2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测15圆锥曲线

考点过关检测15 圆锥曲线

一、单项选择题

1．若双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0.则m＝(　　)

A．    B．C．2    D．4

2．[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)

A．2    B．2C．3    D．3

3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点(1，b)，且C的离心率为，则C的方程是(　　)

A．＋＝1    B．＋＝1

C．＋＝1    D．＋＝1

4．[2023·河南焦作模拟]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为A，点P在抛物线C上，且PA⊥PF，则|PF|＝(　　)

A．    B．－2

C．－1    D．3－

5．[2023·河北秦皇岛模拟]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(－，0)为其左焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为A，若tan ∠AOF＝(O为原点)，则椭圆C的长轴长等于(　　)

A．6    B．12C．4    D．8

6．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是(　　)

A．2    B．

C．    D．

7．[2023·安徽淮南模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到y轴的距离与到点Q(0，4)的距离之和的最小值为2，则实数p的值为(　　)

A．3    B．4

C．6    D．8

8．[2023·河北保定模拟]已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是(　　)

A．    B．

C．3    D．5

二、多项选择题

9．[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x

D．若m＝0，n>0，则C是两条直线

10．[2023·河北邯郸模拟]已知双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，则(　　)

A．双曲线C的实轴长为2

B．双曲线C的一条渐近线方程为y＝x

C．|PF1|－|PF2|＝2

D．双曲线C的焦距为4

11．[2022·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　)

A．C的准线为y＝－1   

B．直线AB与C相切

C．|OP|·|OQ|>|OA|2

D．|BP|·|BQ|>|BA|2

12．[2023·河北保定模拟]已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，过点F2的直线与该椭圆相交于A，B两点，点P在该椭圆上，且|AB|≥1，则下列说法正确的是(　　)

A．存在点P，使得∠F1PF2＝90°

B.满足△F1PF2为等腰三角形的点P有2个

C．若∠F1PF2＝60°，则＝

D．|PF1|－|PF2|的取值范围为[－2，2]

[答题区]

三、填空题

13．[2022·北京卷]已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________．

14．[2023·河北张家口模拟]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝，则椭圆C的离心率是__________．

15．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．

16．已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1，F2，它们的离心率分别为e1，e2，P是它们的一个公共点．若∠F1PF2＝60°，则e1·e2的最小值为________．

考点过关检测15　圆锥曲线

1．答案：C

解析：双曲线C：－y2＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±，因为m＞0，所以＝，所以m＝2.故选C.

2．答案：B

解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2).根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.

3．答案：A

解析：依题意可得，解得，

故C的方程是＋＝1.故选A.

4．答案：C

解析：因为点P在抛物线C：y2＝4x上，故设P(，y0)，由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1，0)，准线为x＝－1，故准线与x轴的交点A(－1，0)，因为PA⊥PF，所以⊥，因为＝(－1－，－y0)，＝(1－，－y0)，

所以·＝－1＋y＝0，解得y＝4－8，所以P的横坐标为－2，

由抛物线的定义可得|PF|＝－2＋1＝－1.故选C.

5．答案：C

解析：因为椭圆C的左焦点为F(－，0)，所以c＝，又AF垂直于x轴，A在椭圆C上，故可设A(－c，y1)，所以＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以|y1|＝，又tan ∠AOF＝，所以＝，又a2＝b2＋3，

解得，从而2a＝4.故选C.

6．答案：D

解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则－＝1，－＝1，

两式相减可得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，

∵P为线段AB的中点，∴2xP＝x1＋x2，2yP＝y1＋y2，

∴·＝，又＝kAB＝2，＝，

∴＝，即b2＝2，∴b＝.故选D.

7．答案：C

解析：如图所示：

由抛物线的定义得当P，Q，F共线时，P(x0，y0)到y轴的距离与到点Q(0，4)的距离之和最小，因为点P(x0，y0)到y轴的距离与到点Q(0，4)的距离之和的最小值为2，

所以|QF|＝2＋，即 ＝2＋，解得p＝6.

故选C.

8．答案：B

解析：由双曲线的对称性可知四边形MF1NF2是平行四边形．如图，不妨设M在第三象限，由题意可知F2，O分别为线段MM′，F1F2的中点，则|M′N|＝2|OF1|＝2c.因为|M′N|＝|MN|，所以|MN|＝|F1F2|＝2c，则平行四边形MF1NF2是矩形．

设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则，整理得c2＝5a2，即＝5，

故双曲线C的离心率e＝.故选B.

9．答案：ACD

解析：对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为 的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝± ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.

10．答案：ABD

解析：由双曲线方程知：b＝，离心率为e＝＝＝2，解得a＝1，故C：x2－＝1，

实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为y＝±x，故一条渐近线方程为y＝x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2＝4，D正确．故选ABD.

11．答案：BCD

解析：将点A(1，1)的坐标代入x2＝2py(p＞0)，解得p＝.所以抛物线C：x2＝y，其准线方程为y＝－，所以A错误．由y＝x2，得y′＝2x.当x＝1时，y′＝2，所以抛物线在点A(1，1)处的切线方程为y＝2x－1.令x＝0，得y＝－1，即切线y＝2x－1过点B，所以B正确．设直线PQ：y＝kx－1，P(x1，x)，Q(x2，x).将PQ：y＝kx－1与C：x2＝y联立，得x2－kx＋1＝0，所以Δ＝k2－4＞0，x1＋x2＝k，x1x2＝1，所以|OP|·|OQ|＝·＝|x1x2|·＝＞＝2＝|OA|2，所以C正确．因为|BP|·|BQ|＝|x1|·|x2|＝1＋k2＞5＝|BA|2，所以D正确．故选BCD.

12．答案：ACD

解析：根据题意：可得c＝，|AB|的最小值为1，所以|AB|＝＝1，又c2＝a2－b2，所以a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1，当点P为该椭圆的上顶点时，tan ∠OPF2＝，所以∠OPF2＝60°，此时∠F1PF2＝120°，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，所以选项A正确；

当点P在椭圆的上、下顶点时，满足△F1PF2为等腰三角形，又因为2－≤|PF2|≤2＋，|F1F2|＝2，∴满足|PF2|＝|F1F2|的点P有两个，同理满足|PF1|＝|F1F2|的点P有两个，所以选项B不正确；若∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2，由余弦定理|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝12，又|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16，所以|PF1|·|PF2|＝，所以＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝，所以选项C正确；对于选项D，|PF1|－|PF2|＝|PF1|－(2a－|PF1|)＝2|PF1|－4，分析可得|PF1|∈[2－，2＋]，|PF1|－|PF2|∈[－2，2]，所以选项D正确．故选ACD.

13．答案：－3

解析：双曲线y2＋＝1的标准方程为－＝1，其渐近线方程为±＝0，即y＝±，∴＝，∴m＝－3.

14．答案：－1

解析：设右焦点为F′，连接AF′，BF′.因为2|OF|＝|AB|＝2c，即|FF′|＝|AB|，可得四边形AFBF′为矩形．

在Rt△ABF中，|AF|＝2c·cos ∠BAF＝2c·＝c，|BF|＝2c·sin ∠BAF＝2c·＝c.

由椭圆的定义可得|AF|＋|AF′|＝2a，所以2a＝(＋1)c，所以离心率e＝＝＝－1.

15．答案：x＝－

解析：不妨设P，∴Q，＝(6，－p)，

因为PQ⊥OP，所以×6－p2＝0，

∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.

16．答案：

解析：设椭圆C1对应a1，b1，c，双曲线C2对应a2，b2，c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，

所以m＋n＝2a1，两边平方得m2＋n2＋2mn＝4a，　①

|m－n|＝2a2，两边平方得m2＋n2－2mn＝4a，　②

①＋②并整理得m2＋n2＝2a＋2a；①－②并整理得mn＝a－a.

由余弦定理得cos 60°＝＝，整理得m2＋n2－4c2＝mn，

所以2a＋2a－4c2＝a－a，a＋3a＝4c2，

所以e1·e2＝·，＝＝·＝(＋)≥×2 ＝，当且仅当＝，a1＝a2＝c时等号成立．