2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测16直线与圆锥曲线

这是一份2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测16直线与圆锥曲线，共6页。试卷主要包含了解析等内容，欢迎下载使用。
考点过关检测16 直线与圆锥曲线1．[2023·山东滨州期末]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P(3，m)(m＞0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点．求△OAB面积的最大值．              2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(1，－2).(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线l：y＝－x＋m与抛物线C交于A，B两点，在抛物线C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且|QM|＝|QN|，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．        3.[2023·辽宁实验中学模拟]已知点A(－2，0)，B(2，0)，Q(2，0)，动点P与点A，B连线的斜率之积为－，过点Q的直线l交点P的轨迹于C，D两点，设直线AC和直线BD的斜率分别为k1和k2，记m＝.(1)求点P的轨迹方程；(2)m是否为定值？若是，请求出该值，若不是，请说明理由．           4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．      考点过关检测16　直线与圆锥曲线1．解析：(1)由右焦点为F(2，0)，可得c＝2，又离心率为，∴a＝，b2＝a2－c2＝6－4＝2，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题可知kPF＝＝m，∴kAB＝－，故直线AB为y＝－(x－2)，即x＝－my＋2，由，可得(3＋m2)y2－4my－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，∴|y1－y2|＝＝＝，∴△OAB面积为S＝×|OF|×|y1－y2|＝，令t＝＞1，∴S＝＝≤＝，当且仅当＝t，即t＝，m＝1时取等号，∴△OAB面积的最大值为.2．解析：(1)∵平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，设抛物线C：y2＝mx(m≠0)，因为经过点P(1，－2)，所以m＝4，故抛物线的方程为y2＝4x.(2)如图所示：由可得y2＋4y－4m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵Δ＝16＋16m＞0，∴m＞－1，且y1·y2＝－4m，y1＋y2＝－4.设抛物线C上存在点Q(x0，y0)，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且|QM|＝|QN|，则y＝4x0，kQM＋kQN＝0.kQM＋kQN＝kQA＋kQB＝＋＝＋＝＝0，∴4(y1＋y2)＋8y0＝0，即y0＝＝2，x0＝＝1，故存在点Q(1，2)，使得|QM|＝|QN|成立．3．解析：(1)设点P(x，y)，由题意kPA·kPB＝·＝－，整理得＋＝1(y≠0).(2)由题意，直线l斜率不为0.设l：x＝ty＋2，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由得(7t2＋8)y2＋28ty－28＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，所以y1＋y2＝ty1y2.m＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝3－2，所以m为定值3－2.4．解析：(1)由题意可得解得所以C的方程为x2－＝1.(2)当直线PQ斜率不存在时，x1＝x2，但x1>x2>0，所以直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0).联立得方程组消去y并整理，得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝，x1－x2＝＝.因为x1>x2>0，所以x1x2＝>0，即k2>3.所以x1－x2＝.设点M的坐标为(xM，yM)，则yM－y2＝(xM－x2)，yM－y1＝－(xM－x1)，两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2).因为y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得xM＝.两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2).因为y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，解得yM＝＝xM.所以点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．选择①②.因为PQ∥AB，所以kAB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则解得xA＝，yA＝ .同理可得xB＝，yB＝－ .此时xA＋xB＝，yA＋yB＝.因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝x，所以解得xM＝＝，yM＝＝，所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.选择①③.当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝x上，与题设矛盾，故直线AB的斜率存在．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则解得xA＝，yA＝ .同理可得xB＝，yB＝－ .此时xM＝＝，yM＝＝.由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.选择②③.因为PQ∥AB，所以kAB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则解得xA＝，yA＝ .同理可得xB＝，yB＝－ .设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝＝，yC＝＝.因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)上．将该直线方程与y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB的中点，所以点M在直线AB上．