2022年浙江省杭州市富阳区中考数学一模选拔试卷（含答案解析）

2022年浙江省杭州市富阳区中考数学一模选拔试卷

1. 的值是

A.  B.  C.  D.

2. 已知a，b是两个连续整数，，则a，b分别是

A. ，0 B. 0，1 C. 1，2 D. 2，3

3. 如图，是的外接圆，则点O是的
   
   
    

A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三角形三内角角平分线的交点

4. 已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为

A.  B.  C.  D.

5. 已知弦AB把圆周分成1：3的两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为

A.  B.  C. 或 D. 或

6. 如图，是一个正方体的平面展开图，且相对两个面表示的整式的和都相等，如果，，，，则E所代表的整式是

A.  B.  C.  D.

7. 已知关于x，y的方程组的解是，则关于，的方程组的解为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，DB过的圆心，交于点A、B，DC是的切线，点C是切点，已知，则的周长
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，AB是的直径，弦于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，则下列结论错误的是
   
    

A.
B. 若，则
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，则是等腰三角形

10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③若、为函数图象上的两点，则；④，其中正确的结论是
     

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①④ D. ①③④

11. 若，则的值等于______.
12. 在，，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是______ .
13. 在中，，，，所对的边分别为a，b，c，且，，求______.
14. 如图，线段AB是的直径，弦，垂足为H，点M是上任意一点，，，则的值为______.
    
    
     

15. 已知二次函数的图象经过、、，则______选择“>”“<”“=”填空
16. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，，M是边AD的中点，N是AB上一点，将沿MN所在的直线翻折得到
    ①当N为边AB的中点时，的长度______.
    ②当N在边AB上运动的过程中，长度的最小值为______.

17. 以下是圆圆分式方程的解答过程：
    解：方程两边都乘以，得①．移项得②．解得③．
    圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18. A箱中装有3张扑克牌，牌面数字分别为2，4，6；B箱中也装有3张扑克牌，牌面数字分别为4，6，8；现从A箱、B箱中各随机地取出1张扑克牌，请你用画树状图或列表的方法求：
    抽取的两张扑克牌上的数字恰好相同的概率；
    如果用抽取的两张扑克牌上的数字组成一个两位数，组成的两位数大于90的概率．
19. 如图，一艘货船以36海里/时的速度在海面上航行，当他行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，获准继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东60度方向．求此时货轮与灯塔B的距离结果精确到海里

20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    设点、是反比例函数图象上的两个点，若，试比较与的大小；
    求的面积．

21. 如图，在中，，的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，
    试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
    若，，求阴影部分的面积结果保留

22. 已知抛物线
    若抛物线过点，求抛物线的解析式；
    若该抛物线上任意不同两点、都满足：当时，；当时，，试判断点在不在此抛物线上；
    抛物线上有两点、，当时，恒成立，试求a的取值范围．
23. 如图1，已知，，，，点D是射线AM上的一个动点，连接CD，点E是线段CD的中点，连接BE，过点E作，交BC的延长线于点设，
    求y关于x的函数关系式；
    如图2，N为AD的中点，连接NE，若与相似，求AD的长；
    若为等腰三角形，请直接写出的正切值．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：
故选：
将特殊角的三角函数值代入求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
 

2.【答案】C

【解析】解：，
，
，
，，
故选：
估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

3.【答案】B

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确把握外心的定义是解题关键．
根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案．
【解答】
解： 是 的外接圆，
点 O 是 的三条边的垂直平分线的交点．
故选：   

4.【答案】D

【解析】解：点P是线段AB的黄金分割点，，
，
故选：
根据黄金比值为计算即可．
本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键．
 

5.【答案】D

【解析】解：解：弦AB把分成1：3两部分，
，
，
四边形ADBC是的内接四边形，

这条弦所对的圆周角的度数是：或，
故选：
首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，求得的度数，又由圆周角定理，求得的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得的度数，继而可求得答案．
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

6.【答案】B

【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
标注“A”与“E”的面是相对的，
标注“B”与“D”的面是相对的，
标注“C”与“F”的面是相对的，
又因为相对两个面所表示的整式的和都相等，
所以，
所以

，
故选：
根据正方体表面展开图的特征判断出相对的面，再根据相对两个面所表示的整式的和都相等，进而求出的结果．
本题考查了正方体相对两个面上的文字以及整式的混合运算，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

7.【答案】A

【解析】解：根据题意得：，，
，，
故选：
根据关于x，y的方程组的解是，得出，，计算即可．
本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组，整体思想的应用是解题关键．
 

8.【答案】C

【解析】解：是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，，
的周长，
故选：
先证明，再利用含角的直角三角形的性质得，，从而解决问题．
本题主要考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】D

【解析】解：是的直径，，
，
，
，
故A正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
故B正确，不符合题意；
若，
，
，
，
，
是等腰三角形，
故C正确，不符合题意；
由，不能推出是等腰三角形，
故D错误，符合题意；
故选：
根据圆周角定理求解判断即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

10.【答案】C

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与y轴正半轴相交，
，
对称轴在y轴右侧，
，b异号，
，
，故①正确；
图象过点，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点为，
时，，故②错误；
、为函数图象上的两点，对称轴为，
，故③错误；
时，函数有最大值，
，即，故④正确．
故选：
根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断选项①；由图象得出时对应的函数值等于0，即可判断②；由二次函数图象上点的坐标特征即可判断③；根据二次函数的性质即可判断④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】

【解析】解：，

故答案为：
先把要求的式子变成，再进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，把要求的式子变成是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：在，，1，2这四个数中，其倒数等于本身的有和1这两个数，
所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是，
故答案为：
所列4个数中，倒数等于其本身的只有和1这2个，利用概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数及倒数的定义．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
，
，
即：，

故答案为：
根据，，于是得到，根据勾股定理得到，即可得到结论．
本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：连接OC，

线段AB是的直径，弦，，，
在中，设OC为x，可得：，
解得：，
，
，
，
故答案为：
根据垂径定理和勾股定理解答即可．
此题主要考查勾股定理以及垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．
 

15.【答案】>

【解析】解：
整理得：，
故答案为：
通过作差法判断与的大小即可．
本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特点，熟练掌握作差法是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：①连接BD、AC，

将沿MN所在的直线翻折得到
，
点M、N是AB、AD的中点，
是的中位线，
，
，
点A、、C三点共线，
四边形ABCD是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；
②是定值，
长度取最小值时，点应在MC上，
过点M作，交CD的延长线于点F，

在边长为2的菱形ABCD中，，M是边AD的中点，
，，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：
①连接BD、AC，首先证明点A、、C三点共线，再说明是等边三角形，利用含角的直角三角形的性质求出答案；
②根据是定值，可知长度取最小值时，点应在MC上，过点M作，交CD的延长线于点F，利用勾股定理求出MC的长度即可．
本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．
 

17.【答案】解：圆圆的解答过程错误，没有乘，
正确的解法是：，
方程两边都乘，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无解．

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

18.【答案】解：列表如下：

由表知，共有9种等可能结果，其中抽取的两张扑克牌上的数字恰好相同的有2种结果，
所以抽取的两张扑克牌上的数字恰好相同的概率为；
列表如下：

由表知，共有18种等可能结果，其中组成的两位数大于90的结果数为0，
所以组成的两位数大于90的概率为

【解析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：过点B作，交AC延长线于D，如图所示：
由题意得：，，海里，
则是等腰直角三角形，
，，
，
设海里，则海里，海里，
在中，，
即，
解得：，不合题意舍去，
海里，
答：此时货轮与灯塔B的距离约为海里．

【解析】过点B作，交AC延长线于D，由题意得，，海里，则是等腰直角三角形，得，，则，设海里，则海里，海里，然后在中，由勾股定理得出方程，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：将点代入反比例函数，
得，
反比例函数解析式：，
将点代入，
得，
解得，
，
将A，B点坐标代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式：；
若，
分三种情况：
①，，
②，，
③，；
设一次函数与y轴的交点为D，则D点坐标为，
，
，，
，
的面积为

【解析】待定系数法求解析式即可；
分三种情况：①，②，③，根据反比例函数得图象即可进行比较；
先求出一次函数与y轴交点坐标，再根据计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求解析式，反比例函数的性质，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：与相切．
理由：连接

是的平分线，
，
又，
，
，
，
，即，
又是的半径，
与相切；

设的半径为r，则，
由勾股定理得：，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积

【解析】连接OD，证明，即可证得，从而证得BC是圆的切线；
设的半径为r，则，根据勾股定理列方程可得r的长，最后由面积差可得结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
 

22.【答案】解：将代入得，
解得，

，
抛物线与x轴交点坐标为，，
抛物线对称轴为直线，
时，，时，，
抛物线对称轴为值，即，
解得，
，
将代入得，
点在抛物线上．
抛物线对称轴为直线，
点关于对称轴对称的点，
当时，恒成立，
抛物线开口向下，即，且，
解得

【解析】将代入函数解析式求解．
由当时，；当时，，可得抛物线对称轴为y轴，从而可得a的值，然后将代入解析式判断．
由时，恒成立，可得抛物线开口向下，求出点E关于对称轴对称的点坐标，列不等式求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

23.【答案】解：如图1，延长BE交AM于点G，
，
，
点E是线段CD的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
如图2，过点D作于点H，
则，
，
四边形ABHD是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
与相似，
∽或∽，
当∽时，
，
，
，
，
由知：，
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
；
当∽时，
，
，
点E是线段CD的中点，
，
，
，
解得：，，
经检验，，，均是原方程的解，
但x表示线段AD的长，，
，
；
综上所述，AD的长为或；
如图1，为等腰三角形，
或或，
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
如图2，，
，不符合题意；
当时，如图3，
，
，，
，
，
是BG的中点，，
，
，
与D重合，，
；
综上所述，或

【解析】延长BE交AM于点G，先证明≌，可得：，，由勾股定理得：，再证明∽，即可得出答案；
如图2，过点D作于点H，可证得四边形ABHD是矩形，可得：，，，运用勾股定理可得，再由与相似，分两种情况：当∽时，当∽时，分别利用相似三角形性质即可求得答案；
根据为等腰三角形，得出或或，分别求解即可．
本题是相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数定义等，添加辅助线构造直角三角形或全等三角形是解题关键．