2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷

1.  定义若向量，向量为单位向量，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为，其中正确命题的个数是(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3.  圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知椭圆的两个焦点为，，P为椭圆上一点，若的内切圆面积为，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

6.  已知等比数列的各项均为正数，公比为q，，，记的前n项积为，则下列选项错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若数列满足，，若对任意的正整数都有，则实数m的最大值为(    )

A.  B. 1 C. 2 D. 4

8.  若函数的极值点为1，则(    )

A.  B.  C. 0 D. 1

9.  给出下列命题，其中是假命题的是(    )

A. 若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有
B. 是，共线的充要条件
C. 若，共线，则
D. 对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面

10.  过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为，，AO交准线于点为坐标原点，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 直线轴 D. 的最小值是

11.  设是数列的前n项和，，，则下列说法正确的有(    )

A. 数列的前n项和为
B. 数列为递增数列
C. 数列的通项公式为
D. 数列的最大项为

12.  若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是(    )

A.  B.  C.  D.

13.  如图，在和中，B是EF的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于______.

14.  直线恒过定点______.

15.  设，为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为______.

16.  若函数的最大值为，则实数a的取值范围为______.

17.  如图，和都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．平面BCD，且
设P是DE的中点，证明：平面
求二面角的正弦值．

18.  在中，，，点C在直线上，若的面积为10，求点C的坐标．

19.  已知数列的前n项和满足：
求的通项公式；
设，求数列的前n项和

20.  已知数列的前n项和为
记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数

21.  已知，分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段，的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为
求椭圆C的标准方程
若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

22.  已知函数
当时，讨论的单调性；
当时，恒成立，求a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：由题意知
设与的夹角为，
则
又，

，
故选：
根据，利用空间向量的数量积和模的公式求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：对于①，故正确，
对于②，故②正确，
对于③，，AC，，分别为面的对角线，，与的夹角为，故错误，
故选：
根据空间向量的垂直和异面直线的所成的角即可求出．
本题考查了空间向量的垂直和异面直线的所成的角，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：因为两圆的圆心坐标分别为，，那么过两圆圆心的直线为：，
即：，与公共弦垂直且平分．
故选：
求出圆的圆心坐标，利用两个圆的方程公共弦的性质，求出满足题意的直线方程即可．
本题考查直线与圆的位置关系，两个圆的位置关系的应用，考查计算能力．
 

4.【答案】C 

【解析】解：根据勾股定理得到：，即，
的内切圆面积为，故，
根据等面积法得到：，
故，，即，解得或舍去
故选：
计算得到，，化简得到，解得答案．
本题考查了椭圆离心率的计算，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：是焦点为、的椭圆上一点，的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点M，

，
，
，
由题意知OQ是的中位线，
，
点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，
当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离
故选：
根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ是的中位线，，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项．
本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：等比数列的各项均为正数，，，
，
，若，则一定有，不符合，
由题意得，，
，，
…，
，
满足的最大正整数n的值为
故选：
等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，进而判断出结论．
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：，，
若，则，则，
则，那么可以无限的大下去，不符合题意；
若，则，则，数列是递增数列，
又，故，
又，故与同号，则恒成立，符合题意，
故选：
由题意得，分类讨论时不满足题意，时满足题意，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：，
函数的极值点为1，
，
，
，
故选：
求出函数的导数，计算，求出a的值；
本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
 

9.【答案】BCD 

【解析】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；
若，共线，则同向或反向，故B是假命题；
只有当时，P，A，B，C四点才共面，故D是假命题，
若，共线，则直线AB，CD平行或重合，故C是假命题，
故选：
根据向量的加法运算、共线与共面的条件，即可判断正误．
本题考查向量的线性运算以及共线与共面的条件，属于基础题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】解：由题意可知，抛物线的焦点F的坐标为，
准线方程为，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为，
代入，得，
所以，
则，
所以，故A错误，
因为三点共线，
所以，所以，
又，所以，
所以直线轴，所以C正确，
由题意可得，的坐标分别为，
所以，
所以，所以B正确，
设直线AB的倾斜角为，则，
所以，
当且仅当轴时取等号，所以D正确．
故选：
对于A，设直线方程代入抛物线方程中化简写出韦达定理，再利用向量数量积的坐标表示运算即可；
对于B，利用数量积即可说明；
对于C，利用A，O，M三点共线找出关系式来说明即可；
对于D，设直线AB的倾斜角为，则表示出，利用函数的性质求出最值即可．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：由，得，
，即，
又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，
则，可得，故AB正确；
当时，，
，数列的最大项为，故C错误，D正确．
故选：
由已知数列递推式可得，结合，得数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，求其通项公式，可得，结合求数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．
本题考查数列递推式，考查等差数列的确定，训练了利用数列的求和公式求通项，是中档题．
 

12.【答案】BCD 

【解析】解：直线的斜率为，
由的导数为，即有切线的斜率小于0，故A不能选；
由的导数为，而，解得，故B可以选；
由的导数为，而有解，故C可以选；
由的导数为，而，解得，故D可以选．
故选：
求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．
本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
，



，
，，
与的夹角的余弦值为
故答案为：
推导出，从而，由，得，进而，由此能求出与的夹角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线，即，
令，求得，可得此直线经过定点，
故答案为：
把直线的方程分离参数，令参数的系数等于0，求得x、y的值，可得此直线经过的定点的坐标．
本题主要考查直线过定点问题，利用了经过直线和直线的交点，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，m，，椭圆C：的，，，
，
由于M为C上一点且在第一象限，可得，
为等腰三角形，可能或，
即有，即，；
，即，舍去．
可得
故答案为：
设，m，，求得椭圆的a，b，c，e，由于M为C上一点且在第一象限，可得，
为等腰三角形，可能或，运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标．
本题考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及椭圆焦半径公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：时，，
时，，即，
时，恒成立，此时，
时，恒成立，
令，则单调递减，
且时，，所以，
时，恒成立，令，，则，
当时，，时，，
所以，从而，
综上，，
故答案为：
由题意分类讨论和，然后将问题进行转化，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值即可求得实数a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：证明：取BC的中点O，连接AO，DO，AD，
是正三角形，
，
平面平面BCD，平面平面，平面ABC，
平面
平面BCD，

在中，，

又，
为等腰三角形．
是DE的中点，

平面BCD，
，
，

平面BCD，平面BCD，
平面
由知，，，
四边形APDO为平行四边形，
，

以点O为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，

则，，

设平面ABE的法向量为，
则，则可取
设平面ACE的法向量为，
则，则可取，

设二面角的平面角为，则，
二面角的正弦值为 

【解析】取BC的中点O，先求出AO长度，再结合等腰三角形三线合一得出，则有，则得出结论；
在点O建立空间坐标系，分别计算两个半平面的法向量，并计算法向量的余弦值，再求解二面角的正弦值．
本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设点C在直线AB的距离为d，由题意知，，
，，
直线AB的方程为，
即，在点直线上，
设，，
，或，
点的坐标为或 

【解析】利用两点之间的距离公式可得，三角形面积计算公式、点到直线的距离公式即可得出．
本题考查了两点之间的距离公式、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，，两式相减得：，即，，
又当时，有，解得：，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
故；
由知：，
… 

【解析】由，两式相减整理得：，，再求得，从而说明数列是首项为1，公比为的等比数列，进而求得；
先由求得，再利用分组求和法求得
本题主要考查等比数列的定义、通项公式及分组求和法在数列求和中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：，即，
，
，

又，则，
又，数列是首项为1，公差为2的等差数列，
；
由得，则
①，②，
由①-②得，
，
又，
，，
是递增数列，且，
使不等式成立的最大正整数n为 

【解析】根据数列前n项和与第n项的关系，即可证明结论；
利用错位相减法，结合数列的单调性，求解即可得出答案．
本题考查等差数列的定义和通项公式、错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，N分别为线段，的中点，O是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
，
椭圆C的标准方程为
设，，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
易知，，
化简得，或舍去，直线l的方程为，即，直线l过定点
当直线l的斜率不存在时，设l：，
代入，解得，
由得，，解得或舍去，
此时直线l过点
综上，直线l过定点 

【解析】由三角形的中位线性质可得四边形OMPN的周长即为2a，椭圆的右顶点到右焦点的距离为，联立即可得椭圆方程；
分类讨论斜率存在与斜率不存在，当斜率存在时设出直线方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，，再由可得k与m的关系式，将其代入直线方程可得定点，当斜率不存在时，代入计算即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，
则，令，则，
因为为增函数，，
所以当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，故，即，
所以当时，函数在上单调递增；
令，，
当时，恒成立等价于恒成立，
因为，
当时，，函数在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意；
当时，设，，在上单调递增，，
①当即时，，
函数在上单调递增，所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意；
②当即时，，
若，即时，在上恒小于等于0，
则在上单调递减，，在上单调递减，，不符合题意；
若，即时，存在，使得，
所以当时，，则在上单调递减，
当时，存在，此时存在不符合题意，
所以a的取值范围是；
综上，当时，函数在上单调递增；
的取值范围是 

【解析】先对函数求导，然后根据导函数的符号判断即可求解；
结合已知不等式构造函数，然后对其求导，对a分类讨论导函数的符号．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，构造函数，对a分类讨论需要仔细，巧妙利用三角函数的有界性以及进行分析．