2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测2不等式

考点过关检测2 不等式

一、单项选择题

1．关于x的不等式－x2＋3x－4<0的解集为(　　)

A．R    B．∅C．(－1，4)    D．(－∞，－1)∪(4，＋∞)

2．设a，b∈R，则“>”是“a>b”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．若x<0，则x＋的最大值为(　　)

A．－2    B．－2

C．－    D．2

4．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a的值为(　　)

A．    B．±

C．D．±

5．[2023·山东潍坊模拟]若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集为(　　)

A．{x|x<或x>}

B．{x|x<或x>}

C．{x|<x<}

D．{x|－<x<－}

6．[2023·江西南昌二中模拟]若ab>0，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a2>b2    B．>C．＋>2    D．>

7．若关于x的不等式ax2－(a2＋6a＋9)x＋a＋1<0的解集是{x|m<x<n}，则＋的最小值为(　　)

A．8    B．6

C．4    D．2

8．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是(　　)

A．    B．C．    D．2

二、多项选择题

9．下列选项正确的有(　　)

A．若a>b，c>d则a＋c>b＋d

B．若a>b>0，c>d>0则ac>bd

C．若a>b，c<d则a－c>b－d

D．若a>b>0，c<d<0则>

10．[2023·河北青龙满族自治县实验中学模拟]已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)

A．2a2＋b≥

B．＋≤4

C．ab≤

D．＋≤

11．[2023·湖北仙桃模拟]下列说法不正确的是(　　)

A．若x>0，y>0，满足x＋y＝4，则xy的最大值为4

B．若x<，则函数y＝2x＋的最小值为3

C．若0<x<1，则函数y＝＋的最小值为2

D．函数y＝＋(0<x<1)的最小值为9

12．已知正数x，y满足x＋2y＝4，若存在正数x，y使得＋x≤t－2y－成立，则实数t的可能取值是(　　)

A．2    B．4

C．6    D．8

[答题区]

三、填空题

13．若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋>0对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为________．

14．已知存在x∈[1，3]，使不等式x2－kx＋4≤0有解，则实数k的取值范围为________．

15．已知函数f(x)＝2x＋的最小值为5，则实数a＝________．

16．[2023·浙江台州模拟]已知正实数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为________；a2＋ab＋a＋b－的最大值为________．

考点过关检测2　不等式

1．答案：A

解析：由－x2＋3x－4<0，得x2－3x＋4>0，因为Δ＝（－3）2－4×4＝－7<0，所以不等式x2－3x＋4>0的解集为R.故选A.

2．答案：D

解析：取a＝－1，b＝1，则>成立，但a>b不成立，故充分性不成立；取a＝1，b＝－1，则a>b成立，但>不成立，故必要性也不成立；所以“>”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选D.

3．答案：A

解析：当x<0时，－x>0，∴x＋＝－[（－x）＋]≤－2 ＝－2（当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号），∴x＋的最大值为－2.故选A.

4．答案：D

解析：因为关于x的不等式x2－2ax－8a2<0 的解集为（x1，x2），∴x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两个不同的实数根，且Δ＝4a2＋32a2>0，∴x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，∵x2－x1＝15，∴152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2，a2＝，解得a＝±.故选D.

5．答案：C

解析：由题可知，原不等式可转化为[2x－（a＋1）][2x－（a－1）]<0，因为>，所以不等式的解为<x<.故选C.

6．答案：C

解析：对于A，若a＝－1，b＝－2，则满足ab>0，且a>b，而a2＝1<b2＝4，所以A错误，对于B，若a＝－1，b＝－2，则满足ab>0，且a>b，而＝－1<＝－，所以B错误，对于C，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，而a>b，所以取不到等号，所以＋>2，所以C正确，对于D，若a＝－1，b＝－2，则满足ab>0，且a>b，而＝－<＝，所以D错误．故选C.

7．答案：A

解析：根据题意可得x＝m和x＝n是方程ax2－（a2＋6a＋9）x＋a＋1＝0的两根且a>0，即m＋n＝，mn＝.故＋＝＝＝＝（a＋1）＋＋4≥4＋4＝8，当且仅当a＝1时，等号成立．故选A.

8．答案：B

解析：因为5x2y2＋y4＝1，所以x2＝，因为x2≥0，所以y2∈（0，1]，所以x2＋y2＝y2＋＝＝（4y2＋）≥×2 ＝，当且仅当4y2＝，即y2＝，x2＝时取等号，所以x2＋y2的最小值是.故选B.

9．答案：ABC

解析：∵a>b，c>d，相加即得a＋c>b＋d，A正确；对于C，∵c<d，∴－c>－d，且a>b，相加即得a－c>b－d，C正确；∵a>b>0，c>d>0，两式相乘，即ac>bd，B正确；对于D，当a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1时，代入不符合题意，D错．故选ABC.

10．答案：ACD

解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以0<a<1，所以2a2＋b＝2a2－a＋1，二次函数的抛物线的对称轴为a＝，所以当a＝时，2a2－a＋1的最小值为，所以2a2＋b≥，所以选项A正确；＋＝（＋）（a＋b）＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4成立，当且仅当a＝b＝时取等号），故选项B错误；∵1＝a＋b≥2，∴ab≤成立，（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项C正确；∵（＋）2＝a＋b＋2≤2（a＋b）＝2，∴＋≤（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项D正确．故选ACD.

11．答案：BC

解析：对于A，因为x>0，y>0，满足x＋y＝4，则xy≤＝4，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以xy的最大值为4，故选项A正确；对于B，因为x<，则1－2x＞0且>0，所以y＝2x＋＝－[（1－2x）＋]＋1≤－2 ＋1＝－1，当且仅当x＝0时取等号，所以函数y＝2x＋的最大值为－1，故选项B错误；对于C，因为0＜x＜1，所以y＝＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时取等号，则等号取不到，所以ymin>2，故选项C错误；对于D，因为0＜x＜1，∴y＝＋＝（＋）[x＋（1－x）]＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当＝，即x＝时取等号，故函数y＝＋（0<x<1）的最小值为9，故选项D正确．故选BC.

12．答案：CD

解析：由题可知存在正数x，y使得＋x＋2y＋≤t成立，所以t≥（＋x＋2y＋）min，因为正数x，y满足x＋2y＝4，所以＋x＋2y＋＝4＋（＋）（x＋2y）＝4＋（＋＋）≥4＋（＋2 ）＝，当且仅当x＝y时，取等号，∴t≥.故选CD.

13．答案：（－，）

解析：由题意Δ＝k2－4×2×<0，－<k<.

14．答案：k≥4

解析：由于x∈[1，3]，分离参数后问题转化为：k≥x＋在x∈[1，3]上有解，只需要k≥（x＋）min，由基本不等式x＋≥2 ＝4，当x＝时，即x＝2取得等号，而2∈[1，3]，（x＋）min＝4，故k≥4.

15．答案：9

解析：方法一　由题意可知f（x）＝2x＋≥5对任意的x∈R恒成立，即a≥（5－2x）（2x＋1）恒成立，因为（5－2x）（2x＋1）＝－（2x）2＋4·2x＋5＝－（2x－2）2＋9≤9，当且仅当2x＝2时，即当x＝1时，等号成立，所以，a≥9.

方法二　由基本不等式可得f（x）＝（2x＋1）＋－1≥2－1＝5，可得a＝9，当且仅当2x＋1＝3时，即当x＝1时，等号成立，故a＝9.

16．答案：　－

解析：①由2＝2a＋b≥2，得ab≤，当且仅当2a＝b＝1，即a＝，b＝1时取等，所以ab的最大值为；

②a2＋ab＋a＋b＝（a＋b）（a＋1）≤＝＝，当且仅当a＋b＝a＋1，即a＝，b＝1时取等，又由上知ab≤，故－≤－4，当且仅当a＝，b＝1时取等，所以a2＋ab＋a＋b－≤＋（－4）＝－，当且仅当a＝，b＝1时取等，故a2＋ab＋a＋b－的最大值为－.