新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案6第一章集合常用逻辑用语不等式第六讲基本不等式

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案6第一章集合常用逻辑用语不等式第六讲基本不等式，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
练案[6] 第六讲　基本不等式A组基础巩固一、单选题1．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为( D )A.  B．4C.  D．2[解析]　4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( C )A.  B．2 C．2  D．4[解析]　因为＋＝，所以a>0，b>0，由＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是( B )A．a<b<<  B．a<<<bC．a<<b<  D．<a<<b[解析]　解法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<＝<＝1.5<b＝2.解法二(直接法)：我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.4．(2023·湖北八校第一次联考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为( B )A．12  B．16 C．20  D．24[解析]　解法一：由题意x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当即时取等号，故选B.解法二：由＋＝1得9x＋y－xy＝0，即(x－1)(y－9)＝9，可知x>1，y>9，所以x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，当且仅当即时取等号，故选B.5．(2022·山西师大附中月考)已知x>0，y>0，x＋9y＝3，则＋的最小值为( C )A．16  B．4 C．  D．[解析]　因为x>0，y>0，x＋9y＝3，则＋＝(x＋9y)×＝≥(10＋6)＝，当且仅当＝且x＋9y＝3，即y＝，x＝时取等号．6．(2022·江西萍乡三模)已知正实数x，y满足lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为( B )A.  B．C.  D．[解析]　由lg x＋lg y＝lg(xy)＝2，则xy＝100，所以＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝5，y＝20时等号成立，所以＋的最小值为.故选B.7．(2023·安徽黄山质检)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是( D )A．2  B．3 C．4  D．5[解析]　由题意知，f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，因为x>0，所以x＋1>0，则x＋1＋＋1≥2＋1＝5，故f(x)的最小值是5.8．(2022·山西高三阶段练习)已知正实数a，b满足2a＋b＝6，则＋的最小值为( C )A.  B．C.  D．[解析]　∵2a＋b＝6，∴＋＝＋＝(2a＋b＋2)＝≥×(5＋2)＝，当且仅当＝，即b＝，a＝时，取等号．故选C.二、多选题9．(2022·山东新高考模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝2，下列式子中，最小值为2的有( BCD )A．2ab  B．a2＋b2C.＋  D．[解析]　因为a，b>0，所以2＝a＋b≥2，所以0<ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立．由ab≤1，得2ab≤2，所以2ab的最大值为2，A错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥4－2＝2，B正确；＋＝＝≥2，C正确；≥2，D正确，故选BCD.10．下列命题中正确的是( BD )A．函数y＝sin x＋(0<x<π)的最小值为4B．函数y＝的最小值为C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4[解析]　A．sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．因为≥，所以取不到“＝”，设＝t(t≥)，y＝t＋在[，＋∞)上为增函数，最小值为，故B正确；因为x>0时，3x＋≥2·＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，所以y＝2－有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．故选BD.11．(2023·四川成都新都区诊断改编)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的值可以为( BC )A．18  B．12 C．16  D．20[解析]　由题意知n≤(3a＋b)＝10＋＋，∵10＋＋≥10＋2＝16(当且仅当a＝b时取等号)，∴10＋＋的最小值为16，故n的最大值为16.选BC.三、填空题12．(2022·山东济南三模)已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为_3__.[解析]　由题设，＋≥2＝＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立．13．(2022·广东惠州调研)已知x>，则函数y＝4x＋的最小值为_7__.[解析]　∵x>，∴4x－5>0，∴y＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，当且仅当4x－5＝即x＝时取等号，∴y的最小值为7.14．(2023·湖北部分重点中学联考)已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是_(－4,2)__.[解析]　∵x>0，y>0，∴＋≥2＝8(当且仅当y＝2x时取等号)，∴＋的最小值为8，由题意可知m2＋2m－8<0，解得－4<m<2，即m的取值范围是(－4,2)．15．(2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测)若a>0，b>0，则(a＋b)2＋的最小值为_4__.[解析]　若a>0，b>0，(a＋b)2＋≥(2)2＋＝4ab＋≥4，当且仅当即a＝b＝时取等号，即所求的最小值为4.16．(2023·天津模拟预测)若a>0，b>0,2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是_2__.[解析]　因为a>0，b>0，所以2ab≤，则2ab＋a＋2b≤＋a＋2b，所以＋a＋2b≥3，解得a＋2b≥2或a＋2b≤－6(舍去)，当且仅当a＝2b，即a＝1，b＝时取等号，所以a＋2b的最小值是2.B组能力提升1．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( ABC )A．ab有最大值B.＋有最大值C.＋有最小值4D．a2＋b2有最小值[解析]　因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以ab≤2，所以ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，所以ab有最大值，所以A正确；＋≤2＝，当且仅当a＝b＝取等号，所以＋的最大值为，所以B正确；因为＋＝＝≥4，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋有最小值4，所以C正确；因为a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a2＋b2的最小值不是，所以D错误．故选ABC.2．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为( A )A.  B．2 C．  D．1[解析]　令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，∴＋＝＋＝×(m＋n)＝≥·(2＋2)＝.当且仅当＝，即m＝n＝4时等号成立．∴＋的最小值为.3．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( C )A．2  B．2 C．4  D．2[解析]　因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以lg(2x·8y)＝lg 2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号，所以＋的最小值为4.故选C.4．(2023·江苏南京市天印高级中学模拟预测)已知正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论不正确的是( B )A.有最大值B.＋的最小值是8C．若a>b，则<D．log2a＋log2b的最大值为－2[解析]　对A：a>0，b>0,1＝a＋b≥2，∴≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对B：＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时，等号成立，故B错误；对C：a>b>0，∴a2>b2，∴<，故C正确；对D：由A可知0<ab≤，故log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2＝－2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选B.5．(2023·湖北高三阶段练习)已知a>b，且ab＝8，则－2的最小值是( A )A．6  B．8C．14  D．16[解析]　因为ab＝8，所以＝＝a－b＋.因为a>b，所以a－b>0，所以a－b＋≥2＝8，即≥8，当且仅当a－b＝4时，等号成立，故－2的最小值是6.故选A.6．(2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三期中)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则：①当且仅当a＝ －1　时，＋取得最小值 3＋2　；②的最小值是 2＋2　.[解析]　由＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当b＝a，即a＝－1，b＝2－时等号成立，＝＋＝＋＝＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当a＝b，即a＝2－，b＝－1时等号成立．