2022-2023学年北京市延庆区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市延庆区高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，集合，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  若复数满足，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  与圆：和：都外切的圆的圆心在(    )

A. 一个椭圆上 B. 一条双曲线上 C. 一条抛物线上 D. 双曲线的一支上

6.  已知直线和双曲线，那么“与只有一个公共点”是“与相切”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.  若双曲线的方程为，则它的离心率与渐近线方程分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  已知抛物线和点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  过抛物线的焦点的一条直线与此抛物线相交于，两点，已知，则线段的中点到抛物线准线的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知点在抛物线上，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  函数的定义域为______．

12.  双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为______，标准方程为______．

13.  函数的值域为______．

14.  已知中，，，，则______，______．

15.  已知双曲线的左右焦点分别为，，是双曲线上的一点．给出下列四个结论：
的最小值为；
若直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，则直线与双曲线只有一个公共点；
点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为；
若过的直线与双曲线的左支相交于，两点，如果，那么．
其中，所有正确结论的序号为______．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
根据下列条件，求圆的标准方程：
Ⅰ圆心在点，且过点；
Ⅱ过点和点，半径为；
Ⅲ，，为直径的两个端点；
Ⅳ圆心在直线：上，且过点和点．

17.  本小题分
如图，已知点，，圆：．
Ⅰ求过点的圆的切线方程；
Ⅱ设过点，的直线交圆于，两点，求线段的长；
Ⅲ求经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程．

18.  本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：；
Ⅲ求二面角的大小．

19.  本小题分
已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于，为坐标原点，直线：与椭圆相交于，不重合两点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ求的取值范围；
Ⅲ求的最大值．

20.  本小题分
已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为，过点的直线与椭圆交于，不重合两点，坐标原点为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ若线段的中点的横坐标为，求直线的方程；
Ⅲ若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程．

21.  本小题分
对非空数集，，定义与的和集对任意有限集，记为集合中元素的个数．
Ⅰ若集合，，写出集合与；
Ⅱ若集合满足，且，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，集合或，
，或，，
故选：．
先求出集合，，再利用集合的基本运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
的虚部为，
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的概念得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点是，
，，
抛物线的标准方程是，
故选：．
先求出，再求出抛物线的标准方程即可．
本题考查抛物线标准方程的求法，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，动点满足，
动点的轨迹方程是双曲线的上支，
且，．
动点的轨迹方程为．
故选：．
由双曲线的定义得动点的轨迹方程是双曲线的上支，且，由此能求出动点的轨迹方程．
本题考查双曲线的定义及其方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设动圆的圆心为，半径为，
圆：的圆心为圆，半径为，
圆：的圆心为，半径为，
由题意可得，，，
则，
点的轨迹是双曲线的一支上．
故选：．
根据两圆的位置关系，以及双曲线的定义，即可求解．
本题主要考查两圆的位置关系，以及双曲线的定义，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：若直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行，
若直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，
所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件．
故选：．
由双曲线的性质可知，当直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了双曲线的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：双曲线的方程为，
，，，
它的离心率为，
渐近线方程为．
故选：．
利用双曲线的离心率、渐近线方程的定义直接求解．
本题考查双曲线的定义、离心率、渐近线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设点在准线上的射影为，

则根据抛物线的定义可知，
取得最小值，即求取得最小，
当，，三点共线时最小，
由点坐标为，抛物线的准线方程为，
此时．
即的最小值为．
故选：．
根据题意画出图象，根据抛物线的定义可知，，当，，三点共线时最小，即为的最小值．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，焦点，
所在直线方程为，
直线与抛物线联立，
得，
由韦达定理得，中点横坐标为，
线段的中点到抛物线准线的距离是．
故选：．
求得所在直线方程，利用韦达定理求得中点坐标，即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，点在抛物线上，
，
，时取得最小值．
故选：．
根据两点间距离公式求得的函数，求函数的最小值即可．
本题考查抛物线的性质，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，则，则或，
则函数的定义域为，
故答案为：
根据对数函数的定义可解．
本题考查对数函数的定义，属于基础题．
 

12.【答案】  

【解析】解：双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，
设双曲线的标准方程为，
且，，
双曲线的实轴长为，
，
双曲线的标准方程为．
故答案为：；．
设双曲线的标准方程为，则，，由此能求出双曲线的实轴长和双曲线的标准方程．
本题考查双曲线的定义、方程、实轴长、标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为函数函数
则当时，，则，
当时，，则，
则函数的值域为，
故答案为：．
根据幂函数和指数函数的性质，可解分段函数的值域．
本题考查幂函数和指数函数的性质，属于基础题．
 

14.【答案】  

【解析】解：中，，，，
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，
，，
故答案为：；．
由正弦定理求出，再利用余弦定理求出．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是双曲线上的一点，的最小值为，正确，
，若直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，则直线与双曲线只有一个公共点或无公共点，错误，
，双曲线的渐近线方程为，即，设，
是双曲线上的一点，，，
则点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为，正确，
，若过的直线与双曲线的左支相交于，两点，则，
，错误，
故答案为：．
利用双曲线的性质判断，利用直线与双曲线的位置关系判断，利用双曲线的渐近线方程和点到线的距离公式判断，利用双曲线的定义判断．
本题考查双曲线的定义和性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
 

16.【答案】解：Ⅰ由题意得，，
圆的标准方程为．
Ⅱ设圆的标准方程为，
点和点在圆上，
，解得：，
圆的标准方程为．
Ⅲ，，的中点坐标为，即圆心坐标为，
，
圆的标准方程为．
Ⅳ设圆的标准方程为，
由题意得，，解得：，
圆的标准方程为． 

【解析】Ⅰ即为半径，求得圆的半径即可求解；
Ⅱ设圆的标准方程为，利用待定系数法即可求解；
Ⅲ，中点即为圆心，求得圆心坐标与半径即可求解；
Ⅳ设圆的标准方程为，利用待定系数法即可求解．
本题主要考查圆的标准方程的求解，是基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ当斜率不存在时，，与圆相切；
当斜率存在时，设斜率为，切线方程为，
圆心到切线的距离为，
解得，
此时切线方程为，
综上所述，过点的圆的切线方程为或．
Ⅱ由题意得，所在直线方程为，
圆心到直线的距离，
．
Ⅲ由垂径定理可知，过点且与垂直的直线被圆截得弦长最短，
的斜率为，
直线的斜率，
直线方程为，即． 

【解析】Ⅰ当斜率不存在时，满足题意，斜率存在时，设斜率为，圆心到直线的距离为半径，求得，即可求得切线方程；
Ⅱ求得所在直线方程，利用，即可求解；
Ⅲ由垂径定理可知，过点且与垂直的直线被圆截得弦长最短，即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
 

18.【答案】Ⅰ证明：连接，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ证明：在正方形中，，
由正方体的性质知，平面，
因为平面，所以，
又，B、平面，
所以平面，
因为平面，所以

Ⅲ解：设与相交于点，过点作于点，连接，则为二面角的大小，
因为正方体的棱长为，所以由勾股定理得，，，，，
所以，即，
所以，
在中，，所以，
而二面角与二面角互补，
所以二面角的大小为． 

【解析】Ⅰ连接，先证四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判定定理，得证；
Ⅱ由，，结合线面垂直的判定定理与性质定理，得证；
Ⅲ设与相交于点，过点作于点，连接，则为二面角的大小，结合勾股定理与三角函数，求得，再利用二面角与二面角互补，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由已知可设椭圆的标准方程为，
所以，可得，因为，所以，
所以椭圆的标准方程为；
Ⅱ直线：与椭圆的方程联立，
消去，整理得，
由，可得，
即的取值范围是；
Ⅲ设，，
由Ⅱ可得，，
则，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为． 

【解析】Ⅰ根据题意可求得，，的值，从而可得椭圆的标准方程；
Ⅱ直线与椭圆方程联立，消去，利用即可求解的取值范围；
Ⅲ利用根与系数的关系以及弦长公式即可求解的最大值．
本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆方程的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ由已知可设椭圆的标准方程为，
所以，，解得，，所以，
所以椭圆的标准方程为；
Ⅱ由题意可设直线的方程为，设，，
则，，
又，，
两式相减可得，
所以，
即，解得，
所以直线的方程为，即或．
Ⅲ由题意可设直线的方程为，设，，
直线：与椭圆的方程联立，
消去，整理得，
，解得，
所以，，
若点在以线段为直径的圆上，则，
即，
即，
即，
所以，
解得，
所以直线的方程的方程为． 

【解析】Ⅰ由题意可得，，从而可求得，的值，由，，的关系可得的值，从而可得椭圆的标准方程；
Ⅱ由题意可得直线的方程为，利用点差法即可求解的值；
Ⅲ由题意可设直线的方程为，设，，由直线与椭圆方程联立可得根与系数的关系，结合即可求解的值．
本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ集合，，
根据题意可得：，
；
Ⅱ集合满足，
，
中至少有个元素，
即，又，
． 

【解析】Ⅰ根据新定义列举即可求解；
Ⅱ根据新定义，不等式性质，即可求解．
本题考查新定义，不等式性质，化归转化思想，属中档题．