2022年浙江省杭州市临安区中考数学一模试卷（含解析）

2022年浙江省杭州市临安区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 与互为倒数的是

A.  B.  C.  D.

A.  B.  C.  D.

3. 如图，是的角平分线，点在上，于点，，则点到的距离是

A.
B.
C.
D.

4. 当时，一次函数的大致图象是

A.  B.
C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，点是由点向上平移个单位得到，则

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 学校给同学们准备了亚运吉祥物“琼琼、宸宸、莲莲”设同学选择任意一种吉祥物的机会均等．小聪和小慧可以从三种吉祥物中任选一件，则小聪和小慧拿到同一种吉祥物的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，菱形的顶点、、在上，过点作的切线交的延长线于点若的半径为，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，抛物线过点和点，且顶点在第三象限，设，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在等边的，边上各取一点，使，，相交于点若，，则的长是

A.
B.
C.
D.

10. 已知点，为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 因式分解：______．
12. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员次选拔赛成绩数据信息．要根据表中的信息选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的运动员是______．

13. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，其中点在直线上，若，则的度数为______．
     

14. 在等腰中，，，以边的中点为圆心长为半径画圆，该圆分别交，边于点，，是圆上一动点与点，不重合，连接，，则______．
15. 杭州市将在年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共个．已知篮球和足球的单价分别为元和元．根据需求，篮球购买的数量不少于个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为元，则有______种购买方案．
16. 如图，矩形，：：点是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连结，若的面积为，则的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

17. 以下是方方化简的解答过程．

方方的解答过程是否有错误？如果有，请写出正确的解答过程．






 

18. 某校春日郊游就“最想去的杭州市临安区旅游景点”，随机调查了本校名学生中的部分学生，提供四个景点选择：青山湖；大明山；太湖源；神农川，要求每位学生选择一个最想去的景点．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制的两幅不完整的统计图．
    
    请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    本次一共随机调查了多少名学生？
    请补全条形统计图；
    请估计全校“最想去景点神农川”的学生人数．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在，这两个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，请完成问题的解答．
    问题：如图，中，，点，在边上不与点，重合连结，若______，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 在平面直角坐标系中，设一次函数为常数，且，与反比例函数的图象交于点．
    若；
    求，的值；
    当时，求的取值范围；
    当点在反比例函数图象上，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，正方形的边长为，点是边上一点，过点作．
    设以线段，为邻边的矩形的面积为，以为边的正方形的面积为，且，求的长；
    连结，，若是的中点，交于点，连结，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 设二次函数是常数．
    当时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
    试判断二次函数图象与轴的交点情况；
    设二次函数的图象与轴交于点，当时，求的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，的直径垂直于弦于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结交于点，则点的位置随着点位置的改变而改变．
    如图，当时，求的值；
    如图，连结，，在点运动过程中，设，．
    求证：；
    求与之间的函数关系式．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：根据倒数的定义，和互为倒数．
故选：．
根据倒数的定义解决此题．
本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
根据完全平方公式：，解答即可．
本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：过点作于，
是的角平分线，，，，
，即点到的距离是，
故选：．
过点作于，根据角平分线的性质解答即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：一次函数中，，
一次函数的图象经过一、三、四象限，
故选：．
根据一次函数的、的符号确定其经过的象限即可确定答案．
主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
 

5.【答案】
 

【解析】解：点向上平移个单位得到点，
，，
，
故选：．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
 

6.【答案】
 

【解析】解：“琼琼、宸宸、莲莲”分别用、、表示，
根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中小聪和小慧拿到同一种吉祥物的有种，
则小聪和小慧拿到同一种吉祥物的概率是．
故选C．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】
 

【解析】解：连接，
是的切线，
，
四边形为菱形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
由勾股定理得，，
故选：．
连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
先利用待定系数法求出经过点和的直线解析式为，则当时，，再利用抛物线的顶点在第三象限，从而得到所以，根据顶点的纵坐标和与轴的交点坐标即可得出答案．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点
【解答】
解：经过点和的直线解析式为，
当时，，
而时，，
，即，
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
∽，
，
，，
，解得，
．
故选：．
证明≌，得出，证明∽，得出，可求出，即可得解．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
关于直线的对称点为，
若，由，，可得，
当抛物线开口向上时，，

选项A错误．
若，由，，可得，
当抛物线开口向下时，，

选项B错误．
若，当时，则，，抛物线开口向上，

，
当时，则，，抛物线开口向下，

，选项C正确．
若，当时，，，抛物线开口向下，

，选项D错误．
故选：．
通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论及时各选项求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：
确定公因式是，然后提取公因式即可．
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
 

12.【答案】甲
 

【解析】解：甲、乙、丙、丁四名跳远运动员次选拔赛成绩的平均数中，甲与丙的平均数最高，四名运动员次选拔赛成绩的方差甲和乙的最小，方差越小，波动性越小，成绩越稳定，故选择甲运动员．
故答案为：甲．
先根据平均值进行判断，再根据方差判断即可．
本题主要考查方差和平均数，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小，熟练掌握方差的计算方法是解答此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：作直线，

直线，
直线，
，，
，
，
，
，
故选：．
作直线，根据平行线的性质即可得到的度数，再根据角的和差即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：连接，，

，，
，
，
，
，
，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
或，
故答案为：或．
连接，，求出，再分当点在优弧上时和当点在劣弧上时，分别求出即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角，圆周角定理，理解题意，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设购买篮球个，则购买足球个，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案．
故答案为：．
设购买篮球个，则购买足球个，利用总价单价数量，结合“篮球购买的数量不少于个，且总价不超过元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有种购买方案．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于点，连接，

：：．
设，，
点是的中点，
，
的面积为，
，
解得舍去，，
，，，
，
由翻折可知：，垂直平分，，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，连接，设，，根据点是的中点，可得，根据的面积为，求出的值，然后利用三角形的面积即可解决问题．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

17.【答案】解：方方的解答过程有错误，正确解答过程如下：
原式

．
 

【解析】根据分式运算法则作出判断，并写出正确解答．
本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的通分、约分，将分式化简．
 

18.【答案】解：解：本次一共随机调查的学生数为名；
最想去景点的学生数为人，
最想去景点的学生数为人，
补全条形统计图如下：

最想去景点的学生所占比例为，
全校“最想去景点神农川”的学生人数为人．
 

【解析】用最想去景点的人数除以它所占的百分比即可得到被调查的学生总人数；
根据最想去景点的学生比例求出最想去景点的学生数，再求出最想去景点的学生数，再补全图形即可；
先求出最想去景点的学生所占的比例，再用全校总人数乘以最想去景点的学生所占的比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

19.【答案】
 

【解析】解：，
证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
先由得，再利用“”得≌，进而可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形的性质．
 

20.【答案】解：将代入一次函数解析式，
得，
，
，；
根据题意，得，
解得，
当时，的取值范围；
，
将点代入反比例函数，
得，
根据，
，
．
 

【解析】将点代入一次函数解析式，再根据即可求值；
先求出的取值范围，再根据图象求的取值范围；
将点代入反比例函数，得的值，又知道，根据完全平方公式即可求值．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式以及图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

21.【答案】解：设，则，
，，
，
解得，舍去，
；
证明：如图，连接，，

四边形是正方形，
垂直平分线，
，
是的中点，，
，
．
 

【解析】设，则，可得，，进而可以解决问题；
连接，，根据正方形的对角线互相垂直平分可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

22.【答案】解：当时，二次函数．
该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
令，
，
该一元二次方程无解，
二次函数图象与轴无交点；
令，
，
，
当时，的最小值为，
当时，的最大值为．
 

【解析】将代入二次函数解析式，再把函数解析式化成顶点式即可得出结论；
判断根的判别式的正负即可得出结论；
用表达，利用二次函数的性质可得出的最大值．
本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的解以及二次函数的图象，熟知二次函数的性质是解题基础．
 

23.【答案】解：连接，如图，

的直径垂直于弦于点，
．
，
．
．
．
，
．
，
；
证明：连接，如图，

为的直径，
．
．
，
．
．
，
．
解：，
．
四边形为圆的内接四边形，
．
，
∽．
．
．
与是等高的三角形，
．
．
，
．
与之间的函数关系式为．
 

【解析】连接，利用垂径定理和勾股定理求得的长，利用直角三角形的边角关系即可求得结论；
连接，利用圆周角定理，垂直的意义，通过等量代换即可得出结论；
通过证明∽，利用相似三角形的性质相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到；利用等高的三角形的面积比等于底的比，得到，依据题意化简即可得出结论．
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，勾股定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．