2022-2023学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了0分， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若直线：与直线：平行，则实数k的值为( )
A. B. C. D. 3
2. 已知等差数列的首项，公差，则( )
A. 7B. 9C. 11D. 13
3. 已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一个焦点的距离为( )
A. 2B. 3C. 5D. 7
4. 已知空间向量，满足，则实数x的值是( )
A. B. C. 4D. 5
5. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺……”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天一共织了5尺布…”那么该女子第一天织布的尺数为( )
A. B. C. D.
7. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为1，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是( )
A. B. C. D.
8. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点
B. 直线在y轴上的截距为1
C. 过点且垂直于直线的直线方程为
D. 直线的倾斜角为
10. 已知椭圆C：内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆C的焦点坐标为，
B. 椭圆C的长轴长为4
C. 直线与直线的斜率之积为
D.
11. 已知数列的前n项和，则下列结论正确的是( )
A. 数列是递增数列
B. 数列不是等差数列
C. ，，成等差数列
D. ，，成等差数列
12. 平行六面体中，各棱长均为2，设，则下列结论中正确的有( )
A. 当时，
B. 和BD总垂直
C. 的取值范围为
D. 时，三棱锥的外接球的体积是
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 准线方程为的抛物线的标准方程是______ .
14. 已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出双曲线C的一个离心率______ .
15. 图甲是第七届国际数学教育大会简称的会徽图案，会徽的主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续做下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式_____.
16. 已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A和B，在线段AB上存在点Q，满足，则的最小值为______ .
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，直线与抛物线相交于A，B两点.
求线段AB的长；
证明：
18. 本小题分
如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，，
求点B到直线AC的距离；
求直线OB与平面ABC所成角的正弦值.
19. 本小题分
已知数列的首项，且满足
求证：是等比数列.
求数列的前n项和
20. 本小题分
已知两个定点，，动点P满足
求点P的轨迹方程；
若点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.
21. 本小题分
歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶上半部分类似于五面体形状．如图所示的五面体的底面ABCD为一个矩形，，，，棱，M，N分别是AD，BC的中点．
求证：平面平面ABCD；
求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．
22. 本小题分
已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，过点且不与x轴重合的动直线交双曲线C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时，
求双曲线C的标准方程；
设直线AP，AQ和直线分别交于点M，N，若恒成立，求t的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为直线：与直线：平行，
所以两直线斜率相等，即
故选：
利用两直线平行斜率相等，求出实数k的值．
本题主要考查了两直线平行时的斜率关系，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：在等差数列中，由首项，公差，
得
故选：
由已知直接利用等差数列的通项公式求解
本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
3.【答案】B
【解析】解：椭圆，，
由椭圆的定义可知，P到另一个交点的距离为
故选：
利用椭圆的定义即可求解．
本题考查了椭圆的定义，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为向量，满足，
所以，解得
故选：
由已知条件得出，解方程得到x的值即可．
本题主要考查空间向量垂直的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中档题．
由相交弦长和圆的半径r及圆心C到过的直线的距离d之间的关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．
【解答】
解：由圆的方程可得圆心坐标，半径，且点D在圆内，
设圆心到直线的距离为d，则过的直线与圆的相交弦长，
当d最大时最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时，
所以最小的弦长，
故选

6.【答案】B
【解析】解：设这女子每天分别织布尺，
则数列是等比数列，公比
则，解得
故选：
设这女子每天分别织布尺，则数列是等比数列，公比利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式及其前n项公式，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可知直线PA和PB关于对称，
任取直线PB的一点，
则M关于直线的对称点在直线PA上，
，即
故选：C
由题意可知直线PA和PB关于对称，任取直线PB的一点，可得M关于直线的对称点在直线PA上，代入已知方程变形可得．
本题考查直线的方程和对称性，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：在PC上任取一点D并作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．
过点O作，，因为平面APB，则，
≌，，≌，
因为，所以点O在的平分线上，即
设，
在直角中，，，则
在直角中，，则
即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是
故选
过PC上任意一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．先证明点O在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．
本题考查了直线与平面所成角的大小计算．解题过程构造了解题必需的直角三角形．考查空间想象能力，计算能力、转化能力．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确；
对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误；
对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，
则方程为，故C正确；
对于D，由直线方程，可得其斜率为，
设其倾斜角为，则，解得，故D错误．
故选：
对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；
对于B，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；
对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；
对于D，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案．
本题主要考查恒过定点的直线，以及直线的倾斜角，直线垂直的性质，即可求解．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为椭圆，
所以，所以焦点坐标为，A选项错误．
长轴长，B选项正确，C选项正确．
设，，则，
两式相减并化简得，
即直线AB的斜率为，直线AB的方程为，
由，得，
根据根与系数的关系可得，
所以根据弦长公式可得：，所以D选项正确．
故选：
根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案．
本题考查椭圆的几何性质，点差法的应用，弦长公式的应用，属中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：，
时，，
时，，
即，
，因此数列不是单调递增数列，故A错误；
又时，不满足，
数列不是等差数列，故B正确；
，，，
因此，，成等差数列，故C正确；
，，
，，成等差数列，故D正确．
故选：
由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A，B，分别计算出，，和，，，结合等差数列的定义判断选项C，
本题主要考查了数列的递推关系及等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A：在平行六面体中，各棱长均为2，设，
当时，平行六面体也为正方体，则，故A正确；
对于B：由题意得，，
，，即和BD总垂直，故B正确；
对于C：，根据棱锥的各侧面展开在一个平面上，
，解得，故C正确；
对于D：当且各棱长均为2时，则三棱锥为正四面体，
三棱锥的外接球的半径，则，故D错误，
故选：
根据平行六面体的特点，结合选项特点，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意设抛物线，则，，
抛物线的标准方程为，
故答案为
根据准线方程，可设抛物线，利用准线方程为，即可求得m的值，进而求得抛物线的方程．
考查抛物线的定义和简单的几何性质，以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：当双曲线C的焦点在x轴时，其渐近线为，则，
离心率，
当双曲线C的焦点在y轴时，其渐近线为，则，即，
离心率，
综上所述，则双曲线的离心率为或
故答案为：答案不唯一
分类讨论双曲线C的焦点在x轴、y轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离心率公式，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列求通项以及数列的实际运用，属中档题．
由规律可得，，，是以1为首项，以1为公差的等差数列，求解即可．
【解答】
解：根据题意：…，
，，，
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，，
故答案是
16.【答案】
【解析】解：设，，，
，，
又PA四点共线，设，
则，且，，
由，得，
解得，
同理，得，
解得，
点A在椭圆上，，
①，
同理点B在椭圆上，，
②，
①-②可得 ，又
，
点Q在定直线上，
的最小值为点O到直线的距离
故答案为：
设，，，由PA四点共线，用向量共线关系表示A，B两点坐标，又点A，B在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出Q点在一条定直线上，再求最短距离即可．
本题考查向量共线定理的应用，方程思想，点到直线的距离公式的应用，化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：设，，
联立，整理得，，
；
证明：由得，，
，即，
故
【解析】联立直线的方程和抛物线的方程，利用根与系数关系，即可得出答案；
利用根与系数关系、向量数量积等知识，即可证明结论．
本题考查直线与抛物线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：以，，方向分别为x，y，z轴正方向，建系如图，则根据题意可得：
，，，
，，，
设，，
则，，
点B到直线AC的距离为；
设平面ABC的一个法向量为，
则，取，
设直线OB与平面ABC所成角为，
则，
直线OB与平面ABC所成角的正弦值为
【解析】建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得；
利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得．
本题考查向量法求解点到直线的距离问题，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．
19.【答案】解：证明：，
，又，
是以首项为，公比为的等比数列；
由可得，
，
①当n为偶数时，；
②当n为奇数时，
【解析】根据等比数列的定义及通项公式即可求解；
根据分组求和法，等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查等比数列的定义及通项公式，分组求和法，等比数列的求和公式，属中档题．
20.【答案】解：设点P的坐标为，因为，
所以
整理得，所以点P的轨迹方程为
因为点N到直线PM的距离为1，，
所以，直线PM的斜率为或，
所以直线PM的方程为或
联立轨迹方程与，
可得，
解得或，
得直线PM的方程为时，P的坐标为或
直线PM的方程为时，P的坐标为或
当P的坐标为时，直线PN的方程为：，即
P的坐标为时，直线PN的方程为：，即
P的坐标为时，直线PN的方程为：，即
P的坐标为时，直线PN的方程为：，即
综上可得直线PN的方程为或
【解析】设点，后由结合两点间距离公式可得轨迹方程；
由点N到直线PM的距离为1，可得，则可得直线PM方程为或，将直线方程与轨迹方程联立可得点P坐标，后可得直线PN方程．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：因为，M为AD的中点，所以，
在矩形ABCD中，，M，N分别为AD，BC的中点，
故，所以，
又，MN，平面EFNM，所以平面EFNM，
又平面ABCD，所以平面平面
在平面EFNM中，过F作，H为垂足，因为平面平面ABCD，平面平面，平面EFNM，所以平面ABCD，
以H为坐标原点，过点H作，交AB于S，交CD于Q，
以HS，HN，HF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
由题意得，，
所以，，，，
所以，，
设平面EFCD的法向量，则，即，
令，得为平面EFCD的一个法向量，
设直线BF与平面EFCD所成的角为，
则，
所以直线BF与平面EFCD所成角的正弦值为
【解析】证明以及，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得，求得平面EFCD的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案．
本题考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解线面角的正弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
22.【答案】解：由题知，当PQ与x轴垂直时，，
所以，，
所以，解得，所以双曲线C的方程为
设直线PQ的方程为，，，
由，得，
所以，
直线AP的方程为，与联立，解得同理可得
所以，，
因为恒成立，所以恒成立，
又
，
所以，解得或
【解析】由可得a的值，再将点代入即可求解；
设直线PQ的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP的方程，求出点M，N的坐标，利用即可求出结果．
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
题号
一
二
三
四
总分
得分