解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG，

，，

，

又，

四边形AOEH是平行四边形，

，

当点E、点G在OC上时，最小，即最小，

，

，

，

，

故的最小值为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形及正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．

三、解答题：本大题有7个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 化简：．圆圆的解答如下：．圆圆的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．

【答案】不正确，过程见解析

【解析】

【分析】根据完全平方公式及平方差公式进行运算，即可判定和解答．

【详解】解：不正确．

过程如下：

【点睛】本题考查了利用完全平方公式及平方差公式进行运算，熟练掌握和运用完全平方公式及平方差公式是解决本题的关键．

18. 某校为了解初中生对亚运会有关知识的掌握情况，对全校学生进行了一次迎亚运知识测试，并随机抽取了若干名学生的测试成绩作为样本进行整理分析，绘制成如图所示不完整的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）和扇形统计图．

（1）求样本容量，并将频数直方图补充完整；

（2）若成绩在60分以下（不包括60分）为不合格，请估计全校1200名学生中成绩合格的人数．

【答案】（1）100，补全图形见解析   

（2）估计全校1200名学生中成绩合格的人数有人

【解析】

【分析】（1）由的人数有25人，占比25%，从而可得样本容量，再求解的人数，再补全图形即可；

（2）利用总人数乘以及格率即可得到答案．

【小问1详解】

解：由题意得：%，

∴样本的容量是100，

∴，

频数直方图补充完整如下：

【小问2详解】

解：（人），

∴成绩在60分以下（不包括60分）为不合格，估计全校1200名学生中成绩合格的人数有人．

【点睛】本题考查的是频数直方图与扇形图，利用样本估计总体，熟练的从直方图与扇形图中获取互相关联的信息是解本题的关键．

19. 问题：如图，，若______，求证：______．

在①，②，③这三个条件中选择其中两个，补充在上面问题的条件中，剩余的一个条件补充在结论中，并完成问题的解答．（注：只需选择一种情况进行作答）．

【答案】情况一：①AD=AE，②∠ABC=∠ACB；③∠DAB=∠EAC；解答见解析
情况二：①AD=AE，③∠DAB=∠EAC；②∠ABC=∠ACB；解答见解析
情况三：②∠ABC=∠ACB，③∠DAB=∠EAC；①AD=AE；解答见解析（任意写出一种情况即可）

【解析】

【分析】根据题意选择条件和结论，证明，进而可证结论．

【详解】解：情况一：若①AD=AE，②∠ABC=∠ACB作为条件，③∠DAB=∠EAC作为结论；

∠ABC=∠ACB，

，

∵在Rt△ADB和Rt△AEC中，

∴（HL），

∴∠DAB=∠EAC．

故答案为：①AD=AE，②∠ABC=∠ACB；③∠DAB=∠EAC．

情况二：若①AD=AE，③∠DAB=∠EAC作为条件，②∠ABC=∠ACB作为结论；

∵在Rt△ADB和Rt△AEC中，

∴（ASA），

∴AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

故答案为：①AD=AE，③∠DAB=∠EAC；②∠ABC=∠ACB．

情况三：②∠ABC=∠ACB，③∠DAB=∠EAC作为条件，①AD=AE作为结论；

∠ABC=∠ACB，

，

∵在Rt△ADB和Rt△AEC中，

∴（AAS），

AD=AE．

故答案为：②∠ABC=∠ACB，③∠DAB=∠EAC；①AD=AE．

（三种情况任选一种即可）

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．

20. 已知点在一次函数（k是常数，）的图象上，也在反比例函数的图象上．

（1）当时，求m和k的值；

（2）当时，求点A的坐标，并直接写出当时，自变量x的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或 当时，或

【解析】

【分析】（1）由时，把点代入反比例函数求解即可，再把点代入一次函数，求解即可；

（2）把代入一次函数的解析式，再联立两个函数解析式解方程求解的坐标即可，再画出两个函数的简易图象，利用图象解不等式即可．

【小问1详解】

解：当时，点在反比例函数的图象上，

所以 解得：

点在一次函数的图象上，

解得：

【小问2详解】

解：当时，一次函数为

整理得：

解得：

所以方程组的解为 经检验符合题意．

或

画两个函数的简易图象如下：

根据图象可得当时，或

【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，一元二次方程的解法，熟悉利用图象法解不等式是解本题的关键．

21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不与点B，点C重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）若，且的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用平行四边形的性质证明从而可得结论；

（2）利用平行四边形的性质证明利用相似三角形的性质可得同理可得从而可得平行四边形的面积．

【小问1详解】

证明： 平行四边形ABCD，

．

【小问2详解】

解： 平行四边形ABCD，

，且的面积为1，

同理：

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”是解本题的关键．

22. 已知二次函数（a是常数，）．

（1）当时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

（2）若此函数图象对称轴为直线时，求函数最小值；

（3）设此二次函数的顶点坐标为，当时，求证：．

【答案】（1）；    （2）-27    （3）见解析

【解析】

【分析】（1）把代入函数关系式，求出函数表达式，根据函数表达式求出函数图象的顶点坐标即可；

（2）根据函数表达式可以写出函数图象与x轴的两个交点坐标，用a表示出函数图象的对称轴，根据对称轴为直线x=−2，列出关于a的方程，解出a的值，得出函数表达式，求出最小值即可；

（3）用a表示出m，n，再将用a表示的m，n代入得出用a表示的不等式，求表达式的最大值即可证明．

【小问1详解】

解：把代入y=a(x+2a−1)(x−a+2)得：

∴函数图象的顶点坐标为（-1，0）．

【小问2详解】

∵函数不等式为y=a(x+2a−1)(x−a+2)，

∴函数图象与x轴的两个交点坐标为：，，

∴函数图象的对称轴为直线，

函数图象对称轴为直线x=−2，

，

解得：，

函数的关系式为：

∴函数的最小值为-27．

【小问3详解】

根据解析（2）可知，函数图象的对称轴为：直线，

把代入函数关系式得：

∴函数图象的顶点坐标为，

，，

，

，

．

【点睛】本题主要考查了求二次函数表达式，顶点坐标，对称轴，最值，熟练掌握将二次函数的关系式转化为顶点式是解题的关键．

23. 如图，在中，，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接BE，OD，BE与OD交于点F．

（1）求证：；

（2）当时，求∠CBE的度数；

（3）连接DE，若，，求AE的长．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）如图，连接利用等腰三角形的性质证明 再利用中位线的性质可得答案；

（2）先证明 求解 再利用角的和差关系可得答案；

（3）利用直角三角形斜边上的中线的性质先求解 再证明再利用相似三角形的性质求解 从而可得答案．

【小问1详解】

证明：如图，连接

为⊙O的直径，

而

【小问2详解】

解：为⊙O的直径，

而

【小问3详解】

解：如图，

四边形为的内接四边形，

而

而

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，熟悉以上重点图形的基本性质是解本题的关键．