2025高考数学一轮知识必备练习第一章集合与常用逻辑用语不等式1.4基本不等式

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掌握基本不等式.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.基本不等式
如果,,那么 ，当且仅当时，等号成立.该式叫基本不等式，其中， 叫做正数，的算术平均数， 叫做正数,的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.基本不等式求最值
（1）设,为正数，若积等于定值，那么当时，和有最小值 （简记为:积定和最小）.
（2）设,为正数，若和等于定值,那么当时，积有最大值 （简记为：和定积最大）.
常用结论
1.常用推论
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
即有：正数,的调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数.
2.三元均值不等式
（1）.
（2）.
以上两个不等式中,,,当且仅当时等号成立.
6.二维形式柯西不等式
若,,,都是实数，则,当且仅当时，等号成立.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） ,,.（ √ ）
（2） ，，则.（ × ）
（3） 函数的最小值是2.（ × ）
（4） 函数，的最小值等于4.（ × ）
（5） “且”是“”的充分不必要条件.（ √ ）
2. （教材题改编）设,则的最小值是（ D ）
A. 3B. C. 4D.
解：因为,所以，当且仅当，即 时，等号成立.故选.
3. （教材题改编）已知,，且，下列各式中最大的是（ D ）
A. B. C. D.
解：因为,，所以,，,，所以，.
当 时，由均值不等式，知，所以.
由上,可知,.
所以四个式子中 最大.故选.
4. （教材题改编）已知，则的最小值是 .
解：因为,，所以，当且仅当,即 时等号成立.
所以 的最小值是.故填.